23БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
2.БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
Данные представлены в цифровых схемах кодовыми словами. Каждый разряд слова может принимать только два значения - 0 и 1, поэтому операции над данными, представленными в цифровой форме, могут выполняться с помощью логических схем.
2.1. Логические элементы
2.1.1. Основные логические функции
Логическая переменная имеет только два значения ("истина" и "ложь"). В алгебре логики их обозначают как "1" и "0" и называют логической единицей и логическим нулем.
Существуют три основные операции над переменными:
-инверсия (логическое отрицание, функция НЕ);
-дизъюнкция (логическое сложение, функция ИЛИ);
-конъюнкция (логическое умножение, функция И).
Операции над логическими переменными подчиняются ряду законов и правил:
1) Операции c константами:
|
A 1 = A |
A + 0 = A |
||
|
A 0 = 0 |
A +1 =1 |
||
|
|
=1 |
|
= 0 |
|
0 |
1 |
||
2) Правило повторения: |
|
|
||
|
A A = A |
A + A = A |
||
3) Правило отрицания: |
|
|
||
A |
|
= 0 |
|
|
|
A + |
|
=1 |
|
A |
A |
||||||||
4) |
Правило двойного отрицания: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||
5) |
Коммутативный закон: |
|
|
|
|||||
A B = B A |
A + B = B + A |
||||||||
6) |
Ассоциативный закон: |
|
|
|
|||||
A (B C) = (A B) C |
A +(B +C) = ( A + B) +C |
||||||||
7) |
Дистрибутивный закон: |
|
|
|
|||||
A (B +C) = A B + A C |
A + B C = (A + B) ( A +C) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) Правило склеивания: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A ( A + B) = A |
|
A + A B = A |
|||||||||||
9) Теорема де Моргана: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
A B |
A + B |
|||||||||||
|
A |
B |
A |
B |
|||||||||
Из сопоставления левых и правых частей правил виден содержащийся в них дуализм: тождество сохраняется, если в нем поменять местами конъюнкцию с дизъюнкцией и 0 с 1.
Основные логические функции могут быть реализованы с помощью электронных схем, называемых логическими элементами. Условные графические обозначения элементов и соответствующие им таблицы истинности приведены на рис. 2.1-2.3. Способы построения электронных схем логических элементов, методы измерения и значения параметров были предметом изучения в предшествующих дисциплинах и здесь рассматриваться не будут.
1
Рис. 2.1. Элемент НЕ
x y
01
10
1 |
|
|
x1 |
x2 |
y |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
Рис. 2.2. Элемент ИЛИ
&
|
|
|
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 2.3. Элемент И
ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА И МИКРОПРОЦЕССОРЫ. ЧАСТЬ 1
25БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
2.1.2.Составление логических функций
Типичной задачей цифровой техники является разработка логической схемы проектируемого устройства по заданной таблице истинности. Первый этап решения такой задачи - составление логической функции.
Рассмотрим построение функции на примере табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Пример таблицы истинности
x1 |
x2 |
у |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Вторая строка таблицы, в которой функция y принимает значение
1, соответствует комбинации входных переменных x1=0 и x2=1. Составим произведение:
k 2 = x 1 x 2
Нетрудно убедиться, что k2 = 1 только для второй строки. Для
остальных строк таблицы k2 = 0. Таким образом, произведение k2 может быть использовано для описания второй строки. Аналогичным образом можно получить произведение для третьей строки:
k3 = x1 x2
Объединяя k2 и k3 в логическую сумму, получаем выражение, которое полностью соответствует таблице:
y = x1 x2 + x1 x2
Общий способ составления логических функций может быть сформулирован следующим образом:
1.В таблице истинности выделяются строки, в которых выходная переменная равна 1.
2.Для каждой такой строки составляются произведения всех входных переменных, причем записывается сомножитель x , если
соответствующая переменная принимает значение 1, в противном случае записывается x .
3.Составляя логическую сумму всех произведений, получают искомую функцию.
26
Запись функции в такой форме называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой или стандартной суммой произведений. Получаемое выражение часто может быть упрощено, например, с использованием теорем алгебры логики.
Если в таблице истинности выходная переменная у принимает единичные значения более чем в половине строк, то для уменьшения количества произведений целесообразно находить выражения для инвертированной переменной y . Для этой переменной в таблице нулей будет больше, чем единиц. Найденную функцию инвертируют, получая при этом выражение для у. В соответствии с теоремами алгебры логики операцию сложения заменяют операцией умножения и наоборот, а все переменные и константы (каждую в отдельности) инвертируют.
2.1.3. Производные основных логических функций
При разработке схем используются логические функции, производные от основных, которые имеют собственные названия. Условные обозначения и таблицы истинности этих функций приведены на рис. 2.4-2.7.
1
|
|
|
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 2.4. Элемент ИЛИ-НЕ
& 
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 2.5. Элемент И-НЕ
Функции ИЛИ-НЕ и И-НЕ образуются путем инверсии результатов, получаемых при выполнении операций ИЛИ и И соответственно.
ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА И МИКРОПРОЦЕССОРЫ. ЧАСТЬ 1
|
|
|
|
|
|
27 |
|
БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
y |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
Рис. 2.6. Элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
x1 |
x2 |
y |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
Рис. 2.7. Элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ Функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ совпадает с функцией ИЛИ для
всех комбинаций входных переменных, кроме одной, когда x1=1 и x2=1. Ее логическое выражение:
y = x1 x2 + x1 x2 = x1 x2
Эта функция носит также название НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ, так как у =1 при неравных значениях входных переменных.
Функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ имеет формулу: y = x1 x2 + x1 x2 = x1 x2
Ее называют также функцией РАВНОЗНАЧНОСТЬ.
Любая логическая функция может быть реализована исключительно на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ. Схемы для выполнения основных логических функций на элементах И-НЕ показаны на рис. 2.8.
Подача одной переменной на оба входа элемента И-НЕ позволяет получить инверсию. Логическое отрицание выходной переменной элемента И-НЕ реализует логическое умножение логических переменных. Возможность выполнения операции ИЛИ определяет теорема де Моргана. В соответствии с ней операция И-НЕ над инвертированными значениями переменных означает логическое сложение:
y = x1 + x2 = x1 x2