Binder1

2.6. Пуассоновский процесс

Определение 2.7. Случайный процесс t ,t T a, называют пуассоновским, выходящим из 0, если выполнены три условия:

1)0 0;

2)является процессом с независимыми приращениями;

3)t s t s .

Примечание. K s,t min s,t .

3. Однородная цепь Маркова (ОЦМ) с дискретным временем

Основные понятия.

Пусть t ,t 0,1, – случайная последовательность с множеством состояний

X 1, 2, , k .

Определение 3.1. Марковское свойство (для условных вероятностей) случайной последовательности:

P n 1 j | n i, n 1 in 1, , 0 i0P n 1 j | n i n 1 pij

Определение 3.4. Матрица P является стохастической, если сумма элементов каждой строки равна 1.

nij - число переходов из i в j за n шагов.

Лемма. Если P - регулярная матрица, то существует фундаментальная матрица ОЦМ

Z E P 1 .

n

W n r t 1 , t ,

Задача. Каждый житель города имеет одну из трех профессий А, В, С. Дети отцов сохраняют профессии отцов с вероятностями 53 , 23 , 14 соответственно, а

если не сохраняют, то с равными вероятностями выбирают любую из двух других профессий. Найти:

1)распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном поколении профессию А имело 20% жителей, В – 30%, С – 50%;

2)стационарное распределение по профессиям;

3)распределение по профессиям через 3 поколения.

Решение. Определим

t – профессия жителя в t -м поколении,

X = 1,2,3 – множество состояний: состояние «1» – профессия А; состояние «2» – профессия В; состояние «3» – профессия С;

a 0.2, 0.3, 0.5 – начальное распределение по состояниям (профессиям); матрица переходных вероятностей за один шаг (одно поколение):

Доказательство. Обозначим

Fn y – функцию распределения Yn. Тогда условие (1) можно записать в виде

Необходимость. Рассмотрим

Следствие 1 (теорема Чебышева). Если 1, 2, – попарно некоррелированные случайные

величины, дисперсии которых ограничены в совокупности константой c , то имеет место закон больших чисел.

Указание. Справедливо неравенство

Следствие 2 (теорема Маркова). Если 1, 2, – случайные величины, которые удовлетворяют условию

то имеет место закон больших чисел.

P

Теорема о предельном переходе под знаком математического ожидания. Пусть n при n , g x ,x R – непрерывная ограниченная функция. Тогда

limM g n M g .

n

n для любого \ B, P B 0.

Обозначение: n п.н. .

Теорема. Сходимость n п.н. имеет место тогда и только тогда, когда справедливо

Теорема Колмогорова. Для того, чтобы последовательность независимых случайных величин

Следствие 2. Пусть m – относительная частота появления события A в серии из n независимых n

Пример (применение метода Монте-Карло). Пусть A x,y :0 x 1,0 y min 1,g x ,

SA – площадь этой области, а Xk ,Yk , k 1,2, ,n – последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет стандартное равномерное распределение. Положим

k I Xk ,Yk A . Тогда по следствию 1

In 1 n I Xk ,Yk A п.н. M I X1,Y1 A P X1,Y1 A 1 dxdy SA.

n k 1 A

Метод характеристических функций Характеристическая функция. Ее основные свойства.

Метод характеристических функций является основным методом доказательства теорем для независимых случайных величин и векторов.

Опр. Характеристической функцией случайной величины называется функция действительной

переменной t ,t R, определяемая следующим образом: t M eit .

Примечание. С точностью до знака показателя экспоненты характеристическая функция соответствует в операционном исчислении преобразованию Фурье.

Примеры вычисления характеристической функции.

1. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона .