n1 / n1

Рис. 142

О вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

5)через полученную точку Л? и неподвижную DI проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В;

6)соединяя найденные точки Л? и В\

окажется преобразованной в прямую, которая совпадает с СгОг-

§ 33. СПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Применение способа вращения часто приводит к тому, что преобразованная проекция фигуры накладывается на заданную. Построение и особенно чтение такого чертежа при вращении трехмерных фигур становится затруднительным.

Этого недостатка лишен способ п л о с - к о п а р а л л е л ь н о г о п е р е м е щ е н и я , позволяющий более свободно пользоваться полем чертежа для размещения преобразованных проекций геометрической фигуры. Более свободно, но не произвольно.

Ограничения, которым должны удовлет-

ворять вновь создаваемые проекции, обус-

что вращательное движение фигуры является частным случаем плоскопараллельно-

параллельно плоскостям проекций (П| или

П2 ), когда каждая точка фигуры движется

вплоскостях уровня.

Каким же условиям должны удовлетворять преобразованные проекции фигуры?

Рассмотрим плоскопараллельное перемещение треугольника ABC относительно плоскости П| (рис. 143).

Каждая из его вершин, двигаясь в плоскостях уровня, опишет плоскую кривую, фронтальная проекция которой будет совпадать с одноименным следом плоскости. Это означает, что фронтальные проекции вершин треугольника (точек любой фигуры Ф) будут двигаться по прямым, перпендикулярным линиям связи. Что же касается проекции треугольника на плоскость П|, то она может занять произвольное положение, не изменив при этом своей формы.

Рис.131Рис.132Рис.133

. Треугольники A\BiC\ и Л|В|С| равны

Аналогично можно показать, что при перемещении, параллельном плоскости П|, расстояния между горизонтальными проекциями любой пары точек произвольной фигуры Ф остаются постоянными. Таким образом, проекции Ф| в начальный и Ф| в конечный моменты перемещения равны.

Новую горизонтальную проекцию Ф| фигуры Ф можно начертить на свободном месте чертежа, придав ей нужную для решения конкретной задачи ориентировку.

На рис. 143, где определяется угол ф наклона плоскости треугольника ABC к П], новая горизонтальная проекция А\В\С\ расположена так, что горизонталь B]D] треугольника оказалась проецирующей прямой.

Проиллюстрируем применение способа плоскопараллельного перемещения на примере построения проекций куба по направлению одной из его диагоналей АВ (рис. 145).

Первым плоскопараллельным перемещением относительно плоскости П| диагональ АВ куба преобразуется в прямую уровня (Л'б'ЦПг). Вершины Л и В в этом случае движутся в горизонтальных плоскостях а и р ( а э Л , р э В ) . Проекция куба на Пь сохраняя свою форму, лишь меняет ориентировку, при которой горизонтальная проекция Л'В| диагонали располагается перпендикулярно линиям связи.

В результате последующего перемещения, параллельного плоскости Пг, заданная диагональ куба становится проецирующей прямой (Л2В2_1_П1). Плоскость уровня у, в которой происходит движение диагонали, на этот раз параллельна П2.

Новая фронтальная проекция Ф1 куба конгруэнтна предыдущей Ф2, но изображена так, что проекция Л1В| диагонали приняла вертикальное положение.

Горизонтальная проекция куба является решением задачи. На рис. 145 показано также и преобразование проекций верши-

ны С, которая снач.ала перемещается в плоскости а ЦП], а затем в плоскости ЙЦПг.

Способ плоскопараллельного перемещения и его частный случай — способ вращения — могут быть использованы при построении наглядных аксонометрических изображений, которым посвящена глава 12 учебника.

f34. С П О С О Б В С П О М О Г А Т Е Л Ь Н О Г О

ПР О Е Ц И Р О В А Н И Я

Преобразованная проекция геометрической фигуры должна упростить графические построения, связанные с решением той или иной задачи.

Возможность таких упрощений при решении некоторых позиционных задач воз-

для конической поверхности и цилиндрической.

Вырожденные проекции указанных геометрических фигур получают в с п о м о г а - т е л ь н ы м п р о е ц и р о в а н и е м чаще всего на одну из плоскостей проекции или на плоскость уровня.

Это проецирование может быть и цен-

Рис. 146

результат можно получить и при параллельном проецировании в направлении s, если s\\m. Оба случая представлены на рис. 146, где проекцией т\ прямой т на плоскость П1 является ее горизонтальный след М.

Вырождение проекции плоскости а в прямую аП | произойдет, если центр проецирования S принадлежит этой плоскости или направление проецирования s параллельно а (рис. 147).

Для построения вырожденных проекций Ф| и в| пирамидальной или конической поверхностей центр проецирования должен находиться в их вершинах (рис. 148).

Если же вершина 5 окажется несобственной точкой и пирамидальная поверхность превратится в призматическую, а коническая в цилиндрическую, то вспомогательное проецирование должно быть параллельным.

