Федеральное агентство по образованию ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (ОмГТУ) Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА по дисциплине «Методы оптимизации» Вариант №35

Руководитель: д. ф.-м. н., профессор ________________________________________А.В. Зыкина подпись, дата Исполнитель: студент гр. АСZ-317________________________________________И.И. Иванов подпись, дата

Омск 2009

1. Построение канонической формы задачи лп

Привести задачу к КФ на минимум.

(1)

В задаче (1) нарушены все три признака КФ.

Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Для этого введем в первое и второе ограничения неотрицательные переменные y_1, y₂, которые называются дополнительными или слабыми. В результате система ограничений запишется в следующем виде:

(2)

Условия неотрицательности в (2) не выполняются только для переменной x₂. Представим переменную x₂ в виде разности двух неотрицательных переменных: После преобразования системы ограничений и целевой функции получим задачу

(3)

Переход к задаче минимизации целевой функции (4) осуществляется путем введения новой функции из равенства

.

2. Графическое решение задачи лп

Решить графически задачу ЛП, заданную в канонической форме:

(6) (7)

(8)

Число уравнений задачи m=3, число неизвестных n=5. Тогда n-m=2 и задача может быть сведена к задаче на плоскости относительно свободных переменных. Возьмем в качестве базисных переменные и выразим их через свободные (небазисные переменные):

(9)

По условию (8) переменные могут принимать только неотрицательные значения, т. е. допустимой областью задачи ЛП (6) - (8) будет область, определяемая условиями (8), (9), или

(10)

Чтобы получить задачу ЛП относительно переменных , подставим значения базисных переменных (9) в целевую функцию (6). В результате получим

(11)

Задача (10), (11) эквивалентна задаче (6) - (8), поэтому, решая графически задачу (10), (11), получим решение задачи (6) - (8).

Этап 1. Построение допустимой области.

Каждое из неравенств (10) определяет некоторую полуплоскость :

Так, неравенство определяет правую полуплоскость. Неравенствоопределяет полуплоскость, лежащую по ту сторону от прямой, где. Подставляя значенияв это неравенство, получим 0>-2, значит, координаты (0,0) удовлетворяют первому неравенству (10) и область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично определяют полуплоскости остальных неравенств (10). На рисунке прямые, соответствующие условию, отмечаем цифрой в скобках.

Получили допустимую область M – выпуклый пятиугольник OABCD.

Этап 2. В допустимой области M находим оптимальное решение.

Строим прямую и определяем направление возрастания функции, это направление вектора. Перемещая прямую L параллельно самой себе в направлении векторадо тех пор, пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений, найдем, что в крайнем возможном положении прямаяL пройдет через точку . Этому положению прямойL соответствует значение . Для нахождения координат точкинеобходимо совместно решить систему уравнений граничных прямых, на которых лежит точка:

В результате получаем искомое оптимальное решение . Подставляя значенияив целевую функцию и в равенства (9), получим оптимальное значение целевой функциии оптимальное решение

3. Решение задачи в специальной форме симплекс-методом

Решить задачу, записанную в виде:

Составим симплексную таблицу:

L	0	1	2
	3	1	1
	1		1

Так как коэффициенты строки целевой функции неотрицательны, то начальное базисное решение не является оптимальным. Значение целевой функции для этого базисаL=0.

Выбираем ведущий столбец – это столбец, который соответствует переменной .

Выбираем ведущую строку. Для этого находим . Следовательно, ведущая строка соответствует переменной.

Проводим преобразование симплексной таблицы, вводя переменную в базис и выводя переменнуюиз базиса. Получим таблицу:

L	-2	2	-2
	2		-1
	1		1

Одна итерация метода завершена. Переходим к новой итерации. Полученная таблица неоптимальная. Базисное решение, соответствующее таблице, имеет вид . Значение целевой функции на этом базисеL= -2.

Ведущий столбец здесь – столбец, соответствующий переменной . Ведущая строка – строка, соответствующая переменной. После проведения преобразований получим симплексную таблицу:

L		-4/3	-2/3
	4/3	2/3	-2/3
	5/4	1/3	2/3

Еще одна итерация завершена. Переходим к новой итерации.

Строка целевой функции не содержит положительных значений, значит, соответствующее базисное решение , является оптимальным и алгоритм завершает работу.