seminar1-12
.pdf
Семинар 12
Резонанс в электрических цепях.
В случае, когда ток и напряжение некоторого пассивного двухполюсника совпадают по фазе, т.е. двухполюсник обладает чисто активным сопротивлением и его реактивная мощность равна нулю, то говорят, что имеет место резонанс. Резонанса можно достигнуть, изменяя параметры цепи или частоту приложенного напряжения (тока). Частоту, при которой наблюдается резонанс, называют резонансной частотой. Наиболее простыми случаями резонанса является резонанс на участке цепи – последовательный и параллельный. Для исследования последовательного резонанса используют RLC контур. Добротность контура характеризует резонансные свойства контура. Зависимости действующего значения тока или напряжения на отдельных элементах RLC контура от частоты приложенного внешнего напряжения при неизменности его действующего значения называют резонансными кривыми, а зависимости параметров контура от частоты – частотными характеристиками.
Задача 12.1. Реактор (R, L) последовательно соединен с конденсатором емкостью С. Действующие значения напряжений на входе цепи и на конденсаторе известны: U = 60 B, UC = 80 B. Найти напряжение на реакторе Uр, если в цепи имеет место резонанс напряжений.
Построить векторную диаграмму напряжений на комплексной плоскости.
Решение.
1.Из условия резонанса напряжений следует, что комплекс тока I совпадает по фазе с комплексом напряжения U на входе цепи.
2.Напряжение UC отстает от тока на 90о. По второму закону Кирхгофа
U = Uр +UC.
3. Векторная диаграмма имеет вид:
Из векторной диаграммы: Up 
602 802 100 В.
Задача 12.2. В цепи, состоящей из параллельно соединенных реактора (R, L) и конденсатора емкостью С. Известны показания амперметров А2 и А3:
I2 = I3 = 1 А. В цепи резонанс токов. Найти показание амперметра в ветви реактора А1.
Решение.
1.Условие резонанса токов: комплекс тока I3 совпадает по фазе с комплексом U.
2.Комплекс тока в емкостном элементе (конденсаторе) опережает по фазе напряжение U на 90о.
3. |
По 1-му закону Кирхгофа |
|
I3 = |
I |
1 + I2. |
|
|
|
||||||
4. |
Из |
|
построения |
векторной |
диаграммы |
следует, |
что |
|||||||
|
I1 |
I |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
А. |
|
|
|
||
|
2 |
I3 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||
Задача 12.3. Для цепи последовательного резонансного контура RLC известно: R=20 Ом, L=10 мГн, резонансная частота 0=106 рад/с. Напряжение на входе U=2 мВ.
Найти:
1.Значение емкости С0, при которой в цепи имеет место резонанс напряжений.
2. Добротность контура Q, значения тока и напряжений UL, UC при резонансе.
Решение.
1. |
Реактивное |
|
|
10 |
|
|
сопротивление |
|
|
индуктивной |
|
|||||||||||||||||
|
X L 0 L 10 |
|
2 |
10 |
|
|
Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
При резонансе |
напряжений |
|
|
XC |
= XL, т.е. |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
C0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
10 |
10 |
Ф = 100 пФ. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
10 |
6 |
10 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
500 . |
|
|
|||||||||||||
3. |
Добротность |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
R |
|
CR |
|
|
20 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
2 10 3 |
|
|
|
|||||
4. |
Ток при резонансе I |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 4 А = 100 мкА, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
катушки
0 L |
откуда |
действующее
значение напряжения на емкостном элементе равно действующему значению напряжения на индуктивном элементе UC = UL=104∙10-4=1 В. UL и UC при резонансе превышают в Q раз приложенное напряжение.
Задача 12.4. Для цепи последовательного контура заданы параметры: |
||
R=20 Ом, L=10 мГн. ЭДС источника e(t) 2sin10 |
6 |
t мВ. |
|
||
Определить значение емкости С0 при резонансе, добротность контура Q, полосу частот пропускания, 1% относительную и обобщенную расстройки, построив резонансную кривую зависимости I / I0 от частоты ω.
