- •Министерство образования и науки российской федерации
- •2012 Г.
- •Тема 1. Построение моделей оптимального формирования пакета ценных бумаг (на примере задачи линейного программирования).
- •Тема 2. Решение транспортной задачи.
- •Тема 3. Определение показателей эффективности системы массового обслуживания (на примере многоканальной системы с неограниченной очередью).
- •Тема 4. Нахождение оптимальных смешанных стратегий игры с нулевой суммой.
- •Тема 5. Прогнозирование временных рядов.
- •Тема 6. Применение метода экстраполяции к непрерывным математическим моделям (на примере дифференциального уравнения).
Тема 3. Определение показателей эффективности системы массового обслуживания (на примере многоканальной системы с неограниченной очередью).
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами для многократного использования при решении задач. Возникающие при этом процессы называются процессами обслуживания, а системы – системами массового обслуживания.
Каждая такая система состоит из определенного числа обслуживающих единиц – каналов, а заявки, поступающие в систему массового обслуживания, образуют случайный поток.
Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретным состоянием S0, S1…, в которые она переходит скачками.
При анализе случайных процессов удобно пользоваться ориентированными графиками состояний.
Поток поступающих заявок характеризуется интенсивностью , то есть средним числом заявок, поступающих на канал в единицу времени.
Обычно рассматривается простейший поток, который является стационарным, регулярным и не имеет последствия.
Среднее относительное время пребывания системы массового обслуживания в состоянии Si определяется с помощью предельной вероятности pi. Наряду с потоком заявок интенсивности рассматривается также простейшийпоток обслуживания заявок каналом интенсивности .
Системой массового обслуживания с неограниченной очередью называется такая система, в которой заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание, причём, размер очереди заранее неизвестен.
n- канальная система с неограниченной очередью может находиться в одном из состояний S0, S1….,Sn…, Snn…, нумеруемых по числу заявок:
S0– в системе нет заявок;
S1– занят один канал, остальные свободны;
...........................................................................
Sn – заняты все nканалов ( очереди нет);
....................................................................
Sn+r – заняты все nканалов, в очереди r заявок;
...................................................................................
Граф состояний системы представлен на рис. 3.1.
S0 S1 Sn Sn+2
S0
1
λλλλλλ
… µ 2µ ... nµ nµ… nµ nµ nµ
Рис. 3.1
Предельные вероятности состояний вычисляются по следующим формулам
-2 (3.1)
p1 = (3.2)
pn+1=(3.3)
где
Величина называетсяинтенсивностью нагрузки канала и выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.
При предельной вероятностиpi существуют, в противном случае очередь растёт до бесконечности. Помимо предельных вероятностей к основным показателям эффективности работы такой системы относятся:
вероятность появления заявки в очереди
среднее число заявок в очереди
P04 =(3,4)
среднее время пребывания заявки в очереди
L04=(3,5)
Среднее время пребывания заявки в очереди
T04 =L04 (3,6)
среднее число заявок в системе
Lсист =L04 +(3,7)
среднее время пребывания заявки в системе
=(3.8)
доля заметных обслуживанием каналов
=(3.9)
Пример 3.1.
В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью
=81 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя 2 = 2
Определить:
минимальное количество nmin кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие показатели эффективности при n=nmin;
оптимальное количество nопт кассиров, при котором относительная величина затрат Cотн= будет минимальна при условии, что
n ≤ 7.
Решение.
=81 1/час = 81/60 =1,351/мин., μ==0,51/мин, откуда1,35/0,5 = 2,7.
Очередь не будет возрастать если /n следовательно, n>ρ= 2,7. Таким образом, минимальное количество кассиров = 3.
Найдем показатели эффективности при . Вероятность того, что в узле расчета будут отсутствовать покупатели, равно=(1+2,7+/2!(2,7)3/3!+(2.7)4/3!(3-2,7))-1=0,025 (см. формулу (3.1)). Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, среднее число покупателей, находящихся в очереди и средние времяожидания в очереди определяются по формулам (3.4) – (3.6):
0,025= 0,735
04 = ((2,7)4/31-2,7/3)20,025=7,35
T04=7,35/1,35=-5?44(мин).
Показатели эффективности пребывания покупателей в узле расчёта
находятся по формулам (3,7), (3,8):
Lсист= 7,35+2,7=10,05
Тсист= 10,05/1,35=7,44(мин)
Наконец, среднее число кассиров, занятых обслуживанием покупателей
= 2,7/3=0,9 ( см. формулу (3.9)).
Таким образом, при наличии только трёх кассиров узел расчета значительно перегружен.
Относительная величина затрат при равно=3/1,35+3·5,44=18,54.
Рассчитав относительную величину затрат при других значениях результаты можно записать в таблицу:
n |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Cотн |
18,54 |
4,77 |
4,14 |
4,53 |
5,22 |
Из таблицы видно, что минимальные затраты могут быть получены при n = nопт = 5 кассирах.
Полученная информация может быть использована дирекцией универсама для проведения в дальнейшем реорганизационных работ.