1. Графическое решение задач лп

1.1. Каноническая форма задачи лп

Для численного решения задачи ЛП требуется предварительно привести ее к каноническому виду:

(1)

………………………

Каноническая форма (КФ) (1) задачи характеризуется следующими тремя признаками:

1. однородная система ограничений в виде системы уравнений;

2. однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче;

3. минимизация (максимизация) целевой функции.

Известно, что для произвольной задачи ЛП можно построить эквивалентную ей каноническую задачу ЛП (эквивалентность двух задач означает, что оптимальному решению одной задачи соответствует оптимальное решение другой)[1,2,3].

1.2 Пример построения канонической формы

Привести задачу к КФ на минимум:

(2)

В данной задаче (2) нарушены все три признака КФ.

1. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Для этого введем в первое и второе ограничения неотрицательные переменные y_1, y₂, которые называются дополнительными или слабыми. В результате система ограничений запишется в следующем виде:

(3)

2. Условия неотрицательности в (3) не выполняются только для переменной x₂. Для приведения задачи к однородным условиям неотрицательности можно воспользоваться двумя приемами.

Первый прием. Представим переменную x₂ в виде разности двух неотрицательных переменных: После преобразования системы ограничений и целевой функции получим задачу

(4)

Второй прием. Найдем из какого-либо уравнения (4) переменную x₂. Пусть из первого уравнения . Подставим это выражение во все уравнения и в целевую функцию, исключив таким образом переменную x₂ из задачи. Получим

(5)

3. Переход к задаче минимизации целевой функции L в задаче (5) осуществляется путем введения новой функции из равенства

в первом случае,

во втором случае.

1.3. Общие рекомендации к графическому решению задач лп

1. Графически могут решаться [1]:

1. задачи, заданные в произвольной форме, содержащие не более двух переменных;

2. задачи, заданные в канонической форме, с числом свободных переменных ;

3. задачи в произвольной форме записи, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных переменных .

2. Основной формой для графического решения является 1-й тип задач. Поэтому, если встречается 2-й или 3-й тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к первому типу.

3. Решение задач 1-го типа выполняется в два этапа:

этап 1 – построение области допустимых решений;

этап 2 – построение в допустимой области оптимального решения.

4. При построении области допустимых решений может встретиться один из трех случаев:

а) пустая область – задача не имеет решения из-за несовместности системы ограничений в области допустимых решений;

б) выпуклый многоугольник – задача всегда имеет оптимальное решение;

в) неограниченная выпуклая многогранная область – в зависимости от направления вектора c (вектора коэффициентов целевой функции L) задача может иметь или не иметь решение. Последнее связано с неограниченностью целевой функции в области допустимых решений.

5. Если оптимальное решение существует, то возможен один из трех исходов:

а) оптимальное решение единственное и совпадает с одной из вершин области;

б) оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины областии :

в)оптимальные решения соответствуют всем точкам допустимого луча, исходящего из вершины области :