Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>

X i

u1 ln X i

u2 ln X i

u1 ln

i 1

Построение приближенных ДИ в условиях асимптотической нормальности

некоторая состоятельная оценка

скалярного параметра , нормированная

Лемма. Пусть

последовательность

состоятельная оценка для

. Тогда

n а.н. 0;

при n с вероятностью, сколь угодно близкой к , выполняется неравенство:

( )

0;1

(14)

Комментарий. При сделанных предположениях мы можем утверждать, что

а.н. (0; 1).

После замены подкоренного выражения знаменателя на состоятельную оценку результат не меняется.

Примечание.

Если g

–

непрерывная

функция

точке

то

последовательность

а.н.

, и при

с вероятностью, сколь угодно близкой к

g( ) g( )

, выполняется неравенство:

N 0;1

( ) [g ( )]

g( ) g

N 0;1

( ) [g ( )]

(15)

M X

Случай 1 (построение доверительного интервала для

случае

произвольного

распределения с конечной дисперсией). Имеется

X1 , , X n

НПВ

из

ГС

X , у

которой

D X . Требуется построить доверительные интервалы для M X

с надежностью .

Решение. По ЦПТ для НОРСВ

M X

0; D X при n .

последовательность

а.н.

Пусть

какая-либо состоятельная

оценка для

D X .

Если

вид распределения Х

D X

и приближенный доверительный интервал имеет вид

неизвестен, то обычно D X

0;1

SX2

0;1

SX2

(16)

Если же вид распределения Х известен, то D X

g( ) , то есть является некоторой функцией от

параметра . Тогда искомый приближенный доверительный интервал в общем случае может быть найден с помощью формулы

X x

0;1

X x

0;1

(17)

Предполагается, что g( ) является непрерывной функцией. Безусловно, в качестве состоятельной оценки в общем случае лучше использовать оценку максимального правдоподобия.

Случай 2. Построение ДИ для параметра распределения с использованием его точечной оценки, полученной с помощью одного из методов точечного статистического оценивания.

Идея использования свойств ОМП. Известно, что в случае применения метода максимального

правдоподобия:																								а.н.				(0,		1).			Если						функция i( )					непрерывна,						то		и
правдоподобия:												n i( ) ( )												а.н.				(0,		1).			Если						функция i( )					непрерывна,						то		и
																																		1
																																		1
n i( ) ( ) а.н. (0, 1),																т.е.				n ( ) а.н.											0;						.
																																		i( )
Отсюда в соответствие с леммой доверительный интервал для имеет вид:
						x				N 0;1											x						N 0;1
							1																1
								2																	2						.																(18)
																															.																(18)
										n i( )																	n i( )
Пример.				Пусть							X1 , , X n					НПВ из ГС													X E .								Построить двусторонний ДИ для															с
использованием: метода максимального правдоподобия;																																					метода моментов.														1
																																																			1
Решение. Известно, что в этом случае ОМП и ОММ параметра совпадают и равны																																														.

																																												X
1) Последовательно найдем																																												X
1) Последовательно найдем
f x e x I x 0 ,														L , X1 e X1 I X1 0 e X1 ,
ln L			, X			ln X								,			L , X1											1	X		,	2 L , X1								1		,
ln L			, X		1	ln X								,															X		,							2			2	,
					1								1																	1								2			2
						2 L , X1
i M						2 L , X1									1

										2					2 .
										2					2 .

Воспользовавшись (18), получим искомый доверительный интервал
	x			N 0;1												x			N					0;1									x			N 0;1									x		N		0;1
		1															1													1				1									1		1						.
			2															2																	2											2
			2															2																	2											2

						1																1																	n									n
						1													n			1																	n									n
				n

									2																	2
									2																	2

2) В этом случае воспользуемся теоремой об асимптотической нормальности начальных

выборочных моментов:

M X

а.н. 0; D X .

Учитывая, что

, для оценки по методу моментов будем иметь

X M X а.н. 0;

D X .

M X

Воспользовавшись этим результатом, методом подстановки, формулами (14)-(15) и учитывая, что

D X

, получим искомый доверительный интервал

M 4 X

0;1

N 0;1

Случай 3. Построение ДИ для вероятности p в схеме независимых испытаний.

Пусть m m A – частота появления A в n испытаниях, p P A , w mn - относительная частота появления A в n испытаниях . В соответствие с интегральной теоремой Муавра-Лапласа

а.н. 0; pq .

