Binder1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7) Медиана распределения x0,5 .

Опр. Число x0,5 называется медианой

распределения

с.в. , если оно удовлетворяет

соотношениям

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

называют распределением вероятностей случайной величины . Часто вместо того, чтобы задавать вероятностную меру сначала на , A , ее сразу определяют на ,B .

Закон распределения случайной величины – это множество возможных значений случайной величины и распределение вероятностей на этом множестве.

Распределение вероятностей может быть задано с помощью функции распределения (ф.р.), таблицы распределения или формулы, плотности, редко графически.

Примечание 2 (некоторые свойства измеримых функций).

1. Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.

Следствие. Борелевская функция от -измеримой числовой функции -измерима. Непрерывная функция от -измеримой числовой функции -измерима.

Действительная функция f

измерима тогда и только тогда, когда

x : f

для

любого c .

Сумма, разность, произведение двух измеримых функций измеримы.

Предел сходящейся при каждом x X последовательности измеримых функций измерим.

Пример 1. Показать, что индикатор случайного события

I A I A; I A 0,

является случайной величиной.

Решение.

Для

любого

: I

при

любом

0 x 1

: I

A A,

при

любом

1 x

: I

При этом

I A; 1 , I A; 0

– события на :

1 I

Пример 2. Определим ,

0;1

n 1

; B = B 0;1 . Тогда

x 0,

x : x 0, x , 0 x 1,

x 1.

Вывод. Случайную величину можно сразу определять на числовой прямой.

	2.2. Функция распределения случайной величины (ф.р.)
Ф.р. позволяет задать закон распределения любой с.в.		F x F x , x ,
Опр. Функцией	распределения с.в. называется числовая функция
заданная выражением F x P x .
Ф.р. F x определяет вероятность попадания с.в. левее точки x.
Основные свойства ф.р.
1. 0 F x 1	x .

2.F 0, F 1.

3.Непрерывна слева.

Пусть xn . Тогда An , xn , x A и по теореме непрерывности вероятностной меры

lim F

4. Неубывающая. Действительно

xn lim P An P A F x .

, x1 , x2 F x1 P X x1 P X x2 F x2 .

5. P x1 x2 F x2 F x1 ,	P x1 x2 F x2 0 F x1 .
		1
Так как a b a b			, то с использованием теоремы непрерывности

n 1		n

вероятностной меры

				1

P x1	x2	P x1	x2

		n 1		n

6. P x 1 F x .

lim P	x		x	1	F x	0 F x	.

		1	2		2	1
n				n

Возможный вид ф.р. определяет Теорема Лебега. Ф.р. произвольной с.в. может быть представлена в виде смеси трех компонент:

F x w1FД x w2 FН x w3 FС x ,

FД x - ф.р. дискретного типа,

FН x - ф.р. абсолютно непрерывного типа,

FС x - ф.р. сингулярного типа,

где w1 0, w2 0, w3 0, w1 w2 w3 1 – весовые коэффициенты.

Примечание. Если ф.р. с.в. имеет конечное или счетное число скачков, то - ДСВ.

Опр. С.в. имеет абсолютно непрерывное распределение (ф.р. абсолютно непрерывного типа,

если существует функция f x f x , называемая плотностью распределения вероятностей.

такая что

x
F x f x dx,	x .

Опр. Если ф.р. непрерывна, а множество точек ее роста имеет нулевую меру Лебега, то имеет

сингулярное распределение.

Тема 6. Анализ распределения случайной величины дискретного типа

Основные способы описания распределения дискретной случайной величины. Таблица распределения вероятностей. Нахождение функции распределения и вероятности попадания в интервал дискретной случайной величины. Основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия, мода, начальные и центральные моменты. Содержательная интерпретация числовых характеристик, возможная сфера применения. Постановка и решение задачи нахождения распределения функции от дискретной случайной величины. Моделирование дискретной случайной величины с заданным распределением.

		2.3. Анализ распределения ДСВ
Имеется с.в.	с множеством возможных		значений	x1, , xn и	соответствующих им
	p1, , pn ,	pi P xi .		пар xi , pi	, i		– таблица
вероятностей			Множество			1, n

распределения с.в. , которую удобно представить в виде таблицы из двух строк:

		x1	x2	…	xn
	P	p1	p2	…	pn
						n
p1, , pn – ряд распределения вероятностей с.в. : pi							1.

i 1

Основные типы задач, связанные с анализом ДСВ.

