Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского

Рассмотрим задачу об определении касательных напряжений при изгибе для узкого прямоугольника в качестве сечения.

При изгибе Q_у 0 и М_х 0. В этом случае в сечении возникают три напряжения_z,_zx,_zy. Тогда уравнения равновесия (54) и (55) из полной математической модели твердо деформированного тела примут следующий вид:

,

.

Из первых двух уравнений следует, что касательные напряжения являются функцией двух переменных (х, у). так как поверхность стержня свободна от напряжений, то по периметру сечения_zx= 0 по закону парности касательных напряжений (рис.37).

Рис.37

Для узкого прямоугольника они не успевают вырасти, поэтому будем считать _zxравными нулю по всей ширине сечения. Тогда третье уравнение равновесия примет вид:

. (81)

По той же причине, что прямоугольник узкий, будем считать, что _zyпо ширине сечения при у =constраспределено равномерно и является функцией только координаты у:

.

Пользуясь формулой нормальных напряжений в поперечном сечении (28), при изгибе получим:

 = ,

=,

М_х’ =Q_y

.

Проинтегрировав полученное выражение, получим:

_zy=-. (82)

Постоянную интегрирования можно определить из условия равенства нулю касательного напряжения _zyпри у=:

=0,

С = -.

Подставив значение константы в выражение (82) получим:

_zy=-=. (83)

На основе выражения в скобках можно сделать вывод, что касательные напряжения в сечении распределены по параболе.

Рис.38

Преобразуем выражение в скобках:

=

На рисунке 38 координатой yотсекается заштрихованная часть, которая имеет площадьF^*=bи координату центра тяжести относительно оси х у_с^*=. Произведение площади фигуры на координату ее центра тяжести относительно какой-либо оси дает статический момент инерцииS_x^*. Таким образом, выражение (83) примет вид:

_zy=(84)

Эта формула носит название формулы Журавского и служит для определения касательных напряжений, возникающих в сечении при изгибе.

Теории (гипотезы) прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в каждой точке тела.

Наиболее просто эта задача решается при простых видах деформации, в частности, при одноосных напряженных состояниях, так как в этом случае экспериментально легко установить значение предельных (опасных) напряжений. Под последними понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала).

Так, испытания образцов из определённого материала на простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей определить значение опасных напряжений:

_т– предел текучести

_о=

_в– временное сопротивление.

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые при растяжении [₊] или сжатии [_-] напряжения, обеспечивая коэффициент запаса против наступления предельного состояния.

Таким образом, условие прочности при одноосном напряженном состоянии принимает вид:

₁[₊],

|₃|[₊].

Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при сложном напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три главных напряжения ₁,₂,₃не равны нулю.

В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого объема испытаний.

Другой путь решения задачи заключается в установлении критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформированного состояния). Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение. Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставлять данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением, и установить при этом такое эквивалентное (расчётное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса.

Под коэффициентом запаса в общем случае напряженного состояния понимают число n, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния₁,₂,₃, чтобы оно стало предельным.

В настоящее время разработано достаточно большое число гипотез прочности. Ниже рассмотрим некоторые из них.

Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории, выдвинутой Галилеем (XVIIв.), преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.

Нарушение прочности в общем случае напряженного состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения (₀). Последнее легко устанавливается при простом растяжении на образцах из определённого материала.

Условие нарушения прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид

₁=₀.

Следовательно, условие прочности с учетом коэффициента запаса nбудет

₁[], (85)

где

[]=.

Таким образом, первая теория прочности из трех главных напряжений учитывает лишь одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.

Опытная проверка показывает, что эта теория прочности непригодна для большинства материалов и дает, в общем, удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов.

Вторая теория прочности (теория наибольших линейных деформаций).

Согласно второй теории прочности, предложенной Мариоттом (1682г.), принимается в качестве критерия прочности наибольшая по абсолютной величине линейная деформация. По этой теории нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация _maxдостигает своего опасного значения₀. Последнее определяется при простом растяжении образцов из определённого материала.