а.н.

или

(19)

3.1. Простая интервальная оценка для

p . Учитывая,

что

q 1 p ,

и используя (14), получим

искомый доверительный интервал

w x

0;1

w 1 w

p w x

N 0;1

w 1 w

3.2. Интервальная оценка для

p с использованием квадратного неравенства. В соответствие с

(19), можно утверждать, что с вероятностью

выполняется неравенство

p 2

N 0;1

p 1 p

N 0;1

p 1 p

Решая это квадратное неравенство относительно p, получим неравенство p1 p p2 ,

в котором p1, p2 - корни соответствующего квадратного уравнения. Это неравенство и определяет

искомый доверительный интервал.

3.3. Использование преобразования, стабилизирующего дисперсию (построение интервала с использование преобразования arcsin). Как уже отмечалось выше, если n а.н. 0; 2 ,

то обычно

а.н.

при

. Будем искать преобразование

g( ) g( )

g( ) такое,

которому соответствует постоянное значение дисперсии предельного распределения

g 2 2

const . Обычно значение константы выбирается равным 1,

поэтому искомое

преобразование можно найти, решая дифференциальное уравнение g

. Таким образом

искомая функция может быть определена следующим образом

рассматриваемом

случае

а.н.

, т.е.

1 p . Найдем

преобразование, стабилизирующее дисперсию

g p

2 arcsin

p 1 p

2 p

1 p 1 t

а.н. 0; 1 , а

Теперь можно

утверждать,

что

n arcsin

arcsin

потому с

вероятностью

выполняется неравенство 2

arcsin

N 0;1

Решая это неравенство относительно p, получим искомый доверительный интервал

n 0

0;1

p sin

sin

arcsin

Случай 4. Построение ДИ для доли генеральной совокупности.

Постановка задачи. Имеется ГС, состоящая из N объектов. Из них D объектов 1-го типа (обладают свойством «А»), остальные N D -2-го типа, D – неизвестно. Из ГС извлечена выборка без возвращения объема n . В ней оказалось m m A объектов 1-го типа.

Нужно построить ДИ для отношения DN - доли объектов 1-го типа в ГС.

Теоретические основания для решения задачи. В данном случае статистика m имеет гипергеометрическое распределение с характеристиками

M m	nD	, D m	nD		D	N n
				1			.
	N					N 1
			N		N

Известно, что при n, N :

D m

а.н.

Используя эти результаты, получим асимптотический доверительный интервал для доли

w x

N 0;1

w 1 w

N n

w x

N 0;1

w 1 w

N n

N 1

Примечание. Точность интервального оценивания в данном случае характеризует величина

	n x			N	0;1				w 1 w				N n	.
	n x			N	0;1									.
		1								n			N 1
			2							n			N 1
Пример. Пусть	0,95, N , n 2000. Тогда x								N		0;1	1,96 и
							1
								2

	2	0,5 0, 5				1 0, 022 2, 2%.
	2		2000			1 0, 022 2, 2%.
			2000

Вывод. В условиях примера объема выборки 2000 достаточно для построения интервальной оценки с точностью в 2, 2% .

Примечание. Существует и обратная постановка задача. Каким должен быть объем выборки, чтобы точность интервальной оценки не превосходила заданную величину 0 . Это так называемая задача определения необходимого объема выборки. Решение задачи сводится к отысканию такого значения n , для которого выполняется неравенство либо одновременно для всех

возможных значений неизвестного параметра (идеальное решение задачи), либо для значения параметра, совпадающего со значением состоятельной оценки этого параметра.

Построение приближенных ДИ в условиях отсутствия асимптотической нормальности (на примере)

Постановка задачи. Имеется повторная выборка X1, , X n из ГС X R 0; . Построить асимптотический доверительный интервал для параметра с надежностью .

Решение. Можно показать, что X n	- ОМП для параметра , причем D X			1
		n	O			.
					2
			n

Поэтому предельное распределение будем искать для с.в. Yn n X n . Сначала найдем

точное распределение, а затем, переходя к пределу, предельное распределение с.в. Yn , проделав выкладки

n ,

0 x ,

X n

FYn y P n X n

y P X n

FX n

y n

1 e

	Y	d
Таким образом,	n	U E 1 , при этом с вероятностью	выполняется неравенство
Таким образом,		U E 1 , при этом с вероятностью	выполняется неравенство
		n

Замечаем, что с.в.

E 1 U x		E 1 ln	1		U ln	1	.

