4. Операция «если-то» – логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В

• в естественном языке - если ..., то ...; когда …,тогда; коль скоро…,то и т.п.;

• в алгебре высказываний В; А→ В;

• в языках программирования – if A then…

Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5. Операция «а тогда и только тогда, когда в» (эквивалентность, равнозначность)

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.

Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Приоритет логических операций

1. Действия в скобках

2. Инверсия ( ¬ )

3. Конъюнкция ( ˄ )

4. Дизъюнкция ( ˅ )

5. Импликация ( → )

6. Эквивалентность ( ↔ )

Исходные высказывания		Дизъюнкция сложение, Или AB		Конъюнкция умножение, И АВ		Импликация АВ		Эквивалентность АВ
0	0	0	0		1		1
0	1	1	0		1		0
1	0	1	0		0		0
1	1	1	1		1		1

Пример решения задачи.

Постройте таблицу истинности для выражения F(A,B) = ¬(A˄B)˅(A˄¬B)

Количество строк = 2² (2 переменных) + 1 (заголовки столбцов) = 5.

Количество столбцов = 2 логические переменные (А, В) + 5 логических операций (() ¬, ˄, ˅, ¬) = 7.

Расставим порядок выполнения операций:

_{5 3 4 2 1}

Построим таблицу:

А	В
0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	0

Прямой, обратный и дополнительный коды

Для того чтобы различать положительные и отрицательные числа в их двоичном представлении выделяется знаковый разряд.

Для представления целых положительных чиселиспользуется прямое двоичное кодирование.

Прямой двоичныйкод – это такое представление двоичного числа, при которомзнак плюс кодируется нулем в старшем разряде числа, азнак минус – единицей. При этом старший (крайний левый) разряд называетсязнаковым.

Пример 1.

Числа +5₁₀и -5_10, представленные в прямом четырехразрядном коде, выглядят так:

0

1

0

1

+510

0

1

0

1

- 510

+5₁₀= 0.101₂; -5₁₀= 1.101_2.Здесь точка условно отделяет знаковые разряды.

Для записи отрицательных чисел используется специальный код, называемый в литературе дополнительным. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Для практического получения кода отрицательных чисел используется следующий алгоритм:

1. Модуль числа перевести в двоичную форму;

2. Проинвертировать каждый разряд получившегося кода, т.е. заменить единицы нулями, а нули – единицами (записать обратный код числа Обратный коддля отрицательных чисел получается из прямого кода с помощью инверсии, при которой единицы незнаковых разрядов заменяются нулями, а нули заменяются единицами. Например, -5₁₀число в обратном коде выглядит так: -5₁₀= 1.010₂.

3. К полученному результату обычным образом прибавить единицу.

Данная форма называется дополнительным кодом.

Например, число -5₁₀в обратном коде выглядит так: 1.011₂.

Для положительных чисел прямой, обратный и дополнительный коды совпадают.

Алгоритм перевода дополнительного кода в десятичное число.

1. Инвертировать дополнительный код

2. Прибавить к полученному коду 1 и получить модуль отрицательного числа:

3. Перевести в десятичное число и приписать знак отрицательного числа.

Пример 2.

Записать дополнительный код числа, интерпретируя его как целое со знаком:

а) 54₁₀; б) -48₁₀.

Решение:

А)54 ₁₀=110110₂

Прямой код – 0110110, дополнительный – 0110110 (такой же)

Б) -48₁₀ = 110000₂

Прямой код (целое со знаком) числа 110000₂  – 1110000

Обратный код – 1001111

Дополнительный код – 1010000

	1	0	0	1	1	1	1
+							1
	1	0	1	0	0	0	0