- •Типовые расчеты по теме: интегральное исчисление функции одной действительной переменной
- •Теоретические вопросы
- •Теоретические упражнения
- •Пример выполнения типового расчета по теме Неопределенный интеграл
- •Пример выполнения типового расчета по теме Определенный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Типовой расчет: Неопределенные интегралы Вычислить следующие неопределенные интегралы:
- •Типовой расчет: Определенные интегралы
Пример выполнения типового расчета по теме Неопределенный интеграл
Пример 1. Найти неопределенные интегралы.
А) ; Б); В).
Решение. При нахождении данных интегралов используем формулу .
А)
Б)
В)
Пример 2. Найти .
Решение. Пусть . Следовательно, по формуле интегрирования по частям:
.
Пример 3. Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей: А) ; Б).
Решение. А)
.
Б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей.
.
Отсюда следует
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В и С используем метод отдельных значений аргумента.
Положим , тогда, т.е.;
положим , тогда, так как, то;
положим , тогда, так каки, то. Следовательно,
.
Поэтому
Пример 4. Найти .
Решение.
Пример 5. Найти .
Решение. Положим . Отсюда.
Следовательно,
Пример 6 . Найти .
Решение.
Пример 7. Найти .
Решение. Положим ,. Тогда
Пример выполнения типового расчета по теме Определенный интеграл
Пример 1. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке и
,
где - какая-нибудь первообразная дляна отрезке. Указанная формула называется формулой Ньютона-Лейбница. При нахождении первообразной используются те же методы интегрирования как и для неопределенных интегралов.
Следовательно,
Пример 2. Найти .
Решение. Здесь подынтегральная функция непрерывна на
всей оси Ox.
Поэтому (по определению) .
Вычислив интеграл , найдем
.
Следовательно,
.
(По правилу Лопиталя .)
Таким образом, интеграл существует (сходится) и равен единице.
Пример 3. Найти .
Решение. Здесь подынтегральная функция обращается в бесконечность между пределами интегрирования (при).
Следовательно (по определению),
,
где и принимают положительные значения. Эти пределы не существуют (как обычно говорят, «равны »).
Таким образом, интеграл не существует (расходится).
Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x=0. Очевидно, что при x0
.
Так как несобственный интеграл
,
т.е. сходится, то сходится и исходный интеграл.
Пример 5. Треугольная пластинка с основанием a=3 м и высотой H=2 м погружена вертикально вершиной вниз в жидкость так, что основание параллельно поверхности жидкости и находится на расстоянии d=1 м от поверхности. Плотность жидкости =0,9 т/м3. Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки.
Решение. Для определения силы давления жидкости воспользуемся законом Паскаля, согласно которому давление p жидкости на площадку S, погруженную на глубину h:
,
где - плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.
Рис. 1.
Прямыми, параллельными поверхностями жидкости, разобьем треугольник на элементарные полоски шириной dy (рис. 1), отстоящие от поверхности жидкости на расстояние y+d. Из подобия треугольников ABC и A1B1C1 имеем:
,
т.е. площадь вырезанной полоски
,
а давление на каждую из сторон полоски треугольной пластины
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получаем
.