seminar1-4
.pdfСеминар 4
Метод наложения. Линейные соотношения. Метод пропорциональных
величин.
Расчет электрических цепей можно значительно упростить с помощью принципа наложения и основанного на его использовании метода наложения. При использовании метода наложения используются расчетные понятия входного сопротивления, входных и взаимных проводимостей ветвей. При этом можно решать не только задачи прямого анализа электрических цепей, но и обратные задачи, в которых часть параметров цепи с известной топологией неизвестна и подлежит определению, а в число известных параметров могут быть включены токи и напряжения некоторых ветвей цепи. Важным свойством линейных цепей является свойство взаимности, линейная связь между током и напряжением или между токами различных ветвей. Линейные соотношения можно применять при расчете цепей с изменяющимися параметрами. При расчете цепей с одним источником используют метод пропорциональных величин, значительно упрощающий расчет сложных разветвленных цепей.
Задача 4.1. Составить уравнение линейной связи между напряжением U5 и током I3 при изменении сопротивления R5 = 0 ÷ ∞. Параметры остальных элементов не изменяются и равны: R1 = R3 = R4 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, Е1 = 20 В.
Решение.
U |
(I |
) aI |
3 |
|
5 |
3 |
|
|
Ток I3 и напряжение U5 связаны линейным соотношением b .
Выберем два режима для определения коэффициентов линейности a и b.
Пусть R5=∞ (разрыв ветви). Рассчитаем ток |
|
|
и напряжение |
U |
|
в этом |
||||||||
I3 |
5 |
|||||||||||||
режиме. Расчетная схема имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
E |
|
|
|
20 |
2 A |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R |
(R |
R ) |
|
|
10 |
|
|||
|
|
R |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
R |
(R |
R ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
I |
|
|
|
R2 |
|
1 A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
1 R |
|
(R R ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
U I R |
||
5 |
3 |
4 |
5
B
.
U 5
Пусть R5=0 (короткое замыкание ветви). Рассчитаем ток в этом режиме. Расчетная схема имеет вид:
I 3
и напряжение
|
|
|
0 |
Тогда U5 |
|||
При I 1 A |
|||
|
|
3 |
|
при |
|
1,6 A |
|
I3 |
I |
|
E |
|
|
|
20 |
2,4 A |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
R |
R |
|
|
10 5 |
|
|
5 |
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
R |
R |
|
|
10 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I |
|
R |
2,4 |
|
10 |
1,6 A |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
1 |
R |
|
R |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 5 B , следовательно |
a 1 b 5 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, следовательно |
a 1,6 b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
U5 |
|
|
|
|
|
|
Решаем уравнения
a
8,33
,
b
13,33
.
Линейное соотношение имеет вид
U |
(I |
) |
5 |
3 |
|
13,33
8,33I |
3 |
|
.
Задача 4.2. Рассчитать все токи методом пропорциональных величин. Значения сопротивлений указаны на схеме в [Ом], ток источника J=16 А.
Решение. Метод пропорциональных величин используется при расчете разветвленных цепей с одним источником. Расчет схемы начинают с “конца” цепи, задавая ток в “конечной” ветви равный какой-либо величине, как правило, 1 А. Используя закон Ома и законы Кирхгофа, рассчитывают последовательно токи всех ветвей. Затем определяют величину источника и сравнивают ее с исходной. Коэффициент пропорциональности k определяется отношением исходной величины источника к рассчитанной. Решение основано на выполнении принципа линейности: изменение величины источника в k раз приводит к изменению величин всех токов в k раз.
Пусть I 1 A . Рассчитаем все токи и величину источника J при котором
6
ток I 1 A .
6
Расчетная схема имеет вид:
Для расчета остальных токов и напряжений воспользуемся законом Ома и законами Кирхгофа.
U |
I |
10 |
6 |
I |
|
U |
|||
|
|
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
U |
||
|
|
|
34 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
равен |
|
J |
|
|
|
|
|
2 2
1 A
4 A
I I |
|
1 |
2 |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||||
B , |
I5 |
2 A , I4 I5 I6 3 A , U20 I4 2 U10 8 B , |
||||||||
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 20 B, |
|
|
, I2 |
I3 |
I4 |
4 A , U34 |
I2 |
U20 |
I2 |
|
. Следовательно, ток источника при |
I |
|
1 A |
должен быть |
6 |
||||
8 A . По условию ток источника |
J 16 A . Определим |
коэффициент пропорциональности k |
J |
|
16 |
2 . Все токи и напряжения |
||
J |
|
8 |
||||
|
|
|
ветвей необходимо изменить в k раз, т.е. увеличить в 2 раза.
Задача 4.3. Проверить выполнение свойства взаимности между первой и пятой ветвью электрической цепи. Параметры элементов: R1 = 5 Ом, R2 = 8
Ом, R3 =2 Ом, R4=3 Ом, R5 = 6 Ом.