	1			2		2

	2

U		Y	n		X n
	n	n		1		является центральной статистикой для параметра
				1		является центральной статистикой для параметра

и применяем			полученный асимптотический										результат						к построению						интервальной
оценки, заменяя U на с.в.					Yn
оценки, заменяя U на с.в.
1				X n				1				1				1					X	n		1	1
ln		n 1				ln				1				ln									1		ln		.
ln		n 1				ln			2	1		n		ln			2						1	n	ln	2	.
	2								2			n					2							n		2

Окончательный вид приближенного доверительного интервала
								X n								X n				.
							1	1						1			1			.
					1			ln			1					ln
					1		n	ln	2		1				n	ln		2
							n		2						n			2

Точные доверительные интервалы для параметров биномиального распределения и распределения Пуассона

Вычисление биномиальных вероятностей вида P X r Cnk pk qn k можно осуществлять с

k 0

помощью неполной бета-функции

I p ( , ) 1 t 1 1 t 1dt .

B , 0

Вычисления осуществляются с помощью соотношения

P X r I1 p n r, r 1 1 I p r 1, n r .

Доверительные интервалы для параметра p биномиального распределения. Пусть m –

число успехов в серии из n независимых испытаний. Двусторонний, правосторонний и левосторонний доверительные интервалы с надежностью определяются неравенствами:

p1 p p2 ,

(*)

где

p , p

– решения уравнений

(m, n m 1)

(m 1, n m)

;

p p2 ,

(**)

где p2 – решение уравнения I p2 (m 1, n m) ;

p1 p,

(***)

где p1

– решение уравнения I p (m, n m 1) 1 .

Доверительные интервалы для параметра пуассоновского распределения. Пусть m –

число редких событий за период наблюдений. Двусторонний, правосторонний и левосторонний доверительные интервалы с надежностью определяются неравенствами

1 2 ,

;

где 1 0,5x(1 ) / 2

, 2 0,5x(1 ) / 2

2 , где 2

; 1

, где

0,5x

2m 2

1 0,5x1

Статистическая проверка гипотез

1. Основные понятия

Опр. Статистическая гипотеза – любое утверждение о виде или свойствах распределения исследуемой случайной величины (величин).

Пусть F - распределение исследуемой случайной величины X .

Опр. Основная (нулевая) гипотеза – утверждение, подлежащее проверке. Обозначение: H0.

Опр. Конкурирующая (альтернативная) гипотеза – утверждение о распределении X ,

отличное от нулевой гипотезы. Обозначение: H1.

Формальное описание задачи проверки гипотезы H0 :

H0 :первое утверждение

(1)

H1 :второе утверждение

или

H0 : утверждение

(2)

Во втором случае неявно предполагается, что H1 H0.

Гипотезы могут быть простыми и сложными. Простая гипотеза однозначно определяет закон распределения случайной величины Х, сложная неоднозначно.


Пример. H0	: X N 0;1	простая гипотеза;
H0	: FX x x		простая гипотеза;
H0 : X N a; 2 ,			a, 2 неизвестны, - сложная гипотеза;

x a

0X , a, неизвестны, - сложная гипотеза.

Вдальнейшем будут использоваться 2 варианта записи задачи проверки гипотез, в которых F - распределение случайной величины X; 0, 1 - два непересекающихся семейства

распределений; Θ0 Θ1 = Θ - разбиение		параметрического множества Θ; - параметр
распределения случайной величины X :
I .	H0 :F 0 , если гипотезы сложные;	H0 :F F0 ,	если гипотезы простые.
	H1 :F 1	H1 :F F1
II.	H0 : 1 , если гипотезы сложные;	H0 : 0 ,	если гипотезы простые.
	H1 : 2	H1 : 1

Опр. Статистический критерий (тест, решающее правило) – правило, с помощью которого решается задача проверки гипотез (1) или (2). Его называют критерием значимости, если решается задача (1) (имеется альтернатива). Для решения задачи (2) (нет альтернативы)

используются критерии согласия.

Решение задач (1) - (2) осуществляется по результатам наблюдений x1,x2, ,xn

исследуемого показателя X с помощью некоторой функции от наблюдений

K x1,x2, ,xn . Если в качестве аргументов этой функции подставлены произвольные результаты наблюдений X1,X2, ,Xn , то ее называют статистикой критерия.

Как и раньше X1,X2, ,Xn X - повторная выборка.

