Математическая модель механики твердо деформируемого тела

Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно.

I.Уравнения равновесия.

В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объемdV=dxdydz. На каждой грани вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два касательных (рис.29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые силыR(X,Y,Z).

Рис.29

Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу, необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.

-_xdydz+ (_x+d_x_x)dydz-_yxdxdz+ (_yx+d_y_yx)dxdz–

- _zxdxdy+ (_zx+d_z_zx)dxdy+Xdxdydz= 0,

раскроем скобки и распишем частные производные

,

поделим уравнение на элементарный объем

(54)

Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:

,

. (55)

Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для решения поставленной задачи.

II.Геометрические соотношения.

В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и деформации (рис.30) точка А переместилась в точку А₁с координатами (х₁, у₁,z₁) на малую величинуr(х,у,z).

Введем обозначения

х = х₁– х =U,

у = у₁– у =V, (56)

z=z₁–z=W,

где U,V,W– перемещения вдоль координатных осей Х, У,Z.

Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dSс направляющими косинусами (l,m,n). Изменение длины отрезка под нагрузкойdS₁-dS=dSназываетсяабсолютным удлинениемили приращением.

Рис.30

Отношение приращения к первоначальной длине отрезка называется относительным удлинением или линейной деформацией:

 = (57)

Пусть отрезок dSимеет проекции по координатным осям (dx,dy,dz). Зная направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:

dx=ldS,

dy=mdS, (58)

dz=ndS.

Найдем длину отрезка dSчерез проекции:

dS² =dx² +dy² +dz².

Продифференцируем это выражение:

2dSdS = 2dxdx + 2dydy + 2dzdz (59)

учитывая выражения (56), можно записать:

dx=dx=dU,

dy = dy = dV, (60)

dz = dz = dW.

Подставим полученные выражения в (59):

dSdS =dxdU +dydV +dzdW,

следовательно, приращение отрезка равно:

dS = dU + dV + dW = ldU + mdV + ndW (61)

найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):

 = =l +m +n(62)

Перемещения U,V,Wявляются функциями трех координат, так как они зависят от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам. Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.

,

, (63)

.

Поделим каждое из уравнений (63) на dS:

,

, (64)

.

Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам, получим полное выражение для линейной деформации:

Введем обозначения

,,, (65)

,,.

Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши деформация в произвольном направлении получит следующий вид:

(66)

Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66) справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dSпараллельно оси Х, тогда его длина определяется проекцией на эту осьdS=dxи направляющие косинусы равныl=1,m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом случае будет равна:

 = .

т.о._х– линейная деформация в направлении оси Х; аналогично_у– линейная деформация в направлении осиY;_z– линейная деформация в направлении осиZ.

Теперь определим, что такое . Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами, параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и занял положение А₁В₁С₁ (рис.31).

Рис.31

Точка А переместилась вдоль оси YнаV, а точка В вдоль той же оси переместилась наV+d_xV. При этом длина отрезкаdxсталаdx+dx. Рассмотрим треугольник А₁В₁В’:

tg= (67)

Аналогично рассмотрим треугольник А₁С₁С’:

tg= (68)

Первоначально прямой угол уменьшился на +. С учетом того, что при малых углахtgполучаем:

.

Таким образом, получается, что _ху– изменение прямого угла со сторонами, параллельными координатным осям, т.е.угловая деформацияв плоскости ХY. Аналогично можно получить две других угловых деформации.

III.Физические соотношения.

При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:

. (69)

Также опытным путем установлены модуль ЮнгаЕ – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией икоэффициент Пуассона– отношение поперечной деформации к продольной.

Рассмотрим закон Гука в главных осях.

Рис.32

При одноосном напряженном состоянии (рис.32) деформации по трем осям будут равны:

, (70)

.

При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения в отдельности.

Рис.33

От напряжения ₁:

,.

От напряжения ₂:

,.

От напряжения ₃:

,.

Найдем суммарные деформации по координатным осям.

,

, (71)

.

Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно, существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных осей к произвольным:

(72)

Нормальное напряжение ₁можно выразить по основной квадратичной форме (33) через напряжения в произвольных осях:

₁ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm

Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на сумму квадратов направляющих косинусов (l² +m² +n² = 1)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:

Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в произвольном направлении (66):

,

,

, (73)

,

,

.

Где G=- модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся характеристикой материала.

Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь между напряжениями и деформациями.

Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 уравнений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации).

Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, так как часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, то есть дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности).

Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.