- •Мультимедийные лекции по физике
- •Тема 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
- •3.1. Момент инерции
- •1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения –
- •Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
- •2. Момент инерции твёрдого тела относительно
- •Момент инерции i-той элементарной массы
- •Элементарные массы можно представить как
- •Соответственно момент инерции элементарной массы
- •Момент инерции однородного цилиндра
- •Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
- •Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
- •Учтем, что масса цилиндра
- •Моменты инерции тел правильной формы
- •Толстостенный цилиндр
- •Теорема Штейнера
- •Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
- •3.2. Момент силы
- •Моментом силы относительно точки называется
- •Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
- •Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора, направленного
- •На рисунке показаны плечи d1 и d2 сил F1 и F2 соответственно.
- •Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки,
- •Рассмотрим случай, когда ось вращения закреплена.
- •Модуль момента силы относительно закреплённой оси
- •На рисунке показано вращение материальной точки (элементарной массы) в плоскости.
- •3.3. Момент импульса
- •Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая движения материальной точки.
- •2. Движение материальной точки по окружности.
- •Моментом импульса материальной точки
- •Модуль момента импульса относительно оси Z
- •Рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг
- •Момент импульса материальной точки
- •Заметим, что
- •3.4. Основной закон динамики
- •Вычислим производную от вектора момента импульса по времени
- •Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по
- •Момент инерции J абсолютно твердого тела – постоянная величина.
- •J εz Mz внеш.
- •Графическая интерпретация
- •Из законов динамики поступательного и вращательного движений следуют условия равновесия тел.
- •Равновесие может быть:
- •1)- устойчивое положение равновесия.
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vii ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
J Ji |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|||||
|
Ji mi ri |
|
|
|
i 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Окончательно получим |
L J |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lz J ω
Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси равен произведению момента инерции этого тела относительно данной оси на угловую скорость вращения.
3.4. Основной закон динамики
вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается вокруг закреплённой оси под действием внутренних и внешних сил.
Разобьём тело на материальные точки.
Момент импульса материальной точки относительно оси вращения определяется выражением:
LZ (r p)Z
Выясним, от чего зависит изменение момента импульса материальной точки.
Вычислим производную от вектора момента импульса по времени
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(r |
p) |
|
|
|
m(r |
v) |
|
||||
dt |
dt |
dt |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m( |
dr |
|
|
dv |
) |
|
|
||||||||
|
|
v) m(r |
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
m(v v) m(r |
a) 0 (r |
F) M |
dL |
|
dL |
z |
|
|
M и |
|
Mz |
|
dt |
dt |
|
||
|
|
|
Формулировка основного закона вращательного
движения: скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту сил, действующих на эту точку.
Другая формулировка: изменение момента импульса
материальной точки равно импульсу момента
приложенной силы.
dL M dt
Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по всем точкам тела:
|
dLzi Mzi |
|
|
d Lzi Mzi |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt i 1 |
i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dLz |
n |
n |
|
Mzi внутр. Mzi внеш. |
||
|
|
||
|
dt i 1 |
i 1 |
Впоследнем равенстве Lz – момент импульса тела относительно оси Z.
n
Mziвнутр. 0 i 1
– сумма моментов внутренних сил равна нулю.
n
Mziвнеш. MZi,ВНЕШ i 1
– сумма моментов внешних сил отлична от нуля.
Тогда для всего тела в целом имеем равенство:
dL
dtz Mz внеш.
dL
dtz Mz внеш.
Полученное равенство выражает наиболее общую запись основного закона динамики
вращательного движения: скорость изменения момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения равна результирующему моменту внешних сил, действующих на это тело относительно этой же оси.
Учтем, что |
Lz J ω |
|
|
|
|
Момент инерции J абсолютно твердого тела – постоянная величина.
Вынесем её за знак дифференциала:
|
|
d |
J ω Mz внеш. |
|
|
J dω |
M z внеш. |
||
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим |
dω |
ε z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
εz – проекция вектора углового ускорения на ось Z, направленную по вектору угловой скорости.
Окончательно получим: |
J εz Mz внеш. |
|
J εz Mz внеш.
Равенство, записанное для проекций входящих величин, можно записать и для модулей и для векторов этих
величин: |
|
|
|
|
|
|
|
|
M внеш. |
|
|
|
M |
внеш. |
|
||
|
|
|
||||||
|
ε |
J |
|
ε |
|
|
||
|
|
|
|
J |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другая формулировка основного закона динамики
вращательного движения закона:
угловое ускорение твёрдого тела при его вращении вокруг закреплённой оси прямо пропорционально результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси и обратно
пропорционально моменту инерции тела.
Графическая интерпретация
ε |
ε |
|
|
|
ε Mвнеш. |
|
J |
М |
J |
Угловое ускорение |
|
Угловое ускорение |
прямо пропорционально |
|
обратно пропорционально |
моменту силы |
|
моменту инерции |