Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Свойства УМО.

1. УМО обладает свойствами обычных математических ожиданий с той лишь разницей, что они выполняются с вероятностью 1:

E a b | a bE | , E 1 2 | E 1 | E 2 | ,

1 2 E 1 | E 2 | с вероятностью 1.

2. Если , независимы, то E | E .

3.E g | g E | .

Формула полного математического ожидания

E |

Для независимых , : E , | x E x, .

Примечание. Если – дискретная СВ, то

E , I x

x, I x

E , | x

P x

E x,

E I x

E x, .

P x

E ,

| x

E x, | x .

Пример 1. Время службы прибора есть случайная величина X с функцией распределения F x .

Известно, что прибор проработал время t. Каково распределение оставшегося срока службы прибора? Чему равно его математическое ожидание?

Решение. Надо найти

P X t x | X t и E X t | X t

в предположении, что P B P X t 0.

Последовательно получим

P X t x, X t

1 F t x

P X t x | X t

1 F t

E X t; B

P X t

X t | X t

x t dF x

udF u t .

P B

P X

1 F t

t x t

Пример

2. Пусть случайная величина

имеет функцию

распределения F x . Найти

E X | min 2, X .

Решение. Верно представление

E X \| min		2, X	c,

			X ,
Поскольку E X c P	X 2 E X

Окончательно

X 2

c I X X 2

I X 2 c

2 X I X 2 .

E X E X I X 2

1 F 2

E X I

X 2

E X | min 2, X

I X 2

X I X 2

1 F 2

Пример 3. Пусть

распределения

		x, y		: 0			X ,Y		T имеет плотность
					y x 1 , а случайный вектор

		2,	x, y ,
			.
f x, y			.
		0,	x, y .
Найти функцию регрессии E Y \| X ..
Найти функцию регрессии E Y \| X ..
Решение. Достаточно найти E Y \| X x и		f X x .

	(1;1)

y x

Последовательно вычислим

x, y

2dy 2x,

0,1 ,

fY y | x

x, y ,

E Y | X x

y fY

y | x dy x

Отсюда E Y |

2x .

Использование свойств УМО для нахождения

распределения функции от случайного

вектора.

| , то

Поскольку M M M

M I

M M I

M P

z |

Пример 1 (распределение произведения двух случайных величин). Пусть ,

f x, y ,

– независимые случайные величины. Найти распределение суммы Z .

Решение. Воспользуемся свойством полного математического ожидания

FZ z P z | x dF x P z | x dF x

	0
			0
F zx \| x dF x
F zx \| x dF x				1 F zx \| x dF x
0
	0
F zx dF x					x .
F zx dF x		1	F zx dF		x .
0

Пример 2. Значение уровня дефектности

вероятность того, что оба дефектны. Решение. Последовательно получим

X R 0;0.1 . Изготовлено 2 изделия. Найти

	2					M
P	2	M I	2	M		M		I	2		\| M	P 2 \|
0.1	P 2 \| x			dx	0.1			dx		0.01
				dx	x2			dx		0.01	.
					x2						.
0				10	0		10			3

Пример 3 (вывод распределения Стьюдента). Пусть 0 , 1, , k – независимые случайные

величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина вида

j 1

St k .

имеет распределение Стьюдента с

k степенями свободы

Найти плотность этого

распределения.

Решение. Положим

0 , Sk

j2 , Z h Sk ,

и учитывая

независимость

j 1

/ k

случайных величин , Sk , получим сначала функцию распределения

P Z z P h Sk , z M P h Sk , z | Sk M P

z | Sk

Sk / k

z Sk

/ k | Sk

P z Sk / k | Sk

F z Sk / k | Sk

F z Sk / k

z Sk

z x / k fSk

x dx,

/ k

а затем и плотность распределения Стьюдента

fZ z

fSk x

k 2

x exp

e 2 dx

k / 2

2 k 2

k / 2 0

				z2			k 1

						2
1		1						k 1
1		1			k			k 1

2k / 2 k / 2			2						2
	2 k
	2 k

	k 1
					1
		2


			k

k

				2

	z2		k 1
			2
			.
	k

3.8. Постановка и решение задачи прогнозирования. Постановка задачи о прогнозе наилучшем в квадратичном.

Имеется пара зависимых случайных величин X ,Y , одна из которых X является наблюдаемой.

Надо найти такую функцию gopt X (построить прогноз Y по значению X ), значения которой

наиболее близки к значению случайной величины Y. Другими словами, зная X , оценить (предсказать) наилучшим образом значение Y .

