Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

F x .

a,b

f xi f xi 1 M . Это возможно лишь в том случае, когда она может быть представлена

i 1	f x f1 x f2 x ,		f1 x , f2 x ограничены и не убывают на a,b .
в виде	f x f1 x f2 x ,	где	f1 x , f2 x ограничены и не убывают на a,b .
Примечание 2. Если g x –		непрерывная функция или функция ограниченной вариации,				а
F x	– непрерывная функция		распределения, то		интеграл Лебега-Стилтьеса совпадает	с
интегралом Римана-Стилтьеса
	g P d g x P dx g x dF x ,

при этом
	b			ba	b
	g x dF x g x F x			ba	F x dg x .
	a				a

Примечание 3. Если существует E , то существует также и интеграл

E ; A P d E I A .

Примечание 4 (понятие математического ожидания в многомерном случае).

Далее 1, , k

Интеграл Лебега по мере сохраняет свой смысл:

E g , ,		k				g	, ,	k	P d .
	1	k				1		k

Если k ,B k , P – вероятностное пространство для 1, , k , то этот интеграл можно записать в виде

g x P dx ,

x x1, , xk .

Вспомогательные сведения.
Понятие интеграла Римана-Стилтьеса (Р.-С.).	h x
Опр. Пусть на a,b определены некоторая функция	h x	(ограничения на нее будутзаданы
позже) и неубывающая слева функция F x	с	ограниченной вариацией, т.е.

F b 0 F a 0 ; a z0 z1 zn b, zi* zi 1, zi . Тогда

h x dF x

lim	n	h	z*	F z		F z		.
							i 1
			i		i
n i 1

Можно доказать, что любая ограниченная на функция h x , имеющая конечное или счетное число точек разрыва, интегрируема при любой интегрируемой функции ограниченной вариации

Основное свойство интеграла Р.-С.

b	h x dF x		h x F x 0		F x		h x	p ,
	h x dF x		h x F x 0		F x		h x	p ,
			i	i	i		i	i
a		i				i
				pi

если F x изменяется только в точках x1, x2 , .

Примечание (интеграл Римана-Стилтьеса в многомерном случае).

				n	*
	h x		P dx	lim h zi n F zi ,			x x1, , xk ,
	k			n i 1

					в прямоугольный параллелепипед, содержащий точку
где n F zi	– вероятность попадания				в прямоугольный параллелепипед, содержащий точку
	k	разбивается на параллепипеды.
zi . Пространство		разбивается на параллепипеды.
Пространство с мерой.
Пусть ,A	– измеримое пространство.
Опр. Задано	пространство с мерой ,A , ,					если на	A задана неотрицательная счетно-
аддитивная функция ,			т.е. функция, обладающая свойствами:

1)-аддитивность: Aj Aj для непересекающихся множеств;

2)неотрицательность: A 0 для любого A A ;

3)0.

Примечание 1. Значение A – мера множества A .

Примечание 2. Если , то – конечная мера.

Примечание 3. Если существует разбиение на счетное число подмножеств Aj

таких. что

Aj , то – -конечная мера.

Примечание 4. Меры, удовлетворяющие лишь 1), 3) – обобщенные меры.

Пример. Пространство n ,B n , , где B n – -алгебра борелевских множеств,

– мера

Лебега в n – пространство с -конечной мерой.

Мера Лебега L S

в n задается по схеме.

1) Мера n -мерного параллелепипеда

a,b x1, , xn : ai xi bi ,i 1, n определяется

формулой L

a,b

bi ai .

S ограниченного множества

2) Определяем внешнюю меру

S A как нижнюю границу

чисел L B , B B n

таких, что S B . Внутреннюю меру L S

A \

S .

3) Измеримость неограниченного множества определяется посредством предельного перехода.

Опр. Ограниченное множество S называется измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны. Их общее значение L S и называется мерой Лебега.

Примечание 5. Существует только одна функция множества L S , определенная для всех борелевских множеств и удовлетворяющая условиям:

1)L S j L S j для непересекающихся множеств;

j j

2)L S 0 ;

3)в частном случае, когда S параллелепипед, L S совпадает с объемом параллелепипеда S .

	Основные свойства математического ожидания E .
1.	Линейное свойство: E a b a bE .
	1.1. E const const.					1.2.	E b bE .
2.	Если существует mk , то для любых l ,l k существует ml .
3.	Для выпуклой функции h x справедливо неравенство Йенсена
							E h	h E .