Проверка гипотез (1)-(2) завершается принятием одного из двух решений:

принять нулевую гипотезу (имеющиеся результаты наблюдений согласуются с утверждением нулевой гипотезы);

K X

отклонить нулевую гипотезу (имеющиеся результаты наблюдений не согласуются с утверждением нулевой гипотезы).

При этом можно совершить либо ошибку первого рода – отклонить верную H0, либо ошибку второго рода - принять неверную H0. В принципе от этих ошибок избавиться невозможно.

Стремятся к тому, чтобы они случались как можно реже. Это достигается путем уменьшения вероятностей этих ошибок.

2. Общая схема решения задачи проверки статистических гипотез

Шаг 1. Задаемся некоторым уровнем значимости - максимально возможным значением вероятности ошибки первого рода. Предпочтительные значения : 0,2, 0,1, 0,05.

Шаг 2. Исходя из заданного уровня значимости с помощью статистики критерия K X

множество всех возможных результатов наблюдений разбивается на 2 части X0	и	X1 .
Вероятность попадания произвольных результатов наблюдений X1,X2, ,Xn в область		X1 в
условиях справедливости H0 не превышает , т.е. маловероятно. Области X0	и	X1

соответственно называют областью принятия нулевой гипотезы и критической областью. Шаг 3. Если окажется, что результаты наблюдений x1,x2, ,xn принадлежат области X0 , то принимается нулевая гипотеза. Если окажется, что результаты наблюдений x1,x2, ,xn принадлежат области X1 , то нулевая гипотеза отклоняется.

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Если проверка гипотезы осуществляется с помощью компьютерной программы, то решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы осуществляется путем

сравнения p-значения статистики критерия (его также называют эмпирическим

уровнем значимости критерия) с заданным уровнем значимости . Нулевая гипотеза при таком подходе принимается, если эмпирический уровень значимости не меньше заданного уровня значимости.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Чаще всего область принятия и критическая область критерия определяются на множестве значений статистики K X : соответственно K0 и K1 . Далее K0

- такое множество значений K X , при попадании в которое нулевая гипотеза принимается,

а K1 - такое множество			значений K X , при попадании в которое				нулевая гипотеза
отклоняется. В этом случае критическая область (или область принятия							H0) определяется
неравенствами:
	K X	Kкрит	или	K X		Kкрит , если альтернатива двусторонняя,

	K X	Kкрит	или	K X	Kкрит , если альтернатива двусторонняя.

3. Функция мощности статистического критерия и сила критерия

Основным показателем качества статистического критерия является его функция мощности

W F P X X1 | F , F 0 1. Таким образом, функция мощности – вероятность

попадания выборки в критическую область, вычисляемую в предположении, что ее элементы имеют одно и то же распределение F .

При каждом F 0 функция мощности W F определяет вероятность ошибки 1-го рода.

При каждом F 1 разность 1 W F определяет вероятность ошибки 2-го рода. Увеличивая

размер критической области, мы увеличиваем вероятность ошибки 1-го рода, но уменьшаем вероятность ошибки 2-го рода. Поскольку невозможно, изменяя размер критической области, управлять изменением вероятностей обеих ошибок в одном направлении, то поступают иначе. Задают верхнюю границу для вероятности ошибки 1-го рода – уровень значимости

sup W F , и строят критическую область таким образом, чтобы ей соответствовали

F 0

минимально возможные значения вероятностей ошибок 2-го рода (большие значения функции

мощности). Формально

вероятность

ошибки 2-го

рода

характеризуется

значением

sup 1 W F . Парузначений ,

называют силой критерия.

F 1

Определение.

Если W F 1

при

для

F 1,

то

соответствующий

статистический критерий называют состоятельным.

Основные типы статистических гипотез

Гипотеза случайности (гипотеза H0 ).

Результаты наблюдений представляют реализацию

независимой повторной выборки.

Используемые критерии: критерий серий, критерий инверсий.

Статистикой критерия инверсий является общее число инверсий Tn

Tn(X) 1 ... n 1 ,

где j -

число

элементов выборки

из

множества

X j 1,X j 2, ,Xn , которые

меньше по

величине

X j.

Гипотезу

H0 принимают

уровнем значимости

если

выполняется

неравенство

n(n 1)

0;1 .