Тип 1. Нахождение закона распределения ДСВ.

Пример. 1-й магазин откроется в течение месяца с вероятностью р1 = 0,4; 2-й магазин – с вероятностью р2 = 0,3. Пусть открытие магазинов – независимые события. Обозначим Х – число магазинов, открывшихся за указанный период.

Решение. Покажем, что таблица распределения имеет вид

Пусть Ai

0,42

0,46

0,12

{ i -й магазин откроется}. Тогда

P X 0 P

0,6 0,7 0, 42;

P X 2 P

0,6 0,3 0, 4 0,7 0, 46;

P X 0

P A1 A2 0, 4 0,3 0,12.

Тип 2. Вычисление вероятности попадания ДСВ в заданное множество G:

P G

p .

i: xi G

Продолжение примера. В условиях примера вычислим

0 X

X 2

0, 46 0,12 0,58;

X 1

1 P

P X 3 P 0.

Тип 3. Нахождение функции распределения ДСВ:	pi .
F x P x	pi .
	{i: xi }

Особые свойства функции распределения ДСВ.

1) Ф.р. F x является ступенчатой функцией с точками разрыва x1, , xn . Между соседними точками разрыва ф.р. сохраняет свое значение.

Действительно, пусть x1 xn ; выберем x j 1 x x j		. Тогда левее точки x находятся только
точки x1, , x j 1 . Поэтому
	j 1
F x P x pi .
	i 1
2) В точке разрыва xi ф.р. получает приращение, равное pi .
Вычислим
j 1	F x j 0	j
F x j P x j pi ;	F x j 0	P x j 0 pi .
i 1		i 1

Тип 4. Вычисление числовых характеристик распределения.

Числовая характеристика распределения с.в. – это число, несущее в себе некоторую обобщенную информацию о распределении с.в.

Основные числовые характеристики с.в.

1) Математическое ожидание M M E (expectation, mean value, expected value).

Опр. Если – с.в., задаваемая таблицей распределения xi , pi , i 1, n , то математическое

ожидание (м.о.) – число, определяемое выражением

M xi pi .

i 1

Характеризует среднее значение с.в., определяющее центр распределения. В экономических приложениях м.о. используется в качестве меры эффективности совершаемой экономической операции.

Примечание.	Для произвольной функции h x математическое ожидание определяется по
	M h	n	h(x ) p ..
формуле:
			i i

i 1

Пример («лукавые цифры – средняя зарплата»).

2) Начальный момент k-го порядка – mk , k 0,1, .

Опр. m	M	k	.

k

Формула для вычислений: mk xik pi ..

i 1

3)Центральный момент k-го порядка k , k 0,1, . ; при этом M – центрированная с.в.

Опр. k M M k .

Формула для вычислений: k xi M k pi .

i 1

Примечание (связь центральных и начальных моментов). Воспользуемся биномом Ньютона:

a b n Cnj a jbn j . Последовательно получим

j 0

		k	k	j	M	k j		k	k j
k M	M		M Ck		M		Ck mj M			.
			j 0					j 0

Примечание. При выводе использован ряд линейных свойств м.о.: м.о. суммы равно сумме м.о., постоянный множитель выносится за знак м.о., м.о. константы равно константе.

4) Дисперсия (рассеяние) D D V (variance).

Опр. D 2 M M 2 .

Характеризует изменчивость с.в., рассеяние ее значений. В экономических приложениях дисперсия используется в качестве меры риска совершаемой экономической операции. Считается, что риск операции обусловлен неопределенностью ее результата.

Формулы для вычислений:

D xi M 2 pi ,

i 1

D m2 m12 xi2 pi M 2 .

i 1

5) Среднеквадратичное стандартное отклонение D[ ] .

Имеет то же назначение, что и дисперсия. Преимущество по сравнению с дисперсией – имеет ту же размерность, что и с.в.

6) Мода распределения d Mo .

Опр. Мода с.в. – ее наиболее вероятное значение. Если мода одна, то распределение называется

унимодальным.

Примечание. Определяет середину распределения. Является альтернативой математическому ожиданию.

Тип 5. Нахождение распределения функции от ДСВ.

Постановка задачи. Пусть xi , pi , i 1, n ( имеет таблицу распределения) и задано ее преобразование h . Требуется найти закон распределения с.в. .