4.		2			2			то справедливо неравенство Коши-Шварца (Коши-
4.	Если E h		,	E g			,	то справедливо неравенство Коши-Шварца (Коши-

Буняковского)

E h g

E h2 E g 2 .

Тема 9. Анализ абсолютно непрерывного распределения случайной величины.

Нахождение функции распределения и вероятности попадания в интервал непрерывной случайной величины. Основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия, мода и квантиль, начальные и центральные моменты, коэффициент асимметрии и эксцесс. Постановка и решение задачи нахождения распределения функции от непрерывной случайной величины. Универсальное преобразование случайной величины. Моделирование непрерывной случайной величины с заданным законом распределения.

2.5. Случайная величина (абсолютно) непрерывного типа. Основные понятия Опр. С.в. имеет распределение абсолютно непрерывное (ф.р. абсолютно непрерывного типа),

если существует функция f x f x , называемая плотностью (density) распределения вероятностей, такая что

	x
	F x f x dx,			x .

Основные свойства плотности.
		f x dx 1.
1.	Удовлетворяет условию нормировки:	f x dx 1.

2.	Неотрицательность: f x 0.
3.	В точке непрерывности f x F x .
4.	Для любого борелевского множества B :		P B f x dx.
				B

Содержательная интерпретация плотности – характеризует возможность попадания с.в. в

окрестность точки x. Чем больше f x , тем больше шансов, поскольку

F x

P x

f x F x

Геометрическая интерпретация фигуры, лежащей под графиком плотности распределения с.в.

– площадь криволинейной трапеции под графиком плотности на промежутке a;b равна вероятности попадания с.в. на этот промежуток.

Основные свойства непрерывного распределения.

1. Функция распределения F x непрерывна (по свойству интеграла с переменным верхним

пределом).

2. P x1 x2 P x1 x2 f x dx.

3. P x 0.

2.6. Числовые характеристики непрерывной случайной велисчины

Пусть f x .

1) Математическое ожидание: M M

E .

Опр. Если f x , то математическое ожидание с.в. – число, определяемое выражением

			f x dx.
		M	f x dx.

Характеризует среднее значение с.в., определяющее центр распределения.
Примечание.	Для произвольной функции h x математическое ожидание определяется по
		h x f x dx.
формуле:
формуле:	M h

2) Начальный момент k-го порядка: mk , k 0,1, .

Формула для вычислений: mk xk f x dx.

3) Центральный момент k-го порядка: k , k 0,1, . .


Формула для вычислений: k	x M k	f x dx..

4) Дисперсия (рассеяние) D D .
Формулы для вычислений:

D x M 2 f x dx,		D m2 m12 x2 f x dx M 2 .

5)Среднеквадратичное стандартное отклонение D[ ] .

6)Мода распределения d Mo .

Опр. Мода НСВ – любая точка локального максимума ее функции плотности. Если мода одна, то распределение называется унимодальным.


7) Квантиль распределения xp xp .					с ф.р. F x , если оно
Опр. Число		xp называется квантилью уровня p распределения с.в.
является решением уравнения F xp p,				0 p 1.
Опр. Квантиль уровня 0,5 – медиана распределения x0,5 .
Примечание. Дать понятия квартилей, децилей.
8) Коэффициент асимметрии K1 (skewness).
Опр. K	3		.

1		3

Характеризует симметричность (асимметричность) унимодального распределения. Если график плотности имеет ось симметрии, то K1 0 . При K1 0 график имеет вытянутый хвост слева, при

K1 0 – вытянутый хвост справа.

9) Коэффициент эксцесса K2 .

Опр. K2 4 3.

Характеризует кривизну графика плотности унимодального распределения в окрестности вершины по сравнению с нормальным распределением. В случае нормального распределения

K2 0 . При K2	0 – кривизна больше, чем у нормального распределения; при	K2 0 –
кривизна меньше.

Примечание. kurtosis = 4

10) Коэффициент вариации – VX (только для неотрицательных с.в.).

Опр. V		100	% .
	M

Является характеристикой относительной изменчивости с.в.

Пример. Пусть с.в. имеет плотность распределения вида

cx2 , x 1;1 , f x

0, x 1;1 .

