Задание 8

Групповые коды с dмин = 3,4

Введение. Влияние ошибок на кодовую комбинацию при передаче по каналу связи представляют, как будто, кодовая комбинация складывается с вектором ошибки. Вектор ошибки это двоичная последовательность, имеющая такую же длину, как и кодовая комбинация, в которой на местах искажаемых разрядов кода стоят единицы, а в остальных разрядах – нули.

В этом задании рассматриваются коды G_7,4 иG_8,4 , соответственно сdмин = 3 иdмин = 4. В обеих кодах число информационных разрядов -4, а остальные разряды проверочные. Разряд кода обозначим буквой «а» с номером разряда. Для кодаG_7,4 один из вариантов образования проверочных разрядов выбирается из условий

а1 + а3 + а5 + а7 = Р1

а2 +а3 + а6 + а7 = Р2

а4 + а5 + а6 + а7 = Р3 .

Из условий Р1 = 0, Р2 = 0, Р3 = 0 получаем:

а1 = а3 + а5 + а7

а2 = а3 + а6 + а7

а4 = а5 + а6 + а7.

Таким образом, проверочными разрядами кода являются а1, а2, а4. А остальные разряды кода – информационные. Код записывается в виде порождающей матрицы, в которой на местах информационных разрядов записывается единичная транспонированная матрице в канонической форме, а о проверочные разряды определяются из соответствующих проверочных уравнений. Вид матрицы

а1 а2 а3 а4 а5 а6 а7

0 0 0 1 А1

0 1 0 0 А4

1 0 0 0 А8.

Здесь А1, А2, а4. А8 – номера кодовых комбинаций. Остальные получают их суммированием, например, А6 = А2 + А4. КодG_8,4 получают приписыванием к матрице кодаG_7,4 разряда а8, определяемого из проверочного уравнения Р4 = а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 +а8. Из условия Р4 = 0 находят а8.

Для кода G_7,4 на приёмной стороне находят трёхзначное число Р1Р2Р3, называемое опознавателем. Его десятичный эквивалент указывает номер искажённого разряда и для исправления ошибки значение разряда должно быть инвертировано. Так производится исправление одиночной ошибки. В кодеG_8,4 также возможно исправление одиночной ошибки, если нет двойной. Различные варианты одиночной и двойной ошибки определяют по значению опознавателя Р1Р2Р3Р4. Значение Р4 равно «1» только при наличии в кодовой комбинации одиночной ошибки.

Задание

1. Записать образующие матрицы кодов G_7,4 G_8,4, заполнив проверочные разряды.

2. В коде G_7,4 выбрать кодовую комбинацию с номером М. Если М > 15, то взять М – 15. Вычислить для неё опознаватель. Исказить один разряд кода и вновь вычислить опознаватель. Исправить ошибку.

3. Исказить в выбранной комбинации два разряда. Вычислить опознаватель. Обратить внимание как она будет декодирована.

4. Выполнить пункты 2 и3 для кода G_8,4 .

Контрольные вопросы

1. Почему код называется групповой. Что называется группой.

2. Докажите, что код _G7,4 имеетdмин = 3 .

3. Предложите другой вариант составления проверочных уравнений.

4. Покажите, что код G_7,4 является плотноупакованным (любая комбинация 7 разрядного кода является рабочей или отстоящей от неё на кодовое расстояние равное 1).

5. Код G_7,4 можно использовать как код только обнаруживающий ошибки. Какие ошибки он будет обнаруживать и как?

6. Предложите структуру кодирующего устройства для кода G_7,4.

7. Предложите структуру декодирующего устройства для кода G_7,4.

8. Можно ли построить групповой код, исправляющий двойные ошибки? Ответ обосновать.

9. Как изменяется избыточность кода с dмин = 3 при увеличении разрядности кода?

10. Необходимо закодировать кодом с dмин = 3 100 сообщений, какова будет длина кода и сколько в нём будет проверочных разрядов?

11. Если из кода G_7,4 исключить седьмой разряд, то получим кодG_6,3. Сколько в нём будет рабочих комбинаций и какова его корректирующая способность?

12. Как составляются проверочные уравнения для кода G_7,4 .