На рис. 149 ломаная I и кривая т пред-

ставляют собой вырожденные проекции Ф1 и в | соответственно призматической Ф и цилиндрической 0 поверхностей при направлении проецирования s, параллельном ребрам поверхности Ф и образующим цилиндрической поверхности в.

Каждую из показанных на рис. 146— 149 вырожденных проекций можно рассматривать как тень геометрической фигуры при заданном положении источника света S или направлении пучка параллельных световых лучей.

Способ вспомогательного проецирования целесообразно применять при решении тех позиционных и конструктивных задач, одним из геометрических объектов которых является прямая, плоскость или указанные выше поверхности, т.е. тогда, когда удается получить вырожденную про-

екцию одной из заданных или искомых фигур.

Покажем эффективность этого способа на следующих примерах.

Пример 1. Даны три скрещивающиеся прямые а, b и с. Построить прямую d, которая пересекла бы первые две и была бы параллельна третьей (рис. 150).

Искомая прямая d должна удовлетворять трем условиям: 1) пересекать прямую ,а; 2) пересекать прямую 6; 3) быть параллельной прямой с.

Множество прямых М\, отвечающих первому и третьему условиям, представляет собой плоскость а, определяемую прямыми а и / (/||с).

Множество прямых, удовлетворяющих второму и третьему условиям, образует вторую плоскость р (Ь[]т), причем т\\с.

Пересечение двух множеств М\[\Мг будет определять искомую прямую d.

Воспользуемся способом вспомогательного проецирования на плоскость уровня у по направлению прямой с.

Вырожденными проекциями построенных плоскостей будут прямые av (aflv) и Pv (РП?)- Их пересечение определяет точку D, через которую и проведена искомая прямая d. На рис. 150 через К и L обозначены точки пересечения прямой d соответственно с а и Ь.

Пример 2. Определить точки пересечения прямой т с поверхностью пирамиды (рис. 151).

Контур основания пирамиды можно рассматривать как ее вырожденную центральную проекцию, полученную при проецировании из вершины S на плоскость Ш основания.

Спроецируем на ту же плоскость и данную прямую т. Точки К\ и L\ пересечения новой (вспомогательной) проекции т \ прямой т с контуром основания будут центральными проекциями искомых точек. «Обратным» проецированием (с помощью лучей, направленных к вершине S) определяем их ортогональные проекции. Так,

ния прямой т с поверхностью Ф цилиндра (рис. 152).

В данном примере направление s проецирования должно быть параллельным образующим цилиндра, а плоскость а его нижнего основания целесообразно принять за плоскость проекций. Тогда контур нижнего основания окажется вырожденной вспомогательной проекцией поверхности цилиндра. Построив вспомогательную проекцию ml прямой т, отмечаем точки К\ и L\ пересечения т\ с контуром нижнего основания цилиндра. Используя линии проекционной связи /Ci/Ci ||L|Li||si, определяем ортогональные проекции Ki, Кг и Li, L2 искомых точек.

Приведенные примеры не раскрывают всех возможностей способа вспомогательного проецирования, который при определенных условиях может эффективно использоваться и для решения метрических задач, и при построении аксонометрических и перспективных проекций [8, 9J.

§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

К РЕШЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1.Определение расстояний

а) Расстояние между двумя точками. Задача сводится к определению истинной длины отрезка, соединяющего две данные точки. Ее решение связано с преобразованием чертежа, в результате которого данный отрезок оказывается параллельным одной из плоскостей проекций (см. первую из четырех основных задач, рассмотрен-

от заданных проекций. Из трех случаев, представленных на рис. 114—116, наибо-

пользуя построения, показанные выше при решении второй основной задачи.

Напомним, что преобразование проекций прямой общего положения в точку

проецирующей относительно плоскости Щ, а ее проекция на Щ будет точкой /5. На ту же плоскость П5 спроецирована и данная точка А. Расстояние между новой проекцией Аь точки А и новой проекцией /5 прямой I будет искомым.

На рис. 153 показан и обратный процесс преобразования проекций отрезка АК от системы П4/Н5 к первоначальной П1/П2. Заметим, что проекция отрезка АК на плоскость 114 построена параллельно оси Х45, так как этот отрезок параллелен плоскости lis.

в) Расстояние между двумя параллельными прямыми. На рис. 154 проекции двух параллельных прямых общего положения двойной заменой плоскостей проекций преобразованы в точки. Расстояние между ними будет искомым. Действительно, при второй замене плоскостей проекций плоскость П5 расположена под прямым углом к заданным прямым. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из какой-либо

Рис. 153

лен плоскости П5 и спроецируется на нее без искажения.

г) Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 155). Это расстояние измеряется длиной перпендикуляра CD, общего к заданным прямым. Если одна из них, например а, перпендикулярна

второй из скрещивающихся прямых Ь на плоскость Ш спроецируется без искажения. Для этого частного случая (a _L П i) решение задачи дано на рис. 156. Особенность примера, представленного на рис. 157, состоит в том, что одна из скре-

65

Решение той же задачи без введения новых плоскостей проекций дано на рис. 159, где проекции перпендикуляра р построены с помощью главных линий плоскости а — горизонтали Л и фронтали f (pi-LAi, p2±ft).

