Закон парности касательных напряжений

В окрестностях произвольной точки напряженного тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллепипеда со сторонами dx,dy,dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения: нормальное напряжение и два касательных (рис.20).

Рис.20

Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:

М_х= 0,

_уdxdzdy-_уdxdzdy+_zdxdydz-_zdxdydz+_xydydz-_xydydz+

+ _xzdydz-_xzdydz+_zydxdydz-_yzdxdzdy= 0,

приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:

_zy=_yz. (29)

Составляя уравнения равновесия относительно осей YиZ, получим аналогичные выражения:

_zх=_хz, (30)

_хy=_yх.

Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.

Напряжения на наклонных площадках

Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис.21).

Рис.21

Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали с направляющими косинусамиl,m,n. На наклонной площадке площадьюdFдействует полное напряжение Р с проекциями по осям Р_х, Р_у, Р_z. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке -_ и_. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:

dF_x=dFl,dF_y=dFm,dF_z=dFn.

Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:

Х = 0,

P_xdF-_xdF_x-_yxdF_y -_zxdF_z= 0,

P_xdF - _xdFl - _yxdFm - _zxdFn = 0,

P_x = _xl + _yxm + _zxn. (31)

Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси YиZ, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:

P_y = _xyl +_ym + _zyn,

P_z = _xzl + _yzm +_zn. (32)

Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.

_=P_xl+P_ym+P_zn=

= _xl²+_yxml +_zxnl+_xylm +_ym²+_zynm+_xzln +_yzmn+_zn²

С учетом закона парности касательных напряжений - (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:

_ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm (33)

Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:

Р²=P_x² +P_у²+P_z²=_²+_²,

_²=P_x² +P_у²+P_z²-_². (34)