n1 / n1

ственная прямой АВ. Эта прямая должна пересечь прямую S<H в ее несобственной точке, т. е. прямая СоВ' будет параллельна S(v4. Искомая точка В' должна принадлежать прямой СоВ'. Она определяется как точка пересечения прямой СоВ' с проецирующей линией SoB.

Гомология играет существенную роль в теории линейной перспективы. Здесь устанавливается соответствие между перспективой фигуры и самой фигурой, причем плоскость последней должна быть совмещена с картиной.

f 3. ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННОЕ (РОДСТВЕННОЕ) СООТВЕТСТВИЕ

Соответствие, которое устанавливается между фигурами с помощью параллельной проекции, называется п е р с п е к т и в н о - а ф ф и н н ы м .

Перспективно-аффинное соответствие представляет собой частный случай перспективной коллинеации, когда центром проецирования является бесконечно удаленная точка.

Родственному соответстию присущи общие свойства перспективной коллинеации и специфические свойства параллельного проецирования.

Как и во всякой перспективной коллинеации, в родственном соответствии:

1) каждой точке А одной плоскости соответствует родственная точка А' второй плоскости (рис. 9) ;

2)каждой прямой а одной плоскости соответствует родственная прямая а' второй плоскости;

3)родственные точки расположены на прямых, проходящих через центр проек-

Рис. 9

ций (при бесконечно удаленном центре проецирующие лучи будут параллельны); 4) родственные прямые а и а' пересекаются на оси родства, которой служит линия пересечения т данных плоскостей П и П'. Эта ось является множеством двой-

ных точек; 5) сохраняются свойства принадлежно-

сти точек прямым, т. е. если точка К принадлежит прямой а, то родственная точка К' принадлежит родственной прямой а'.

Кроме того, родственное соответствие обладает следующими свойствами, связанными с особым положением центра проецирования:

Проецирующие лучи, проходящие через заданные параллельные прямые а и 6, образуют две параллельные плоскости, которые пересекаются третьей плоскостью П'

Рассмотрим сначала рис. 9, где показаны соответствующие друг другу отрезки

АВ и А'В'.

Родственные прямые а и а', на которых расположены заданные отрезки, образуют угол с вершиной Со. Отрезки сторон этого угла, заключенные между параллельными прямыми АА', ВВ' и КК', удов-

двух параллельных прямых (рис. 10). Соединив точки А и Е и проведя FC||i4£, получим параллелограмм AEFC. В силу предыдущего свойства (п. 2) четырехугольник A'E'F'C' является также паралле-

Вначертательной геометрии перечис-

ленные свойства широко используются при изображении тел и плоских фигур на проекционных чертежах.

Родственное соответствие, установленное между двумя плоскостями при параллельном проецировании, сохраняется при их совмещении.

Но в этом случае прямые, соединяющие

родственные точки, будут определять не направление проецирования, а направление родства.

Родственное соответствие двух совмещенных плоскостей может быть задано

Точки Со и /4' определяют прямую, родственную прямой АВ. На прямой А'С0 должна быть искомая точка В', которую находят, проведя прямую ВВ' параллель-

(рис. 12), та же задача может быть реше-

В

BDо, параллельную АСо и ей соответственную Лоб'параллельно СоА' (параллельным прямым соответствуют параллельные прямые). Прямая, проходящая через точку В параллельно направлению родства, пересечет прямую DoB' в искомой точке.

К описанному построению прибегают в случае, когда требуется провести прямую А'В' через недоступную точку схода дв"ух других прямых (через точку пересечения прямых АВ и т).

Примером родственных фигур могут служить данная фигура и тень от нее на некоторую плоскость. На рис. 13 показано построение тени фигуры, принадлежащей плоскости П, на плоскость П'. Тень точки А на плоскости П' была задана (точка А'). Имея две соответственные точки А и А' и ось родства — прямую т, не представляет труда найти точки В', С', D', родственные точка'м В, С и D. При определении этих точек были повторены построения, показанные на рис. 12. Так, точка С', родственная С, найдена с помощью прямых ССо и СоС', соответственно парал-

7Р!

Рис.131Рис.132Рис.133

лельных прямым ААо и АоА'. Аналогично построены тени остальных точек.

Перечисленные в начале параграфа свойства перспективно-аффинного соответствия присущи и ряду других точечных преобразований. Назовем те из них, которые понадобятся в дальнейшем.

Параллельный перенос, определяемый ненулевым вектором а. Известно, что параллельный перенос (вектор) задается парой соответствующих точек.

Так, вектор а(рис. 14) отображает любую точку А в точку А', расположенную на луче заданного направления с началом в точке А на расстоянии |а|от этого начала:

АА' = а .

Параллельный перенос фигуры Ф можно определить как перемещение фигуры

взаданном направлении (см. рис. 14). Фигура Ф', получающаяся из Ф парал-

лельным переносом на вектор а, равна фигуре Ф.

Преобразования, основанные на параллельном переносе, будут использованы при

Рис. 131

А'

Рис. 15

может быть и положительным, и отрицательным.

Правила, позволяющие построить точку А', соответствующую данной точке А, со-

приближаются по перпендикулярам к прямой т. Если / г > 1 , то все точки плоскости

Рис.132Рис.133

Сжатие к прямой при k = — 1 представляет собой осевую симметрию. Наконец, если k=\, каждая точка плоскости переходит сама в себя, т. е. является неподвижной. Такое преобразование плоскости является тождественным отображением плоскости в себя.