Основание перпендикуляра (точка К) определено по известной схеме, а именно:

1)а э р ( а 1 П 2 ) ,

2)( 1 — 2 ) = о П о ,

3)К = рП(1 - 2) .

Натуральная длина искомого расстояния А\К\ найдена способом вращения.

е) Расстояние между двумя параллельными плоскостями. В данном случае расстояние измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости на другую. Таким образом, эта задача сводится к предыдущей.

2. Определение углов а) Угол между двумя пересекающимися

прямыми. На рис. 160 показано определение натуральной величины угла ВАС способом вращения. Плоскость угла вращением вокруг горизонтали ВС приведена в новое, горизонтальное положение, когда горизонтальная проекция А\ вращающейся вершины А оказалась удаленной от проекции оси вращения на расстояние, равное радиусу RA.

Решение задачи сводится к определению истинной величины радиуса RA, который на рис. 160 найден способом вращения. Плоскость окружности, которую описывает вершина угла А, обозначим через а (olfiC, а так как ВС||Пь то о ± П | ) .

з»

б) Угол между двумя скрещивающимися прямыми. Мерой этого угла является угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся. Следовательно, и в этом случае задача сводится к определению истинной величины треугольника, что можно сделать любым из известных способов.

в) Угол между прямой и плоскостью.

Углом прямой т с плоскостю о (рис. 161) называется острый угол ср, составленный этой прямой с ее проекцией на данную плоскость. Построение проекций угла ср требует определения двух точек К и 1, первая из которых является точкой пересечения данной прямой с плоскостью а, а вторая — основанием перпендикуляра, опущенного из произвольной точки А пря-

67

мой на ту же плоскость. Получив две пересекающиеся в точке К прямые (т и /), определяем истинную величину угла между ними так, как это было описано выше в п. «а».

Если задача требует определения только величины угла между прямой и плоскостью без изображения его проекций, то решение можно значительно упростить, опустив построение точек К и L.

Действительно, рассматривая прямоугольный треугольник ALK (рис. 161), замечаем, что ср = 90° — г|>, где г|> — угол, образованный данной прямой т и перпендикуляром п к плоскости а.

Построение проекций этого угла ф не требует определения ни точки К, ни точки L (рис. 162). По двум проекциям угла tf> находят его истинную величину и дополняют ее до 90°. Угол, дополняющий найденный до 90°, и будет искомым.

г) Угол между двумя плоскостями. Две плоскости а и р, пересекаясь, образуют четыре попарно равных двугранных угла (рис. 163). Каждый из них измеряется линейным углом, который получается, если плоскости а и р пересечь третьей плос-

Рис. 163

костью у, перпендикулярной линии их пересечения т. Нетрудно показать, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами п и п' к этим плоскостям. Действительно, плоскость у, определяемая двумя перпендикулярами, опущенными из произвольной точки пространства К на грани а и р , будет перпендикулярна им и ребру m двугранного угла. Прямые углы с ребром m составят и линии DM и DN, по которым плоскость у пересекает а и р . Следовательно, прямые DM и DN представляют собой стороны линейного угла, которым измеряется двугранный. Но KN±DN и KM A-DM, а поэтому ф = ф'. На рис. 164 обе плоскости (а и Р) зада-

ны главными линиями. Для определения

Рис. 165

угла между этими плоскостями из произвольной точки К опущены два перпендикуляра (на а и на Р). В дальнейшем задача сводится к определению угла между двумя пересекающимися прямыми п и я'.

В том случае, когда двугранный угол задан так, как это показано на рис. 165, его истинную величину целесообразно определять введением новых плоскостей проекций. Ребром двугранного угла в этом примере служит общая сторона двух треугольников — прямая АВ. Последовательно переходя от системы П1/П2 к П1/П4 и к П4/П5, проекцию АВ преобразуем в точку. Плоскось П5, перпендикулярная АВ, будет параллельна сторонам линейного угла, которым измеряется двугранный угол <р.

3. Построение проекций плоской фигуры по заданным условиям.

Поставим перед собой следующую зада-

К

Рис. 166

1. Плоскость а (/П^) повернута вокруг горизонтали h в положение, при котором она стала параллельна плоскости П| (плоскостью уровня). Новая горизонтальная проекция /1 построена с помощью точек D, и }\ (£>,/! = D2/2).

2.Через точку /| параллельно h\ проведена горизонталь плоскости а, на которой лежит точка О.

3.Определено положение новой горизонтальной проекции О, центра описанной окружности после поворота плоскости а.

4.Построена окружность и вписан в нее правильный треугольник.

5.Через каждую вершину треугольника по плоскости в повернутом положении проведены горизонтали Л|3! и С\2\ до

пересечения с Эти горизонтали вместе с принадлежащими им точками предстоит обратным вращением переместить в исходное положение плоскости а.

6. На фронтальной проекции фронтали f2 определена точка <?2(<?2£>2=<?!£>О. Другая проекция 31 этой точки расположена на /1.