6. Построение двойственной задачи

Построить двойственную задачу к следующей задаче ЛП.

Прежде чем приступать к построению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной: согласовать знаки неравенств в ограничениях с целевой функцией. Так как ЦФ минимизируется, то неравенства должны быть записаны с помощью знака «». Для этого второе неравенство умножим на-1:

Теперь, вводя двойственные переменные , запишем в соответствии с указанным правилом пару двойственных задач:

Задача слева – исходная прямая задача, задача справа – двойственная к исходной задаче.

7. Решение пары двойственных задач

Используя теоремы двойственности, решить двойственную задачу, если известно решение прямой задачи.

(12)

Пусть решение задачи найдено одним из стандартных методов: . Построим двойственную задачу:

(13)

По первой теореме двойственности задача разрешима, причем . Найдем оптимальный планзадачи (13), используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты векторав ограничения задачи (12). Получим

Следовательно, в силу УДН, неравенство должно выполняться как равенство, т. е.. Далее так как, то в силу УДН,

.

Получаем систему линейных уравнений и решаем ее:

Планы иудовлетворяют УДН, следовательно, в силу второй теоремы двойственности, являются оптимальными в задачах (12) и (13) соответственно.

8. Проверка вектора на оптимальность

Исследовать вектор на оптимальность в задаче ЛП.

Вначале нужно проверить, является ли вектор допустимым. Для этого подставляем координаты вектора в ограничения:

Так как второе ограничение выполняется как строгое неравенство, то в силу УДН для оптимальности вектора необходимо выполнение равенства.

Построим двойственную задачу.

Поскольку , то из третьего и четвертого ограничений получаем. Но по УДН из условияследует, что должно выполняться равенство в первом ограничении двойственной задачи:

Подставляя значения получимСледовательно, УДН не выполняются и векторне является оптимальным в исходной задаче.

9. Решение задачи цлп

Решить задачу ЦЛП.

Решаем задачу ЛП симплекс-методом. Оптимальная таблица имеет вид

	b
L	-14/3	-4/3	-2/3
	5/3	1/3	2/3
	4/3	2/3	-2/3

Оптимальное решение не является целочисленным. Выберем среди нецелочисленных переменныхпеременнуюс максимальной дробной частью и построим соответствующее отсечение:Приписывая это ограничение к симплексной таблице и проводя стандартное преобразование двойственным симплекс-методом, получим:

	b
L	-14/3	-4/3	-2/3
	5/3	1/3	2/3
	4/3	2/3	-2/3
	-2/3	-1/3	-2/3

	b
L	-4	-1	-1
	1	0	1
	2	1	-1
	1	1/2	-3/2

Полученная таблица является оптимальной. Соответствующее оптимальное решение является целочисленным. Значение функции на этом решении.