Binder1

n ,

4. Если при некотором n 1 M

то для

k n существует k t

ix keitxdF x ,

k

причем mk M k

0

и справедливо разложение характеристической функции

ik

n

it

k

it

n

t

mk

n t .

k!

n!

n t

n ,

n t 0

k 0

При этом

3M

при t 0.

1. Пусть

1, 2 – независимые

случайные величины, имеющие распределения

1 и

2 .Показать, что 1

2 1

2 .

Решение. Вычислим

2

t t

t e 1 1 eit e 2 1 eit e 1 2 1 eit .

1

1

2

2. Пусть

– k -мерный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение N m, ,C –

прямоугольная матрица размера r k, d

– r-мерный вектор-столбец. Показать, что случайный

F b F a

1

c

e ita e itb

t dt.

lim

2 c

c

it

2. Если

t

dt , то распределение имеет плотность

1

f x

e itx t dt .

2

2

при некотором h 0..

ее характеристическая функция удовлетворяет равенству

1

h

характеристическими). Пусть t ,t R

– непрерывная функция,

причем 0 1.

Для того,

чтобы t

была характеристической функцией необходимо

и достаточно, чтобы она была

неотрицательно

определенной,

т.е.

для

любых

k N, t1, ,tk

R,

z1, ,zk C

должно

k

выполняться неравенство

tl tj

zl

z

j

0.

j,l 1

Сходомость последовательности случайных величин по распределению. ЦПТ

Опр. Последовательность случайных величин n

сходится по распределению к случайной

величине

при

d

последовательность

функций

n обозначение: n , если

распределения

F n

x

сходится

к функции

распределения

F x

в любой

точке ее

непрерывности.

Если N a, 2 ,

то говорят, что последовательность случайных величин

n асимптотически нормальна с параметрами

a, 2 обозначение: n а.н. .

Если при

n

n an

а.н. 0,1 ,

то говорят, что

последовательность случайных величин n

n

d

P

P

d

при n .

Пример 1. Если n , an

a, bn

b, то an

bn n a b

T

X0

.

1

Xi2

i 1

1

2

P

2

2

2

Решение. По ЗБЧ Хинчина

X

i

M

X

1

D

X

M

X

1

1 0 .

1

i 1

Воспользовавшись теоремой непрерывности, получим

T

X0

d

X0

X

.

1

1

0

Xi2

i 1

Теорема непрерывности для характеристических функций.

d

t при n .

1. Если n , то n t

то

k 1

а.н.

0,1 .

n

n

a

s

Sn ak,n

Ляпунова) Ls M

k,n

k,n

0 при некотором s 0,

то

k 1

а.н. 0,1 .

Bn

Bn

k 1

Доказательство. Проверим условие Линдеберга:

n

k,n ak,n 2

k,n ak,n

M

I

B

B

k 1

n

n

1

n

k,n ak,n 2 k,n ak,n s 2

k,n

ak,n

M

I

s 2

Bn

Bn

Bn

k 1

1 n

k,n ak,n s

k,n ak,n

L

M

I

s

0.

s 2

B

B

s 2

k

1

n

n

Многомерная центральная предельная теорема. Пусть

Z1,Z2,

последовательность

независимых случайных

векторов

со

средним

M Z1 a и

ковариационной матрицей

D Z1

. Тогда нормированная последовательность векторов

n

Zi na

i 1

а.н.

0,

при n .