Сжатию и растяжению можно подвергать не только плоскость, но и пространство.

В этом случае неподвижными окажутся точки не прямой, а некоторой плоскости.

Такими точками при деформации сферы Ф могут быть точки большого круга, плоскость которого перпендикулярна направлению сжатия или растяжения (рис. 16).

Сфера Ф при таком преобразовании переходит в эллипсоид вращения Ф'.

При решении некоторых позиционных задач на поверхности эллипсоида вращения бывает целосообразно эту поверхность подвергнуть сжатию, в результате которого эллипсоид преобразуется в сферу. Такое преобразование существенно упрощает, например, решение задачи определения точек пересечения прямой с эллипсоидом.

Мы познакомили читателя лишь с некоторыми положениями проективной геометрии. Более подробные сведения о геометрических преобразованиях и закономерностях перспективной коллинеации можно найти в специальной литературе [21].

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям.

Одну из плоскостей проекций П| располагают горизонтально, а вторую ГЬ — вертикально (рис. 17). Плоскость Ш называют горизонтальной плоскостью проекций, Пг — фронтальной. Плоскости П| и Пг бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется о с ь ю к о о р д и н а т и обозначается Х|2. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти, нумерация которых дана на рис. 17.

Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те

из них является основанием перпендику-

ют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси xi2. Эта плоскость пересекает П| и Пг по прямым А\АХ и А2Аж, которые образуют с осью Xi2 и друг с другом прямые углы

свершиной в точке А,.

Справедливо и обратное, т. е. если на

Рис. 20

жутся под осью х12. На рис. 19 и 20 показаны точки М и N, лежащие на плоскостях проекций *. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси Xi2. Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси х^.

§ 5. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму.

Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций показана на рис. 21. Третья плоскость, перпен-

* На рис. 19, 20 и последующих совпадающие точки соединены знаком тождества.

Рис. 21

дикулярная и Г1|, и Пг, обозначается буквой Пз и называется п р о ф и л ь н о й .

Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (Л3, йз, Сз, ... 1з, 23,

Зз...).

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: Ох, Оу и Ог, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рис. 22, соответствует «правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые о к т а н т ы . Нумерация октантов дана на рис. 21.

Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости П1 и Пз вращают, как показано на рис. 21, до совмещения с плоскостью Пг- В результате вращения передняя полуплоскость П1 оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью Пг, а задняя полуплоскость П ) — с верхней полуплоскостью Пг. При повороте на 90° вокруг оси Ог передняя полуплоскость Пз совместится с правой полуплоскостью Пг, а задняя полуплоскость Пз — с левой полуплоскостью Пг.

Окончательный вид всех совмещенных плрскостей проекций дан на .рис. 22. На этом чертеже оси Ох и Ог, лежащие в не-

подвижной плоскости Пг, изображены только один раз, а ось Оу показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью Hi, ось Оу на эпюре совмещается с осью Oz, а вращаясь вместе с плоскостью Из, эта же ось совмещается

сосью Ох.

Вдальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— Ох, —

—Оу, —Oz) указываться не будут.

§6. ТРИ КООРДИНАТЫ

ИТРИ ПРОЕКЦИИ точки

ИЕЕ РАДИ УСА-ВЕКТОРА

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и г.

Координату х называют а б с ц и с с о й , у — о р д и н а т о й и z— а п п л и к а т о й Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости Пз, ордината у — до плоскости Пг и аппликата z — до плоскости П|. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рис. 21, составим таблицу (см. рис. 22) знаков координат во всех восьми октантах. Ка- кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так:

А (х, у, г).

Если х = 5, у —А и 2 = 6, то запись при-

мет следующий вид: А (5, 4, 6). Эта точка А, все координаты которой положитель-

где ОАх, ОАу, ОАг — координаты векто-

ра OA.

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рис. 24) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного

Рис. 23

Рис. 24

параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках (ОЛ*, ОАу, ОАг), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например ОАх, АХАi и AtA или ОАу, АУА\ и А\ А и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со-

точки А, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами.

Так, горизонтальная проекция А\ определяется координатами х и у, фронтальная проекция Л2 — координатами х и г, профильная проекция Аз — координатами у и г. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами.

На эпюре (рис. 25), где все плоскости проекций совмещены, проекции Л| и Аг окажутся на одном перпендикуляре к оси Ох, а проекции Аг и Аз — на одном перпендикуляре к оси Ог.

Что касается проекций А\ и Аз, то и они связаны прямыми А\АУ и АзАу, перпендикулярными оси Оу. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок AiAg не может быть продолжением отрезка АзАу.

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат

чаем А2). Остается построить профильную проекцию точки А л. Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси Ог, то через А2 проводят пря-

м у ю A2Az-LOZ.

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси Ог должна

Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости П2. При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости Пг. Постоянными будут оста-

положению точки соответствуют обозначе-

ка начнет удаляться от плоскости П2, координата у станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Гори-

г

у

Рис.131Рис.132Рис.133

зонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости Пь на эпюре окажется выше оси Ох, а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости Пз, на эпюре будет слева от оси Oz. Как всегда, отрезок AzA\ = y.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае опре-

-6А,

П)

Рис. 29

делены с точностью лишь до параллельного переноса (рис. 28). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью П| и перед плоскостью Щ. Так как положение оси xt2 оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости П1 и П2 Совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рис. 29) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок Ах характеризует смещение точки А по отношению к