Если «близость» значений случайных величин			Y и	g X		характеризуется			величиной
функционала E Y g X 2 ,		называемую среднеквадратичной				ошибкой	MSE,		и никаких
		на вид функции g X
дополнительных	ограничений	на вид функции g X		не	накладывается,		то наилучшим в
квадратичном прогнозом случайной величины Y			по	X	называют функцию				gopt X ,
минимизирующую значение функционала E Y g			X 2 .		При этом минимально возможное

значение MSE называют минимальной ошибкой прогноза 2 min E Y g X 2 .
					g
Замечание. Условной дисперсией называют D Y \| X E				Y E Y \| X 2 \|			X .

								2
Теорема 1. Если функция g X принадлежит к классу функций, для которых E g									X ,

то наилучший в квадратичном прогноз случайной величины Y имеет вид gopt X E Y | X .

Следствие.	2	E		2	E E		2	\| X
Следствие.		E	Y E Y \| X		E E	Y E Y \| X		\| X	ED Y \| X .

Замечание. Если «близость» значений случайных величин Y и g X характеризуется величиной

функционала E Y g X 2				, а функция	g X принадлежит к классу линейный функций, то

функцию g	opt	X	, минимизирующую		значение функционала E Y g	X	2	, называют
	opt

наилучшим в квадратичном линейным прогнозом.

Пример 1 (построение оптимального прогноза в случае двумерного распределения). Пусть вектор X ,Y имеет распределение с плотностью

f x, y cx, x, y G, G x, y : 0 x 1,0 y 1 x, y :1 x 2,0 y 0.5 .

Построить наилучший в квадратичном прогноз случайной величины Y по X . Решение. Последовательно вычислим

						1
					c x dy cx,						0 x 1,
f X x	f x, y dy					0
f X x	f x, y dy					0,5
											1 x 2,
					c x dy 0,5cx,						1 x 2,
						0
	f x, y			cx		1,			0 x 1, 0 y 1,
fY y \| x

				cx
	f X x			cx
	f X x								1 x 2, 0 y 1,
				2,					1 x 2, 0 y 1,
				1							0,5
E Y \| X x I 0 x 1 y 1 dy I 1 x 2 y 2 dy
				0							0
I 0 x 1		1	I 1 x 2					1	.
I 0 x 1			I 1 x 2					4	.
	2							4
Наилучший прогноз E Y \| X	I 0 X 1						I 1 X 2			.
Наилучший прогноз E Y \| X	2									.
	2							4

Пример 2 (построение оптимального прогноза в случае двумерного нормального

распределения. Пусть вектор X ,Y		имеет двумерное нормальное распределение с
характеристиками:
E X aX ,	E Y aY ,	D X X2 , D Y Y2 , r X ,Y r.

Вычислить gopt X E Y | X , условную дисперсию и минимальную ошибку прогноза.

Решение ( метод решения предложен П.Н.Сапожниковым).

Сначала найдем , при котором

стандартизованные случайные величины X S

и X S YS

некоррелированы, а значит и (в силу их

совместного нормального распределения) независимы:

K X S YS , X S r 0 r.

Тогда, с одной стороны, E YS rX S

| X E YS

rX S 0,

а с другой стороны

Поэтому

E YS rX S | X E YS | X rX S .

E Y | X

0 E YS | X rX S E

Y a

X a

| X

E Y | X aY

r Y

X aX .

Минимальная ошибка этого прогноза равна

2 E Y E Y | X

r Y

Y2 E YS rX S 2

E Y aY

X aX

Y D YS

rX S Y 1 r

Y 1 r

Вычислим теперь условную дисперсию

D Y | X E Y E

Y | X

r Y

| X

E Y aY

| X

Y E YS rX S

| X Y E

YS rX S

Y 1 r

УМО E Y | X aY

r Y

X aX является

линейной функцией

от X ,

поэтому имеет

нормальное распределение с характеристиками:

E E Y | X E Y aY , D E Y | X D aY

r Y
	X aX	r 2 Y2.
X

Замечание. Условное распределение случайной величины Y			при заданном			X x в условиях
	r Y		2		2
примера 2 является нормальным, а именно N aY				r
	X	x aX , Y 1

Теорема 2. Если функция g X принадлежит к классу функций				линейных функций вида

a bX , для которых

величины Y имеет вид

E		2	, то наилучший в квадратичном линейный прогноз случайной
E	X		, то наилучший в квадратичном линейный прогноз случайной
gopt X E Y				K X ,Y	X E X .
gopt X E Y				D X	X E X .
				D X

1. Случайные процессы и их вероятностные характеристики

Определение случайного процесса.

