42. Классическая транспортная задача.

Транспортная задача (классическая)— задача об оптимальном плане перевозок товара со складов в пункты потребления на транспортных средствах. Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).

Классическая транспортная задача является одной из важнейших задач линейного программирования, и заключается она в нахождении оптимальных грузопотоков, то есть в оптимальном закреплении поставщиков однородного груза за потребителями (несколько складов и большое количество потребителей). Исходными данными для рассматриваемой задачи являются:

• количество грузоотправителей и грузополучателей;

• ограничения, накладываемые грузоотправителем и грузополучателем на партию груза, которая может быть отправлена и получена соответствующим субъектом;

• затраты на перемещение единицы груза от каждого отправителя каждому получателю.

Классическая транспортная задача предполагает, что количество груза у отправителя точно соответствует количеству груза, необходимому получателям.

Особые виды транспортной задачи

Однако в практике планирования грузовых автомобильных перевозок встречаются особые виды транспортной задачи, решение которых также может быть сведено к классической задаче: 1. Модели с несбалансированным спросом и предложением, получившие название — открытые.В таких задачах спрос может или превышать или быть меньше предложения. Если у отправителя груза больше, чем это требуется потребителю, то вводится фиктивный груэополучатель, если же спрос превышает предложение, то вводится фиктивный грузоотправитель. 2. Модель с запрещенными корреспонденциями используется, если какие-либо грузополучатели не могут получать груз от некоторых грузоотправителей. В этом случае при решении задачи между ними искусственно вводится очень большое расстояние, существенно превышающее реальное. 3. Модель с обязательными корреспонденциями используется, если какие-либо потребители должны получать груз от конкретных поставщиков. В этом случае данная корреспонденция вводится в обязательные условия.

Специальные методы решенияДля решения транспортной задачи разработаны специальные методы, позволяющие из множества возможных решений найти оптимальное.

Одним из таких методов является распределительный метод, который имеет несколько разновидностей, отличающихся в основном способом выявления оптимального решения.

В исследовании операций под транспортной задачейобычно понимают задачу выбора плана перевозок некоторого то­вара (изделий, груза) отm источников(пунктов производства, поставщиков) кn стокам(станциям назначения, пунктам сбыта), обеспечивающего минимальные транспортные затраты. При этом предполагают, что:

а) мощность i-го источника(объем поста­вок товара отi-го источника) равнаS_i>0, i=l,...,m;

б) мощность j-го стока(объем поставок товара кj-му стоку) равнаD_j >O,j=1,...,n;

в) стоимость перевозки единицы товара (в условных де­нежных единицах) от i-го источника кj-му стоку равнас_ij;

г) суммарная мощность всех источников равна суммарной мощно­сти всех стоков, т.е.

(1)

Далее под объемом товара будем понимать его количество в фиксированных единицах измерения.

Для математического описания транспортной задачи вводят переменные x_ij, обозначающие объемы поставок товара отi-го ис­точникаj-му стоку. В этом случаеx_i1+x_i2+...+x_in— общий объ­ем поставок товара отi-го источника, т.е. мощность этого источ­ника;x_ij+x_i2+...+x_in— общий объем поставок товара кj-му стоку, т.е. мощность этого стока; c₁₁x₁₁+ c₁₂x₁₂+…+ c_mnx_mn— суммарная стоимость перевозок товара от источников к стокам. С учетом этого рассматриваемая задача может быть представлена в следующем виде:

(2)

На рис. 1.1-1 показано представление транспортной задачи в виде сети с mпунктами отправления иnпунктами назначения, которые показаны в виде узлов сети. Дуги, соединяющие узлы се­ти, соответствуют маршрутам, связывающим пункты отправле­ния и назначения. С дугой(i,j), соединяющей пункт отправленияiс пунктом назначенияj, соотносятся два вида данных: стоимостьc_ijперевозки единицы груза из пунктаiв пунктjи количество перевозимого грузах_ij. Объем грузов в пункте отправленияiра­венS_i, а объем грузов в пункте назначенияjравенD_j. Задача со­стоит в определении неизвестных величинx_ij, минимизирующих суммарные транспортные расходы и удовлетворяющих ограни­чениям, накладываемым на объемы грузов в пунктах отправления (предложение) и пунктах назначения (спрос).

Рисунок 1.1-1 – Представление транспортной задачи в виде сети

Когда суммарный объем предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объему спроса на това­ры (грузы), запрашиваемые пунктами назначения, транспортная задача называется несбалансированной. В этом случае, при ре­шении классической транспортной задачиметодом потенциа­лов, применяют прием, позволяющий несбалансированную транспортную задачу сделать сбалансированной. Для этого вво­дятфиктивныепункты назначения или отправления. Выполне­ние баланса транспортной задачи необходимо для того, чтобы иметь возможность применить алгоритм решения, построенный на использовании транспортных таблиц.