n1 / n1

окружность разделена на двенадцать равных частей. К проекции ее в точке D\ проведена касательная А\В\ — горизонтальная проекция образующей, повернутой на 30°. Ее фронтальная проекция определена точками Ai и В\, каждая из которых расположена в плоскости своей параллели. Аналогично проводят построение и остальных образующих.

Радиус-вектор г произвольной точки М поверхности однополостного гиперболоида вращения (рис. 212) можно предста-

ловой и линейный параметры поверхности

Покажем, что меридианом такой поверхности является гипербола. Действительно, сложив возведенные в квадрат левые

Присоединив к (8.26) уравнение плоскости у = 0, убеждаемся в том, что меридианом поверхности является гипербола, оп-

болоида вращения в строительной технике принадлежит выдающемуся русскому инженеру, почетному члену Академии наук

СССР Владимиру Григорьевичу Ш у х о в у (1853—1939). Им была предложена конструкция башни, состоящей из прямолинейных элементов. Технологичность конструкции в сочетании с ажурной изящной формой обеспечила в свое время широкое распространение башни в качестве радиомачт, маяков, водонапорных башен, опор для линий электропередач.

По проекту и под руководством В. Г. Шухова в 1921 г. в Москве была построена радиомачта на Шаболовке вы-

и в наши дни. На рис. 213 эскизно показан один из проектов покрытия планетария (США), линейчатый каркас которого образует поверхность однополостного гиперболоида.

$ 43. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ

Развертывающейся называется такая линейчатая поверхность, которую можно без складок и разрывов развернуть на плоскость. Линейчатость поверхности — необходимый, но не достаточный признак развертываемости.

В дифференциальной геометрии доказывается, что к развертывающимся поверхностям относятся цилиндрическая, кони-

ческая и поверхность, образованная множеством касательных к некоторой кривой.

Построение каркасов цилиндрической и конической поверхностей дано на рис. 214 и 215, где геометрической частью определителя цилиндрической поверхности являются направляющая я и образующая

ческой поверхности в векторной записи имеет вид

положение точки М на образующей. Расстояние СМ берем со знаком, принимая на образующей направление вектора / за положительное.

Рассмотрим теперь частные случаи цилиндрических поверхностей, показанные на рис. 216 и 217. Радиусы-векторы точек, принадлежащих данным поверхностям, в обоих примерах определяются равенством R = UN -\-~NM, которому в первом случае

Z=i

Рис. 216

соответствуют параметрические уравнения вида

* = rcosu, у —г sin у, г —и, (8.29)

г д е О < ы < / / , 0 < t ' < 3 6 0 ° .

Во втором примере, где направляющей служит окружность радиуса R, а образующие параллельны плоскости П2, повер-

где 0 < u < / / / s i n ф, 0 < o < 3 6 0 ° ; H — высота цилиндра.

Составим теперь уравнение для радиу- са-вектора произвольной точки М на произвольной образующей конической поверхности, вершина S которой совпадает с на-

От векторной формы уравнения конической поверхности можно перейти к коорди-

где H — высота конуса; 0 — угол между образующей и осью конуса; и, v — криволинейные координаты (0<Г и ^ / / / c o s 0, 0 < w < 3 6 0 ° ) .

Рассмотрим теперь третий вид развертывающей поверхности. Эта поверхность (рис. 219), представляющая собой множество касательных к произвольной пространственной кривой л (к ребру возврата), называется торсовой или поверхностью с ребром возврата. Торсовая поверхность может быть задана всего лишь

Рис. 219

одной линией — кривой п, которую следует рассматривать как геометрическую часть определителя торсовой поверхности.

Когда точка касания прямолинейной образующей движется по ребру возврата, то касательная к нему образует развертывающуюся поверхность, причем полукасательная, которая расположена по одну сторону от точки касания, образует одну полость, а вторая полукасательная — вторую. Таким образом, ребро возврата делит поверхность на две полости.

Наглядное представление о своеобразном строении поверхности вблизи ребра возврата дают сечения ее плоскостью, пер-

пендикулярной образующей и проходящей через точку касания данной образующей. На рис. 219 показано одно из таких сечений — кривая вида MKN, которая имеет в К точку возврата. В этой точке встречаются ветви кривой МК и NK- Точки ребра возврата являются особыми точками.

Развертывающиеся поверхности обладают ценным технологическим свойством: их можно обработать плоским инструментом, движение которого определяется только одним параметром.

В процессе обработки плоскость режущего инструмента, перемещаясь относительно заготовки, образует семейство плоскостей от одного параметра. Этим параметром может быть время, угловое перемещение инструмента и т. п. Обрабатываемая поверхность, таким образом, является огибающей однопараметрического семейства плоскостей, что, как это доказывается в дифференциальной геометрии, необходимо и достаточно для того, чтобы поверхность была развертывающейся.