СЛУЧАЙНЫЙ ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ (синонимы)

Случайный процесс является математической моделью для описания случайных явлений, развивающихся во времени. При этом предполагается, что состояние процесса в текущий момент времени t R есть векторная или скалярная случайная величинаt, . Пространство элементарных событий (исходов) предполагается

измеримым, т. е. на нем определена -алгебра его подмножеств F . Кроме того, предполагается, что на измеримом пространстве , F задана вероятностная мера P , т.е. для любого множества A F определена его вероятность Р{А}.

Определение 1.1. Случайная функция есть семейство (действительных или

комплексных)	случайных	величин	t, ,t T , определенных на		, F, P , где
множество параметров T R .
Замечание. Обычно, когда это не приводит к неясности, вместо t,					используется
обозначение	t . Если	t интерпретируется как время, то случайная функция
называется случайным процессом. Если T Rk , то t				– случайное поле.
Определение	1.2. Пусть	t0 T	– фиксированный	момент. Случайная величина
t0 , называется сечением случайного процесса в точке t0 .

ПРИМЕРЫ.

Плотность вещества на глубине, давление воздуха на высоте.

ЗАДАЧИ.

Выделение полезного сигнала на фоне шума – задача фильтрации. Обнаружение разладки. (Ширяев А.Н.)

Пересечение уровня (Тихонов В.И.) Анализ СМО. (Гнеденко Б.В., Хинчин) Техническая и медицинская диагностика. Задачи прогнозирования и интерполяции. Автоматическое управление.

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ.

Радиоэлектротехника (выделение полезного сигнала на фоне шума). Кибернетика, мат. экономика, информатика (СМО).

Астрофизика (модели черных дыр, развития Вселенной).

Финансовая математика (стохастическое интегрирование, стохастические дифференциальные уравнения).

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. Явное, с помощью семейства конечномерных распределений.

Классификация случайных процессов по временному аргументу и фазовому пространству.

Определение 1.3. Если T – дискретное множество, то t, – случайный процесс с дискретным временем или случайная последовательность. Если T R или T a,b ,

то t, – случайный процесс называется с непрерывным временем. Процесс может быть действительным или вещественным и комплексным.

Определение 1.4. Множество значений X случайного процесса называют фазовым пространством, а его элементы – состояниями.

Определение 1.5. При фиксированном 0	неслучайная функция t, 0 ,t T
называется траекторией, соответствующей	элементарному исходу 0 .

Траектории называются также реализациями или выборочными функциями случайного процесса.

Определение 1.6. Случайная функция называется регулярной, если ее траектории в каждой точке непрерывны слева и имеют конечные пределы справа.

Примеры, поясняющие введенные выше определения.

Пример 1.	Пусть случайный процесс t определен следующим образом:
t tX ,	t 0;1 ,

где X – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1]. Описать множество сечений и траекторий случайного процесса.

Решение. Случайный процесс t является случайной функцией. При фиксированном t0 0, 1 сечение t0 t0 X является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на отрезке 0;t0 .

Траектории процесса – неслучайные функции t, 0 X 0 t являются прямыми линиями, выходящими из точки (0,0) со случайным тангенсом угла наклона, равным

X 0 . Случайная функция			t регулярна, так как все ее траектории непрерывны.
Пример 2.	Пусть	t [0; ) ,	а случайная функция t задана следующим образом:
t Un	при	t (n, n 1], n 0,1,

где Un , n 0,1, – последовательность конечных случайных величин. Описать

траектории случайного процесса. Является ли этот процесс регулярным?

Решение. Траектории процесса – кусочно-постоянные функции, испытывающие разрывы в точках t n 0,1, По определению эти функции непрерывны слева и

имеют пределы справа, равные lim t, Un для всякого . Поскольку

t n

P Un 1 по условию, то этот случайный процесс является регулярным. ¦

Конечномерные распределения случайного процесса.

Определение 1.7. Пусть t, ,t T			– действительный случайный процесс и задано
некоторое	произвольное	множество		моментов	времени	t1, ,tn T .
Соответствующий набор		случайных	величин t1 , , tn			имеет n-мерную
функцию распределения
F x1, , xn ;t1, ,tn P t1 x1, , tn xn ,						(1)

которая в дальнейшем будет называться п-мерной функцией распределения случайного процесса. Чем больше n, тем более полное описание случайного процесса. Совокупность функций (1) для различных п = 1,2, ... и всех возможных моментов времени ti T называется семейством конечномерных распределений случайного процесса.

Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса.

Совокупность всех конечномерных законов распределения случайного процесса является его полной характеристикой. Но при решении многих прикладных задач по разным причинам ограничиваются использованием одно- и двумерных законов распределений случайных процессов и связанных с ними моментов первого и второго порядков, существование которых предполагается. Моментами k-го порядка случайного процесса называют соответствующие моменты его сечений.

