Binder1

Пример интерпретации коэффициентов множественной регрессии. Пусть выборочное уравнение множественной регрессии, характеризующее зависимость объема продаж услуг (в млн. руб.) от количества работающих и объема основных производственных средств имеет вид (пример 2):

неизменном X1 ) средний объем продажи услуг увеличится на 1,04 млн. руб.

4. Оценка дисперсии случайной ошибки модели и ее свойства

Стандартная ошибка оцениок коэффициента регрессии при m k 1 вычисляется по формуле:

а множественная регрессионная модель

Y b0 b1 X1 b2 X 2 ,

то стандартные ошибки оценок коэффициентов регрессии имеют следующие значения:

5. Проверка статистических гипотез о коэффициентах общей линейной модели

Проверка осуществляется с помощью t -статистик, которые в условиях справедливости нулевой гипотезы имеют распределения Стьюдента с n m степенями свободы.

Проверка гипотезы о значении коэффициента bi

Проверка незначимости (существенности) коэффициента bi

Задача. H0 : bi 0

ˆ

Используется t -статистика вида ti bi .

Sbi

Нулевая гипотеза принимается, если

Пример 4. С помощью метода наименьших квадратов по 16 наблюдениям получена

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что спрос на говядину не изменится в связи с увеличением цены на баранину на 2 у.е.

Решение.

1) Проверим гипотезу о незначимости коэффициента при переменной X 3 , имея в виду, что в условиях используемой модели спрос на говядину не может измениться при изменении цены на баранину, если коэффициент регрессии при переменной X 3 равен нулю.

2) Вычисления проводим в предположении, что исходные данные описываются регрессионной моделью вида

Y b1 X1 b2 X 2 b3 X 3 b4 X 4 .

Критическое значение t -статистики равно

t1 0,05[St(n m)] t1 0,05[St(16 4)] t0,95[St(12)]x1 0,95 [St(12)] x0,975[St(12)] 2,18

2

Поскольку | 20 | 2,18 , то параметр модели b3 значим на уровне значимости 0,05.

ВЫВОД. Есть основания считать, что спрос на говядину изменится в связи с увеличением цены баранины на 2 у.е.

6. Оценка качества множественной линейной модели в целом

Модель наблюдений:

(6)yi b0 b1xi1 b2 xi 2 bk xik i .

1.Коэффициент детерминации, соответствующий модели наблюдений (6):

Определяет долю дисперсии зависимой переменной, объясненную выбранной моделью.

Se2 - остаточная дисперсия.

Другая возможная интерпретация коэффициента детерминации:

2. Множественный коэффициент корреляции (multiple-R)

Чем ближе R2 и R к единице, тем в большей степени можно считать, что имеющиеся данные связаны множественной линейной регрессионной зависимостью.

Включение в модель (1) одной или нескольких новых переменных может привести только к увеличению R2 .

Коэффициент детерминации не может уменьшиться даже при включении в модель несущественных переменных.

Включением в модель достаточно большого числа переменных можно добиться коэффициента детерминации, равного единице!!!

3.Скорректированный коэффициент детерминации:

Обычно скорректированный коэффициент детерминации ведет себя как выпуклая кверху функция относительно количества включенных в модель переменных k.

Его свойства.

Radj2 R2 при n m 1.

При использовании коэффициента Radj2 для выбора между конкурирующими моделями лучшей признается та из них, для которой этот коэффициент имеет большее значение.

7.Проверка (не)значимости множественной линейной регрессионной модели

H0 : b1 b2 bk 0 (ни одна из объясняющих переменных не оказывает влияние на

результирующий показатель, модель не значима) или

H0 : RГ2 0 (генеральный коэффициент детерминации равен нулю, модель не значима)

Конкурирующая гипотеза H1 : RГ2 0 (модель значима).

F-статистика в условиях справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера

F (k, n m) .

Решение. Проверим гипотезу о значимости модели H0 : RГ2 0 (модель не значима).

H1 : RГ2 0 (модель значима). Вычислим значение F -статистики:

Таблица дисперсионного анализа (реализация в EXCEL)