Таким образом, условия разрушения и прочности соответственно будут:

_max=₀,

_max[]=. (86)

Используя обобщенный закон Гука, легко выразить условие прочности в напряжениях:

_max=₁=[₁-(₂+₃)].

При простом растяжении, приняв в качестве допускаемого напряжения [], мы тем самым для наибольшего относительного удлинения допускаем величину

[]=.

Подставляем выражения для _maxи [] в (86) и находим:

[₁-(₂+₃)][]. (87)

Опытная проверка этой теории также показала, что она неприменима для большинства материалов и дает удовлетворительные результаты лишь для хрупкого состояния материала (например, легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории прочности в виде (87) недопустимо для материалов, не подчиняющихся закону Гука, или за пределами пропорциональности, а также когда наибольшая по абсолютной величине деформация отрицательна.

Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений).

Согласно третьей теории прочности, предложенной Кулоном (1773 г.), в качестве критерия прочности принимается величина наибольшего касательного напряжения. По этой теории нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение _maxдостигает своего предельного значения₀. Последнее определяется в момент разрушения при простом растяжении.

Условия разрушения и прочности имеют вид

_max=₀,

_max[]=. (88)

Так как согласно круговой диаграмме Мора

_max=,

₀=,

то условия разрушения и прочности (88) можно выразить через главные напряжения:

₁-₃=₀,

₁-₃[]. (89)

Третья теория прочности, в общем, хорошо подтверждается опытами для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Для хрупких материалов она неприменима.

Недостаток третьей теории заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения ₂, которое, как показывают опыты, оказывает также некоторое влияние на прочность материала.

Четвертая теория прочности (энергетическая теория формоизменения).

В качестве критерия прочности принимается количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом.

Согласно этой теории, выдвинутой Губером (1904 г.), опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент текучести.

Условие наступления текучести:

U_ф= (U_ф)_т.

Условие прочности:

U_ф[U_ф]. (90)

Удельная потенциальная энергия формоизменения при сложном напряженном состоянии равна:

U_ф=[₁²+₂²+₃²-(₁₂+₃₂+₁₃)]

При простом растяжении в момент наступления текучести (₁=_т;₂=₃=0):

(U_ф)_т=_т².

Следовательно, условие наступления текучести через напряжения можно записать в виде:

_т.

Условие прочности будет иметь вид:

[]=. (91)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

Теория прочности предельных напряженных состояний (теория Мора).

Теория прочности предельных напряженных состояний, предложенная Мором (начало ХХв.), основывается на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего ₁и наименьшего₃из главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение лишь незначительно влияет на прочность.

Если при данных значениях ₁ и₃нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя предельное напряженное состояние, получим для данного материала семейство предельных окружностей (рис.39):



А

В



С

Д

Рис.39

Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область сжатия прочность увеличивается. Это соответствует увеличению диаметров предельных окружностей по мере движения влево. Огибающая АВСД семейства предельных кругов ограничивает область прочности.

При наличии предельной огибающей расчет прочности производится весьма просто. По найденным значениям главных напряжений ₁ и₃строим круг. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Огибающую определяют путем построения по опытным данным нескольких кругов при различных комбинациях главных напряжений.

О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растягивающих напряжений и путем среза за счет наибольших касательных напряжений. При этом разрушение путем отрыва может происходить при весьма малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, отражающие разрушение путем отрыва, следует применять для материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории прочности, отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, следует применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория прочности Мора является универсальной и пригодной для всех материалов.

Так как первая и вторая теории прочности имеют существенные недостатки, то в настоящее время все более утверждается мнение о нежелательности их применения.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать:

а) третью теорию (или четвертую) – для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию;

б) теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластическое состояние материала определяется не только его характером, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, в то же время хрупкие материалы при определенных напряженных состояниях ведут себя как пластичные.

Так, например, при напряженных состояниях, когда все три главных напряжения - растягивающие и близки по величине, пластичные материалы ведут себя как хрупкие.

При напряженных состояниях, близких к всестороннему сжатию, хрупкие материалы могут вести себя как пластичные. При всестороннем сжатии материалы могут выдерживать, не разрушаясь, очень большие давления.