Неизвестную константу c найдем из условия нормировки

	1	1		cx	3	1	2c		3

1 f x dx 0 dx cx2 dx 0 dx								c		.
				3			3		2
		1	1			1

Вычислим некоторые характеристики с.в.:

			1		1	3x			2
M xf x dx x 0 dx x						3x					dx x 0 dx 0;
M xf x dx x 0 dx x							2				dx x 0 dx 0;
					1		2						1
			1		1			3x				2
M k xk f x dx xk 0 dx xk								3x					dx x 0 dx
M k xk f x dx xk 0 dx xk													dx x 0 dx
					1				2				1
1	3xk 2		3xk 3	1			3			,			k 3 нечетное,
1				1			3


		dx			k		3
	2	dx	2 k 3		k		3
1	2		2 k 3	1									k 3 четное.
					0,								k 3 четное.

D M 2 M 2 35 02 53 .

Вычислим функцию распределения и квантиль распределения:

			x		x
1) при x 1	F x f x dx				0 dx 0;

			x		1	x	3x	2		3x	3	x	x	3	1
			x		1	x		2			3	x		3
2) при 1 x 1			F x	f x dx		0 dx			dx							;
2) при 1 x 1			F x	f x dx		0 dx	2		dx	2 3					2	;
						1	2			2 3		1			2
						1						1
			x
3) при 1 x F x f x dx 1;

0,			x 1,
		1
x3		1
4) F x			, 1 x 1,
4) F x	2		, 1 x 1,
	2		x 1,
1,			x 1,

	x	3	1					1
F x p				p xp 2 p 1							.
									3
			2						3
			2
Вычислим вероятность:
P 0,5 1,5 F 1,5 F 0,5 1										0,53				1	0,375;
P 0,5 1,5 F 1,5 F 0,5 1															0,375;
													2
			1,5		1	3x	2					x	3	1		1	3
			1,5		1		2						3	1			3
P 0,5 1,5					f x dx			dx									0,5	0,375.
P 0,5 1,5					f x dx	2		dx									2	0,375.
			0,5		0,5	2		2						0,5			2
			0,5		0,5									0,5
2.7. Нахождение распределения функции от непрерывной случайной величины
Постановка задачи.					Пусть f x , F x .									Задано			преобразование случайной величины:

h . Требуется найти распределение случайной величины .

1. Универсальный подход (поиск функции распределения).
A y решение

F y P y P h y
неравенства h y

P A y f x dx.
A y
Если множество решений A y представимо в виде
m	x1 y x2m y ,
A y x2i 1 y ; x2i y ,	x1 y x2m y ,

i 1

где x1 y , , x2m y – решения уравнения h x y ,

	m
(*)
(*)	F y P A y F x2i y F x2i
	i 1

то

y .

Примечание. В точке x2i 1 y функция h x

является убывающей, в точке x2i y

функция

h x

является возрастающей.

2. Замена аргумента в функции плотности.

Из (*) следует, что

(**)

f y f x2i y x2i y f

x2i 1 y x2i 1 y f x j

x j y

i 1

j 1

Следствие. Если уравнение y h x имеет единственное решение при значении y, то

(***)

f y f x y

где x y – решение уравнения

h x .

Пример 1. Пусть f x , F x . Найти распределение с.в.

Решение. Следуя универсальному подходу

F y P

y P y y F y F y ,

f y f y f y ,

y 0.

Пример 2.

Пусть

E 1 ,

т.е.

показательное

параметром интенсивности 1. Найти

распределение с.в.

Решение. Следуя универсальному подходу

F y P

y P y 1 y 1 F y 1 F y 1 ,

y 0.

Учитывая, что

x 0,

F x

x 0,

1 e x ,

получим

y 0,

y 1

1 y

y 1

y 1 F y 1 1

1 e

, 0 y 1,

F y F

y 1 F

y 1 1 e y 1

0 1 e y 1 ,

y 1.

Пример 3. Пусть max ,1 . Тогда

max

1) y 1 F

,1 y

y,1

2) y 1 F y P max ,1 y P y,1 y P y F y ,

y 1,

F y

y ,

y 1.

Пример 4. Пусть f x 3x2 ,0 x 1.

Найти распределение с.в. 3

Решение. Решая уравнение y x3

1 для значений с.в. и , последовательно найдем

1/ 3

2 / 3

x y

y 1

x y

3 y 1 2 / 3

Учитывая,

что y x3 1

– возрастающая функция

на носителе

0;1 распределения с.в.

найдем носитель распределения с.в. :

y 0 1, y 1 0 1;0 .

Воспользовавшись (***) завершим решение примера:

y 1 1/ 3 2

y 1;0 ,

3 y 1

f y

2 / 3

y 1;0 .

Пример 5. Пусть f x 3x2 ,0 x 1.

Найти распределение с.в. ln 1.

Решение. Решая уравнение y ln x 1 для значений с.в., последовательно найдем

1 y

x y e

x y

0;1 распределения с.в.

