Интегральные характеристики напряжений в точке

Установим связь между интегральными характеристиками напряжений и напряжениями в сечении.

Рис.19

Выберем бесконечно малую площадку dF=dxdy. На этой площадке действуют нормальное напряжение_zи касательные напряжения_zx, _zy (рис.19). Для того, чтобы найти элементарную продольную силу, необходимо умножить нормальное напряжение на площадь площадки, на которой оно действует (_zx, _zyперпендикулярны осиZи поэтому не входят в состав продольной силы). Так как таких элементарных площадок по сечению бесконечно много, то, чтобы найти полную продольную силу, необходимо проинтегрировать элементарную продольную силу по площади поперечного сечения:

dN=_zdxdy,

N=. (19)

Аналогично поступаем для получения выражений поперечных сил:

Q_x=,

Q_y=. (20)

Для получения выражений изгибающих и крутящего моментов напомним, что момент - это произведение силы на плечо (плечо - это кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы). Вокруг оси Х момент создает только сила _zdxdy(сила_zхdxdyне создает момент, так как параллельна оси Х; сила_zуdxdyне создает момент, так как пересекает ось), плечом для этой силы является координатаYточки действия силы. Момент положительный, так как создает вращение против часовой стрелки:

M_x=. (21)

Аналогично поступаем для получения выражений моментов M_уиM_z:

M_у=-, (22)

М_z = . (23)

Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения

Определим величину нормального напряжения в плоскости поперечного сечения, зная интегральные характеристики в этом сечении. Предположим, что нормальные напряжения в сечении распределены по линейному закону:

(х,у) = а + bх + су (24)

С нормальным напряжением в сечении связаны продольная сила и два изгибающих момента. Подставим в выражения (19), (21) и (22) наше предположение о линейной зависимости напряжения от координат в сечении (24):

N = ==

= ++=

= аF+bS_y+cS_x

M_x = ==

= ++= aS_x+bI_xy+cI_x (25)

M_у = -= -=

= ---= -aS_y-bI_y-cI_xy

Выражения (25) были получены для произвольного положения осей. Их можно упростить, взяв в качестве системы координат главные центральные оси. По определению в этих осях статические и центробежный моменты инерции равны нулю (S_x=S_у= 0,I_xy=0).

N= аF

M_x=cI_x(26)

M_у= -bI_y

Из полученных выражений можно найти коэффициенты а, bи с:

а = N/F, с =M_x/I_x,b= -M_у/I_y(27)

Подставив полученные значения коэффициентов в наше предположение о распределении нормального напряжения по сечению (24), получим

 = , (28)

где N– продольная сила в сечении; М_х, М_у– изгибающие моменты в сечении;F– площадь поперечного сечения;I_х,I_у– главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.