Основы логики

Логические выражения и операции

Логика– это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие– это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Высказывание– это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 1. Истинное высказывание: «Буква «а» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIXвека».

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Основными понятиями алгебры логики являются логический аргумент илогическая функция.

Логическая аргумент – высказывание – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Его символическое обозначение – латинская буква (например,A, B,X, Yи т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА или ЛОЖЬ;True(T) илиFalse(F); 1 или 0.

Логическая функция – выражение – это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение –F(A, B,…).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции– это логическое действие.

Рассмотрим три базовые логические операции – отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

1. Отрицание(операция НЕ – логическое отрицание (инверсия)) – логическая операция, которая с помощью связки«не»каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. Т.е., результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

• в естественном языке соответствует словам «неверно, что...» и частице «не» ;

• в алгебре высказываний обозначение «¬» или «–»;

• в языках программирования обозначение «Not».

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности (это таблица, описывающая логическую операцию (функцию)):

A	¬А
0	1
1	0

2. Конъюнкция(операция И – логическое умножение (конъюнкция)) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза«И»сложное высказывание также считается ложным. Т.е.,результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Применяемые обозначения:

• в естественном языке соответствует союзу «и»;

• в алгебре высказываний обозначение «&» «˄», «·»;

• в языках программирования обозначение «And».

Результат  операции  И  определяется  следующей таблицей истинности:

A	B	А ˄ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3. Дизъюнкция(операция ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция)) – это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Для операции отрицания ИЛИ приняты следующие условные обозначения:

• в естественном языке соответствует союзу «или»;

• в алгебре высказываний обозначение «»или«+»;

• в языках программирования обозначение «Or».

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А или B (А B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1