Учитывая,

что y ln x 1 – убывающая функция на носителе

найдем носитель распределения с.в. :

y 0 , y 1 1 1; .

Воспользовавшись (***) завершим решение

f x .

Пример

6 (линейное

преобразование).

Пусть

Найти

распределение

с.в.

a b , b 0.

Решение. Решая уравнение y a bx , последовательно найдем

x y

y a

b .

Воспользовавшись (***) завершим решение

y f

y a

3	e			3e3 1 y ,	y 1; ,
3	e		e	3e3 1 y ,	y 1; ,
	1 y	2	1 y
f y						.
f y

0,					y 1;

Понятие о статистическом моделировании. Нахождение преобразования, позволяющего моделировать с.в. с заданным законом распределения

Опр. Имитационное моделирование – воспроизведение случайного явления с помощью ЭВМ (например, поток заявок и их обслуживание).

Опр. Метод Монте-Карло – статистическое моделирование с.в. с целью решения содержательных задач.

Лемма (об универсальном преобразовании с.в.). Если с.в. X имеет непрерывную функцию распределения F x , то с.в. Y F X имеет распределение R 0;1 .

Доказательство. Верно

FY y P F X y P X F 1 y F F 1 y y.

Постановка задачи статистического моделирования. Имеется R 0;1 – базовая с.в., F x –

заданная функция распределения. Требуется найти такое преобразование h , при котором

X h F x .

Универсальный метод моделирования НСВ.

Теорема. Пусть R 0;1 –базовая с.в., F x –заданная непрерывная функция распределения.

Тогда с.в. X : F X имеет функцию распределения F x .

Доказательство. Не нарушая общности, считаем, что F x строго монотонна в точке x . Тогда

FX x P X x P F X F x P F x F x .

Иначе

FX x P X x P F X F x P F x F x .

Пример. Если F x 1 e x , то решая уравнение			1 e X	, получим формулу,
позволяющую моделировать показательное распределение
X	ln 1	.
X		.

Тема 10. Наиболее известные абсолютно непрерывные распределения и их числовые характеристики. Равномерное распределение. Показательное распределение. Распределение Коши. Нормальное и логнормальное распределение. Гамма-распределение.

Основные распределения непрерывного типа

1. Равномерное распределение на отрезке – R a;b .

Опр. С.в.

X R a;b

(имеет равномерное распределение на отрезке

a;b ),

если плотность

распределения задается следующим соотношением:

, x [a;b],

f X (x)

x [a;b].

Используется для описания ошибок округления (например, взвешивания).

Характеристики распределения.

b a 2 .

1.1) M X

a b

;

1.2)

D X

Вычислим

m M [ X k ] b

xk 1

bk 1 ak 1

b a

b a k 1

(b a)(k 1)

M [ X ]

b2 a2

b a

;

M [ X 2 ]

b3 a3

b2 ab a2

;

(b a) 3

(b a)2

b2 ab a2

b a 2

(b a)2

D[ X ] M X

1.3) Функция распределения F x .

a;b

Воспользуемся формулой F (x) f (x)dx .

Носитель

распределения разбивает числовую

ось на 3 промежутка: ; a , a;b , b; . Поэтому необходимо рассмотреть 3 случая.

x a. Тогда F (x)

0 dx 0 .

a x b.

x a

F (x) 0 dx

a b a

b a

т.к. на отрезке ; x сосредоточены все значения случайной

x b.

F (x)

f (x)dx 1,

величины.

b a

Прямые вычисления:

F (x) 0 dx

dx 0 dx

b a

0, x a

x a

Итак F (x)

, a x b

b a

1, x b

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201527.26 Кб24bilety_borovykh.docx
#
10.09.2019671.23 Кб8bilety_gram-814.doc
#
29.03.2015144.9 Кб47Bilety_po_grazhdanskomu_pravu_1_chast.doc
#
27.04.2019168.43 Кб10Bilety_po_teorii_politiki_1.docx
#
10.08.201928.03 Кб4Bilet_4.docx
#
30.03.20152.59 Mб30Binder1.pdf
#
30.03.20152.73 Mб72biohimiyaverstka.pdf
#
29.03.2015629.76 Кб7BIZNES_Posobie_dlya_Geniev.doc
#
21.11.201984.48 Кб1BLACK HOLE COMPUTERS.doc
#
18.11.201942.5 Кб1Breaking logjams.doc
#
30.03.20152.76 Mб7BuridanovOsel.pdf