3/2

1 /2

Критерий серий. Пусть

x1, ,xn -

результаты наблюдений, а

x0,5*

- выборочная медиана,

определенная по этим данным. Каждому элементу выборки поставим в соответствие знак «+» либо знак «-» в зависимости от того, больше или меньше медианы его значение (равные медиане значения не учитываются). Тем самым всей выборке поставлен в соответствие набор знаков. Обозначим n1 число знаков «+», а n2 - число знаков «-» в полученном наборе знаков.

Серией в этом наборе называется всякая последовательность, состоящая из одинаковых знаков и ограниченная противоположными знаками, либо находящаяся в начале или конце набора. Например, в наборе

содержится 5 серий: (+), (-), (+++), (-----), (++), поэтому n1 6, n2

При больших объемах выборки, когда либо n1, либо n2 , либо оба значения больше 20, для проверки гипотезы случайности можно использовать статистику

		2nn		1
	KS	1 2	1
	KS	n1 n2	1	2
Z		n1 n2		2	,
Z					,
	2nn 2nn n n
	1 2	1 2	1	2

n1 n2 2 n1 n2 1

где KS - количество серий. Нулевая гипотеза принимается, если выполняется неравенство

Zвыч x1 /2 N 0;1 .

Гипотеза о виде распределения. Результаты наблюдений могут быть описаны с помощью определенного закона распределения.

Пример. H0 :FX x F x; . Здесь F x; - некоторая известная функция. Параметр

может быть известен (в этом случае проверяется простая гипотеза), либо неизвестен (в этом случае проверяется сложная гипотеза).

Используемые критерии: критерий хи-квадрат Пирсона, критерий Колмогорова. Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то применяется часто критерий ЖаркеБэра, а при малом числе измерений - критерий Шапиро-Уилка.

Гипотеза однородности. Результаты нескольких серий наблюдений могут быть описаны с помощью одного и того же распределения.

Используемые критерии: критерии хи-квадрат, Смирнова-Колмогорова, Манна-Уитни. Если гипотеза однородности принимается, т.е. данные признаются однородными, то их

можно объединить в одну выборку, что позволяет повысить точность последующих статистических выводов.

Параметрическая гипотеза. Предположение о значении параметра или числовой характеристики распределения.

Основные виды параметрических гипотез: Параметрическая гипотеза с двухсторонней альтернативой

H0 : 0

H1 : 0

Параметрическая гипотеза с правосторонней альтернативой

H0 : 0	H0 :	0
H1 : 0	или
H1 : 0	H1 : 0

Параметрическая гипотеза с левосторонней альтернативой

H0 : 0	H0 :	0
H1 : 0	или
H1 : 0	H1 : 0

Область принятия нулевой параметрической гипотезы при двухсторонней альтернативе является двухсторонней.

Область принятия нулевой параметрической гипотезы при односторонней альтернативе является односторонней.

Вид параметрической гипотезы определяется характером решаемой содержательной задачи. Гипотеза независимости. Предположение о том, что компоненты наблюдаемой

многомерной случайной величины являются независимыми случайными величинами. Используемый критерий: критерий хи-квадрат.

10. Равномерно наиболее мощный и наиболее мощный критерии. Проверка двух простых гипотез

Пусть рассматривается задача проверки гипотез:

H		0	:	0	(22)

H1 : 1
	Если имеются несколько критериев одного и того же уровня значимости для проверки
гипотезы (1),					то естественно использовать лучший из них. Критерий KR1	мощнее критерия
KR2 , если функция мощности первого равномерно не меньше функции мощности второго, т.е.
WKR			WKR		, 1. В том случае, когда критерий KR1 мощнее	любого другого
		1		2

критерия, то его называют равномерно наиболее мощным критерием. Если параметрические

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1713 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201527.26 Кб24bilety_borovykh.docx
#
10.09.2019671.23 Кб8bilety_gram-814.doc
#
29.03.2015144.9 Кб47Bilety_po_grazhdanskomu_pravu_1_chast.doc
#
27.04.2019168.43 Кб10Bilety_po_teorii_politiki_1.docx
#
10.08.201928.03 Кб4Bilet_4.docx
#
30.03.20152.59 Mб30Binder1.pdf
#
30.03.20152.73 Mб72biohimiyaverstka.pdf
#
29.03.2015629.76 Кб7BIZNES_Posobie_dlya_Geniev.doc
#
21.11.201984.48 Кб1BLACK HOLE COMPUTERS.doc
#
18.11.201942.5 Кб1Breaking logjams.doc
#
30.03.20152.76 Mб7BuridanovOsel.pdf