Решение. Поскольку с.в. может принимать только одно из значений h xi , i 1, , n, то она является ДСВ. Ее закон распределения находится по схеме.

1) Определяем множество значений : y1, , ym , выбирая их из множества h xi , i 1, , n.


2) Вычисляем P y j P h y j P
	i: h xi y j

xi .

Универсальный метод моделирования ДСВ.

Теорема. Пусть R 0;1 – базовая		с.в., xi	, pi , x0 x1 , – заданная таблица
			0
m 1		m		имеет распределение xi , pi
распределения. Если X xm при pi	pi , то с.в. X
распределения. Если X xm при pi	pi , то с.в. X				0 .
i 0		i 0

Алгоритм моделирования ДСВ.

1.Получаем R 0;1 .

2.Находим m, для которого выполняется неравенство

m 1

pi pi ,

i 0

3. Полагаем X xm .

Тема 7. Наиболее известные дискретные распределения и их числовые характеристики

Характеристическая функция дискретной случайной величины и ее применение к нахождению начальных моментов. Биномиальное и отрицательное биномиальное распределения. Гипергеометрическое и пуассоновское распределения.

2.4.Наиболее известные дискретные распределения вероятностей

иих характеристики

						xi , pi , i		определяется
Опр. Производящая функция начальных					моментов с.в.		1, n
		z	n	zxi

формулой			e pi ,		действительное	значение z принадлежит некоторой
	z M e

i 1

окрестности нуля.

Вычисление начальных моментов с.в. можно осуществлять с помощью следующего свойства

производящей функции: m	d	0 .

k	dz

1. Биномиальное распределение B n, p .					p
Пусть проводится n независимых испытаний с противоположными исходами (успех, неудача),
– вероятность успешного исхода отдельного испытания. Тогда				– число успешных среди	n
испытаний имеет биномиальное		распределение B n, p .		Биномиальное распределение
определяется формулой Бернулли:
P m Pn m Cnm pmqn m ,			m 0,1, , n.

Его основные числовые характеристики: M np, D npq.

Мода m0 Mo является решением неравенства: np q m0 np p. Получается путем

последовательного решения задач:

1) вычисляем отношение двух последовательных биномиальных вероятностей

m	P m	Cm pmqn m		n m 1 p
	n	n		mq	– невозрастающая функция от m;
	Pn m 1	Cnm 1 pm 1qn m 1		mq	– невозрастающая функция от m;
2) решаем систему		m 1	n m 1 p mq
		m 1	n m 1 p mq
					.
					.
		m 1 1	n m p m 1 q

Производящая функция начальных моментов биномиального распределения имеет вид

n m

P m

q .

B n, p z M e

Cn p

m 0

Отсюда последовательно найдем

n 1

pe M n pe q

pe np;

B n, p z n pe q

n 2

pe q

np;

B n, p z n n 1

B n, p z M n n 1

D M 2 M 2 n n 1 p2 np np 2 npq.

Примечание. Прямое вычисление математического ожидания проводится по схеме с помощью комбинаторных преобразований:

M mCnm pmqn m m

pmqn m

m! n m !

m 0

m 1

m n m

k m 1,

p q

m 1 m 1 ! n m !

m k 1

pk qn 1 k np,

pk 1qn k 1 np

n 1 !

n 1

k 0

k! n k 1 !

k 0

k! n k 1 !

с учетом условия нормировки биномиального распределения B N , p :

N !

CNm pmqN m

pmqN m 1.

m 0

m 0 m! N m !

2. Пуассоновское распределение .

С.в. имеет распределение

Пуассона

с параметром интенсивности

если ее ряд

распределения задается формулой:

P m

e ,

m 0,1, .

Обычно это распределение имеет число редких событий, происходящих за время T . При этом –

среднее число редких событий, происходящих за это время.

Его основные числовые характеристики:

M , D ;

мода

является

решением

некоторого неравенства (какого?),

определяемого по той же схеме, что и в случае биномиального распределения.

Производящая функция начальных моментов:

P m e

z M e

m 0

Отсюда последовательно найдем

e0 1

e M e

e ;

z M ;

D M 2 M 2 2 2 .

Примечание. Вычисление начальных моментов возможно с использованием факториальных моментов

	k			k m			k
M		M 1 k 1 m				e		.
M		M 1 k 1 m				e		.
					m!
			m 0		m!

3. Отрицательное биномиальное распределение NB k, q .

