1.4. Пример графического решения

Решить графически задачу ЛП, заданную в канонической форме:

(6)

(7)

(8)

Число уравнений задачи m=3, число неизвестных n=5. Тогда n-m=2 и задача может быть сведена к задаче на плоскости относительно свободных переменных. Возьмем в качестве базисных переменные и выразим их через свободные (небазисные переменные):

(9)

По условию (8) переменные могут принимать только неотрицательные значения, т. е. допустимой областью задачи ЛП (6) - (8) будет область, определяемая условиями (8), (9), или

(10)

Чтобы получить задачу ЛП относительно переменных , подставим значения базисных переменных (9) в целевую функцию (6). В результате получим

(11)

Задача (10), (11) эквивалентна задаче (6) - (8), поэтому решая графически задачу (10), (11), получим решение задачи (6) - (8).

Этап 1. Построение допустимой области.

Каждое из неравенств (10) определяет некоторую полуплоскость :

Так, неравенство определяет правую полуплоскость. Неравенствоопределяет полуплоскость, лежащую по ту сторону от прямой, где. Подставляя значенияв это неравенство, получим 0>-2, значит, координаты (0,0) удовлетворяют первому неравенству (10) и область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично определяют полуплоскости остальных неравенств (10).

На рисунке прямые, соответствующие условию , отмечены цифрой в скобках.

Получили допустимую область M – выпуклый пятиугольник OABCD.

Этап 2. В допустимой области M находим оптимальное решение.

Строим прямую и определяем направление возрастания функции, это направление вектора. Перемещая прямую L параллельно самой себе в направлении векторадо тех пор, пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений, найдем, что в крайнем возможном положении прямаяL пройдет через точку . Этому положению прямойL соответствует значение . Для нахождения координат точкинеобходимо совместно решить систему уравнений граничных прямых, на которых лежит точка:

В результате получаем искомое оптимальное решение . Подставляя значенияив целевую функцию и в равенства (9), получим оптимальное значение целевой функциии оптимальное решение:

2. Численные методы решения задач лп

2.1. Симплекс-метод

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:

(12)

……………………… (13)

(14)

Будем предполагать, что (иначе, умножим соответствующее уравнение на-1, уравнения системы (13) линейно независимы, m<n и система (13) - (14) совместна.

При сделанных предположениях можно выбрать m неизвестных (к примеру ) таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не обращался в ноль. Тогда задача (12) - (14) может быть приведена к виду, который называется специальной формой задачи ЛП:

…………………………………….. (15)

Одно из допустимых решений этой задачи можно найти, если переменные положить равными нулю. Такое решение называется допустимым базисным решением. Оно имеет вид

.

Этому решению соответствует значение целевой функции . Переменныеназывают базисными, набор переменныхназывают базисом, а переменныеназывают небазисными или свободными. Число возможных базисов в задаче размерности n с m ограничениями не превосходит величину.

Известно, что каждому допустимому базисному решению соответствует вершина многоугольника допустимых решений и оптимальное решение задачи (при условии его существования) достигается в одной из вершин многоугольника. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП находится среди допустимых базисных решений. Существуют рациональные способы последовательного перебора допустимых базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. К таким методам относится симплекс-метод [1,2,3].