Решение. В соответствии с принципом взаимности если единственный источник Е1 в первой ветви определяет величину тока в пятой ветви равной I5, то точно такой же источник Е5 = Е1 в пятой ветви будет определять ток в первой ветви численно равный I1= I5.
Зададим I5=1 А. Величина тока источника при такой величине тока пятой ветви Е1=34,5 В (расчет провести самостоятельно).
Перенесем источник в пятую ветвь:
Теперь зададим I1=1 А. Величина тока источника при такой величине тока первой ветви также Е5=34,5 В (расчет провести самостоятельно).
Принцип взаимности выполняется.
Задача 4.4. Определить токи I1 и I2 методом наложения. При каком значении тока источника J ток I1 станет в два раза больше и поменяет свое направление? Параметры элементов цепи: R1 = 2 Ом, Е1 = 20 В, R2 = 3 Ом,
J 3= 6 А.
Решение. По методу
токов: |
I |
I |
( E ) |
I |
( J |
) |
, I |
|
1 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
частичным схемам.
наложения ток находится как сумма частичныхI2( E1 ) I2( J3 ) . Частичные токи рассчитываются по
Частичная |
схема от источника Е1 |
Частичная |
схема |
от |
источника J |
|||||||||||||||
(J=0): |
|
|
|
|
|
|
(Е1=0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( E1 ) I ( E1 ) |
|
E1 |
|
20 |
4 A |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
R1 R2 |
|
2 3 |
I ( J3 ) J |
|
|
|
|
6 |
3,6 A |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 R |
R |
2 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
( J3 ) J |
|
|
R1 |
|
6 |
|
2 |
|
2,4 A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 R R |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
I |
2 |
|
Токи ветвей:
I |
( E ) |
I |
( J |
) |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
I |
I |
|
|
( E ) |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
4 2,4 |
I |
( J |
) |
4 |
3,6 |
0,4 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6,4 A |
|
|
A
,
Определим входную |
проводимость |
(коэффициент передачи по |
|||||
|
|
|
I |
( E ) |
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0,2 См (знак “–” указывает на |
напряжению) первой ветви: |
g11 |
1 |
|
||||
|
E |
20 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
то, что направление частичного тока не совпадает с выбранным
направлением |
|
|
|
тока |
|
ветви), |
коэффициент |
передачи |
по |
току |
||||||||||||
|
|
I |
( J |
) |
|
3,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k13 |
|
3 |
|
|
0,6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
J |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно принципу наложения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I |
I ( E1 ) |
I ( J3 ) |
g |
|
E k |
J |
3 |
0,2E 0,6J |
3 |
. Для |
того чтобы |
ток первой |
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
1 |
13 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
ветви |
|
|
|
стал |
|
в |
|
два |
раза больше и |
поменял |
свое направление, |
т.е. |
||||||||||
|
I1 ( 0,4) 0,8 A |
при Е1 |
= 20 В ток источника тока должен быть |
|||||||||||||||||||
I1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
0,8 0,2 20 |
8 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J3 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4.5. Определить ток I5, применив метод наложения. Параметры
элементов: R1 = 6 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 3 Ом, Е1 = 24 В, Е5 = 12 В, J6= 2 А.
Решение. По методу наложения I5
Частичная схема от источника Е1:
Частичные токи: I1( E1 ) g11E1 83 A ,
I |
( E ) |
|
1 |
||
|
||
|
5 |
I5( E1 )
( E |
) |
( J |
) |
. |
I5 |
|
I5 |
|
|
5 |
|
6 |
|
|
Входная проводимость
g |
1 |
|
1 |
См |
|
|
|||
11 |
Rвх ( E1 ) |
9 |
|
|
|
|
Rвх( E1 ) (R3 R4 R5 ) R2 R1
43 A .
Частичная схема от источника Е5:
( E |
) |
g55 E5 |
4 |
A |
Частичный ток: I5 |
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Частичная схема от источника J6:
Входная проводимость
g |
|
|
1 |
|
|
1 |
См |
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
|
9 |
|
|
|
|
||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
вх ( E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
R R |
R R |
|||||||
|
вх( E ) |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Напряжение на источнике:
U J |
6 |
R |
) |
4 B |
|
|
|
|
вх( J |
|
|
||
Rвх( J6 ) (R1 |
6 |
|
|
R4 |
||
R2 R5 ) R3 |
Частичный ток: I |
( J |
) |
|
|
U |
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R R |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Ток в ветви может быть найден как
I |
|
I |
( E ) |
I |
( E |
) |
I |
( J |
) |
|
4 |
|
4 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
A . |
|
3 |
|||
|
|
сумма частичных токов:
A .