Независимые испытания с противоположными исходами (успех, неудача) и вероятностью


успешного исхода отдельного испытания, равной	p , проводятся до k -го успеха. Тогда – число
неудачных испытаний до k -го успеха имеет	отрицательное биномиальное распределение
NB k, q . Отрицательное биномиальное распределение определяется формулой:
P m Pm k 1 m p Cmm k 1 pmqk ,		m 0,1, .

Его основные числовые характеристики: M

;

M k

Производящая функция начальных моментов:

P m e

NB k ,q z M e

Cm k 1 p

m 0

m 1 pe

q Cm k 1 pe

1 pez

1 pe

m 0

Отсюда последовательно найдем

NB k ,q

k 1

qpe

z k

;

1 pe

1 pez

1 pe

k pez

q k

p ez

1 pez pe2 z

z k 2

1 pe 1 pe

1 pe

pez

kp 2

;

D M 2

M 2

Примечание. Вычисление характеристик с.в. возможно путем дифференцирования условия нормировки ее распределения. Для данного распределения вычисления состоят в следующем

Cm k 1 p

m 0

m k

m 0

m k m

k q p

mCm k 1 p q

m 0

p q

X 2

M X

2 M

4. Гипергеометрическое распределение H N , D;n, d .

Имеется совокупность из N элементов, среди которых D элементов 1-го типа и N D элементов 2-го типа. Из нее извлекается случайная выборка объема n. Тогда – число элементов

1-го типа в выборке имеет гипергеометрическое

распределение

H N , D;n, d .

Гипергеометрическое распределение определяется формулой:

n m

P m

CN D

m 0,1, , min n, D .

CNn

Его основные числовые характеристики: M

, D

N n 1

N 1

Тема 8. Общее понятие математического ожидания случайной величины. Интеграл Лебега по вероятностной мере и математическое ожидание случайной величины. Определение математического ожидания с помощью интеграла Римана-Стильтьеса. Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. Неравенство для начальных моментов, неравенства Коши-Буняковского и Йенсена. Общее понятие характеристической функции случайной величины.

	Общее понятие математического ожидания
Опр. Математическим	ожиданием с.в. , заданной на вероятностном пространстве
,A , P , называется	число E P d – интеграл Лебега по мере	P от
функции .
функции .

Опр. Функция называется простой, если она измерима, а множество ее значений счетно.

Любую простую функцию можно записать в виде
n		Ak : xk .
xk I Ak ,	xk – значения ,	Ak : xk .
k 1
Конструкция интеграла Лебега.
1) Сначала вводится на множестве простых функций вида		n
		n
xk I Ak :	E P d xk P Ak .
k 1		k 1

2) Распространяется на множество измеримых функций. Для этого определяется последовательность простых функций n , сходящихся равномерно к :

	E lim	n P d .
	n
Примечание 1.	Если с.в. задана		на	числовой прямой , то		она	индуцирует
вероятностное	пространство ,B , P		с	вероятностной мерой		P	такой, что
P B P B , B B . При этом
	P x, y F y F x ,		,		d x, x dx

и интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана-Стилтьеса:

		xf x dx,	f x ,


E P d x dF x			xk ; pk .
		xk pk ,
		xk pk ,
	k 1

Если

g x

– борелевская функция

на

то и

– с.в. (если

B B , то

x : g

B ).

действительная функция действительной переменной на интервале a,b

Опр.

g x

–

называется функцией ограниченной вариации,

если существует такое положительное число M ,

что

для

всех

разбиений a x0 x1

xn b

интервала

выполняется

неравенство

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201527.26 Кб24bilety_borovykh.docx
#
10.09.2019671.23 Кб8bilety_gram-814.doc
#
29.03.2015144.9 Кб47Bilety_po_grazhdanskomu_pravu_1_chast.doc
#
27.04.2019168.43 Кб10Bilety_po_teorii_politiki_1.docx
#
10.08.201928.03 Кб4Bilet_4.docx
#
30.03.20152.59 Mб30Binder1.pdf
#
30.03.20152.73 Mб72biohimiyaverstka.pdf
#
29.03.2015629.76 Кб7BIZNES_Posobie_dlya_Geniev.doc
#
21.11.201984.48 Кб1BLACK HOLE COMPUTERS.doc
#
18.11.201942.5 Кб1Breaking logjams.doc
#
30.03.20152.76 Mб7BuridanovOsel.pdf