Определение	1.8.	Математическим	ожиданием	случайного	процесса	t ,t T
называют M t .
Определение	1.9.	Ковариационной	функцией	n -мерного	случайного	процесса
t ,t T называют функцию

K t1,t2 K t1,t2 M t1 m t1 t2 m t2 T .

Замечание 1. По аналогии с коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин в теории случайных процессов используют понятие корреляционной функции

r t1,t2 r t1,t2		K t1,t2		.
			t2
	t1

Замечание 2. Если случайный процесс t ,t T принимает значение в комплексно-

значном измеримом пространстве, то его называют комплексным случайным процессом. Для него

K t1,t2 K t1,t2 M t1 m t1 t2 m t2 .

Определение 1.10. Взаимной ковариационной функцией двух n-мерных случайных процессов t ,t T и t ,t T , определенных на одном и том же множестве и на

одном и том же вероятностном пространстве, принимающих значения в одном и том же измеримом пространстве:

K t1,t2 M t1 m t1 t2 m t2 T .

2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для построения конструктивной теории, позволяющей решать различные задачи как теоретического, так и прикладного характера, необходимо конкретизировать общее определение случайного процесса. Ниже приводятся типы случайных процессов, представляющих особый интерес для приложений.

2.1. Стационарные случайные процессы
Определение 2.1. Случайный процесс			t ,t T a,b	называют стационарным в
узком смысле,	если	для любых	n, t1 , tn , h	распределения сечений
t1 , , tn и	t1	h , , tn h совпадают.
Определение 2.2.	Случайный процесс t ,t T a,b			называют стационарным в

широком смысле, если его математическое ожидание постоянно, а ковариационная функция зависит только от разности аргументов.

2.2. Нормальные процессы

Определение 2.3. Случайный процесс t ,t T a,b называют нормальным, или

гауссовым процессом, если любые его конечномерные законы распределения являются нормальными.

2.3. Процессы с независимыми приращениями

Определение 2.4. Случайный процесс t ,t T a,b называют процессом с независимыми приращениями, если для любых n, t1 tn случайные величины

t1 t0 , t2 t1 , , tn tn 1

являются независимыми.

В практике научных исследований встречаются случайные процессы, родственные случайным процессам с независимыми приращениями.

1. Если случайные величины t1 t0 , ,	tn tn 1 являются зависимыми,
но некоррелированными, т.е.

K tn 1 tn 2 , tn tn 1 0 ,

то случайный процесс t ,t T a,b называют процессом с некоррелированными

приращениями; если выполняются

f x1, , xn | t1, ,tn

M t 0. то

это

процесс

n 1

ортогональными приращениями.

n, t1, ,tn

Если

для

любых

закон

распределения

приращения

tk tk 1 , k 2, , n

зависит

лишь

от

tk 1 ,

то случайный процесс

t ,t T a,b

независимыми

приращениями

называют

процессом

со

стационарными независимыми приращениями (однородным).

Примечание. Случайный процесс с независимыми приращениями полностью определен одномерным законом распределения.

2.4. Винеровский процесс

Определение 2.5. Случайный процесс W t ,t T a, называют винеровским, выходящим из 0, если выполнены три условия:

1)W 0 0;

2)является процессом с независимыми приращениями;

3)W t W s N 0; t s 2 .

Примечание.

1)KW s,t 2 min s,t .

2)Является гауссовским процессом.

2.5. Марковские процессы

В теоретических и прикладных исследованиях, связанных с марковскими процессами, для плотности вероятностей используют сокращенное

обозначение f x1, , xn .

Определение		2.6.	Пусть t ,t T a,b		случайный процесс, конечномерные
функции	плотности		вероятностей	которого	(возможно обобщенные) f x1, , xn
заданы	для	любых	n, t1 tn .	Если при этом условная функция плотности

вероятностей имеет вид

f xn | xn 1,, , x1 f xn | xn 1 ,

то его называют марковским.

Примечание. Винеровский процесс является марковским.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201527.26 Кб24bilety_borovykh.docx
#
10.09.2019671.23 Кб8bilety_gram-814.doc
#
29.03.2015144.9 Кб47Bilety_po_grazhdanskomu_pravu_1_chast.doc
#
27.04.2019168.43 Кб10Bilety_po_teorii_politiki_1.docx
#
10.08.201928.03 Кб4Bilet_4.docx
#
30.03.20152.59 Mб30Binder1.pdf
#
30.03.20152.73 Mб72biohimiyaverstka.pdf
#
29.03.2015629.76 Кб7BIZNES_Posobie_dlya_Geniev.doc
#
21.11.201984.48 Кб1BLACK HOLE COMPUTERS.doc
#
18.11.201942.5 Кб1Breaking logjams.doc
#
30.03.20152.76 Mб7BuridanovOsel.pdf