diffgeom_3

Регулярные поверхности

Первая квадратичная форма (метрика)

Метрику gij на поверхности обычно пишут так ds2 = g11dx2+ 2g12dxdy + g22dy2, ãäå x, y локальные координаты.

1.ауд. Найдите метрику плоскости в декартовой (x, y) и полярной системах (ρ cos α, ρ sin α) координат. Введите две различ-

ные системы координат на цилиндре и найдите соответствующие метрики.

2.ауд. Найдите метрику сферы, заданной в географических координатах (cos φ cos λ, cos φ sin λ, sin φ), ãäå φ 2 [ π/2; π/2]

широта, λ 2 [ π; π] долгота.

3.Найдите метрику поверхностей вращения (x, f(x) cos y, f(x) sin y).

4.Найдите метрику поверхностей, заданных с помощью графика функции (x, y, f(x, y))1.

5.ауд Катеноид (c ch(x/c) cos y, c ch(x/c) sin y, y) имеет метри-

êó ds2 = ch2(x/c)dx2 + c2 ch2(x/c)dy2. Метрика геликоида

(cx cos y, cx sin y, cy) ds2 = c2dx2 + c2(1 + x2)dy2. Введите на

геликоиде новую систему координат так, чтобы его метрика локально совпала с метрикой катеноида.

6.Докажите, что катеноид и геликоид локально изометричны.

7.На сфере (φ, λ) 7!(cos φ cos λ, cos φ sin λ, sin φ) с метрикой gij

где треугольник, ограниченный кривой γ.

9.Найдите метрику поверхностей, заданных с помощью графика функции (x, y, f(x) + g(y)).

1сокращайте запись fx вместо @f fy вместо @f

@x , @y

решения и ответы сдать до 21 ноября

Регулярные поверхности

Кривизны поверхностей

10.Без вычислений найдите главные кривизны цилиндра x2 +

y2 = 9 в каждой точке, эллипсоида xa22 + yb22 + zc22 = 1 в вершинах2.

11.Без вычислений найдите главные кривизны однополосного гиперболида xa22 + ay22 zc22 = 1 в точках экватора3.

12.Без вычислений найдите главные кривизны конуса x2 + y2 z2 = 0 в каждой точке, кроме вершины4.

13.Доказать, что главные кривизны регулярной поверхности яв-

ляются корнями следующего многочлена

ãäå I = (gij ) матрица первой квадратичной формы (метрики), II = (bij ) матрица второй квадратичной формы.

14.Доказать, что главные кривизны регулярной поверхности являются собственными числами матриц I 1II è II I 1.

15.Доказать, что гауссова кривизна K = det II/ det I.

16.Доказать, что средняя кр. H = 12 tr (I 1II) = 12 tr (II I 1).

17.Постройте два примера поверхностей с K = 0 в каждой точ- ке, которые не являются частью плоскости.

18.Постройте пример поверхности с H = 0 в каждой точке (минимальная поверхность).

19.Найдите все омбилические точки эллипсоида xa22 + yb22 + zc22 = 1 т.е. точки где k1 = k2.

2считать известным, что эллипс x2=a2 + y2=b2 = 1 в своих вершинах имеет кривизны k = a=b2 è k = a=b2

3гипербола x2=a2 y2=b2 = 1 в своих вершинах имеет кривизну k = a=b2 4парабола y2 = 2px в вершине имеет кривизну k = 1=p

решения и ответы сдать до 21 ноября