Какому условию должны удовлетворять частоты 1 и 2, при которых цепь, состоящая из последовательно соединенных R L и C элементов обладает одинаковыми по абсолютной величине, но противоположными по знаку реактивными сопротивлениями?
Решение.
1) Значение емкости при резонансе определяется по заданной частоте
|
|
1 |
=10 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
, следовательно, C |
1 |
|
1 |
10 10 Ф = 100 пФ. |
|
|
|||
|
|
|||
0 |
2 L |
|
1012 10 2 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Q |
L |
|
|
1 |
|
2) Добротность Q равна |
0 |
|
|
|||
R |
RC |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
3) Полоса пропускания определена по значения тока при резонансе I0.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
6 |
20 |
10 |
10 |
||||||
10 |
|||||||||
|
|
||||||||
уровню |
1 |
|
|
от |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
500 .
максимального
Частотная зависимость тока |
|
|
|
|
I |
( ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Q |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
из условия |
|
|
|
|
|
|
следует |
Q |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для граничных частот ω1 |
и ω2 |
полосы пропускания: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
при ω1 |
< ω0; |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
при ω2 > ω0. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
0 (1 |
1 |
|
) 0,999 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При Q>>1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2Q |
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 0 |
|
|
|
|
0 (1 |
1 |
) 1,001 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
,
|
Полоса пропускания ( ) |
|
|
106 |
2000 рад/с. |
||||||||||||
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
Q |
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. 1% относительная расстройка от резонансной частоты ω0 при = 1 и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
0 |
|
|
0,999 2 10 |
. |
|
||||||||
|
|
0,999 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1% обобщенная расстройка при = 1 и = 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
500 2 10 2 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
График зависимости I / I0 |
от обобщенной расстройки: |
|||||||||||||
Задача 12.5. Дано: R=30 Ом, ωL=40 Ом. при котором в цепи будет резонанс.
Решение.
1. Комплексные проводимости ветвей: Y1
Y |
1 |
|
1 |
|
|
R jX |
C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Z |
|
|
R jX |
|
|
R |
2 |
X |
2 |
|
2 |
|
C |
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определить значение ХС= 1/ωС,
|
1 |
|
1 |
|
|
R jX |
L |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R jX |
|
|
R |
2 |
X |
2 |
|
|
|
L |
|
|
L |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Входная проводимость:
Y |
Y Y |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
j |
|
|
|
X |
L |
|
|
|
|
X |
C |
|
|
G |
jB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вх |
1 |
2 |
R |
2 |
X |
2 |
|
R |
2 |
X |
2 |
|
R |
2 |
X |
2 |
|
R |
2 |
X |
2 |
вх |
вх |
||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.Условие резонанса входное сопротивление (проводимость)
двухполюсника чисто активное, т.е. Ввх =0. Тогда для определения ХС решаем
квадратное уравнение
3X |
2 |
250X |
|
|
C |
C |
|||
|
|
4800
0
. Два решения ХС1=30 Ом и
ХС2=53,3 Ом удовлетворяют решению.
Пусть
U U 0
и поддерживается неизменным. Постоим круговую
диаграмму модуля входного тока I при изменении ХС (вещественная ось располагается вертикально). При ХС=0 входной ток I=I1+I2, причем ток I2
максимален:
I I |
I |
|
|
U |
|
|
U |
2 |
|
|
|
||||
1 |
|
|
R jX |
|
|
R |
|
|
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
U |
|
j40 |
|
|||
30 |
|
30 |
|
U 20,8
19,5
.
При ХС=∞ ток
I I |
|
U |
|
|
U |
|
|
|
|||
1 |
|
R jX |
|
|
30 j40 |
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
U 50
53
. При изменении ХС
конец вектора входного тока описывает окружность. Если ХС1=30 Ом и ХС2=53,3 Ом, то входной ток совпадает с напряжением по фазе (резонанс).