Укажем на один важный случай развер-

поверхность интересна не только своими особыми геометрическими свойствами, но и применением, которое она имеет в технике.

Итак, пусть ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия п, изображенная на рис. 220. На том же чертеже показаны и касательные к винтовой. От-

ция ребра возврата на ту же плоскость. Справедливость этого утверждения вы-

текает из закона образования поверхности: когда прямая линия движется в про-

* Э в о л ю т о й к р и в о й линии называется множество центров ее кривизны. Кривая линия по отношению к ее эволюте называется э в о л ь - вентой . Нормали эвольвенты будут касательными к эволюте.

странстве, оставаясь касательной к цилиндрической винтовой, проекция касательной на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, без скольжения обкатывает окружность — проекцию ребра возврата на ту же плоскость. А при таком движении прямой по окружности каждая точка прямой описывает эвольвенту.

Часто поэтому в технической литературе данную поверхность называют винтовой э в о л ь в е н т н о й п о в е р х н о с т ь ю . На рис. 220 эвольвентой окружности радиуса

Сечение рассматриваемой поверхности плоскостью а, перпендикулярной оси цилиндра, представляет собой также эвольвенту, каждая точка которой, например К, определена как точка пересечения соот-

являются откосы насыпи и выемки полотна железной дороги на кривой с подъемом.

В качестве других примеров применения этой поверхности в технике можно указать на поверхности косых зубьев цилиндрических шестерен, на рабочие поверхности эвольвентных червяков, используемых в червячных редукторах, на поверхность режущих кромок червячных фрез — для нарезания зубьев шестерен и червячных колес.

та; v — угловое перемещение точки М, которому соответствует смещение точки вдоль оси винта на величину kv.

Итак, вектор-функция, описывающая винтовую архимедову поверхность, имеет вид

R (и, v) = м (i cos v-\-j sin uJH"

рассмотренная выше (см. рис. 220) как развертывающаяся поверхность, представляющая собой множество касательных к цилиндрической винтовой, может

описывает точка образующей, ближайшая к оси винта, должен быть равен углу наклона образующей к плоскости, перпендикулярной оси винта.

Прямолинейная образующая, совершая винтовое движение, касается некоторого цилиндра радиуса Ro (см. рис. 220). Этот радиус должен быть равен кратчайшему расстоянию между осью и образующей.

Некоторые свойства и применение винтовой эвольвентной поверхности были рассмотрены в § 43.

§45. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

СПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА

Поверхности с плоскостью параллелизма представляют собой множество прямых (образующих), параллельных некоторой плоскости (плоскости параллелизма) и

пересекающих две данные линии — направляющие.

Если направляющими являются две кривые линии, то поверхность называется ц и л и н д р о и д о м . Если одна из направляющих — прямая линия, а вторая — кри-

плоскостью параллелизма а (рис. 226)

идвумя криволинейными направляющими

пи п\ которые могут быть пространственными кривыми или плоскими. В последнем случае плоскости, в которых расположены направляющие, не должны совпадать друг с другом. Прямая линия пг, оставаясь параллельной заданной плоскости а, при своем движении по направляющим образует поверхность цилиндроида, т. е. при любом положении образующей должно выполняться условие: т'\\ а.

Проекции цилиндроида показаны на рис. 227, где направляющие п и я1 вместе с плоскостью параллелизма Пз составляют геометрическую часть определителя этой поверхности.

Алгоритмическая часть содержит такую последовательность операций:

обе направляющие пересекают плоскостью а||П3;

находят точки А— п(]а и В = п*{]а; строят прямую т, определяемую точка-

ми Л и В; переходят к следующей плоскости ос' || П3

иповторяют предыдущие операции. Коноид и гиперболический параболоид

отличаются от цилиндроида лишь видом направляющих, которые входят в набор постоянных элементов геометрических частей определителей рассматриваемых поверхностей.

Если криволинейная направляющая коноида плоская, то плоскость кривой не должна совпадать с прямолинейной направляющей.

Рис. 226

болоида' дважды линейчатая; подобно однополостному гиперболоиду она содержит два семейства прямолинейных образующих;

2)две образующие одного семейства между собой скрещиваются;

3)две образующие разных семейств пересекается. между собой;

4)каждое семейство образующих имеет свою плоскость параллелизма.

Если гиперболический параболоид за-

дан двумя направляющими л и п ' (см. рис. 228) и плоскостью параллелизма а, то второе семейство образующих и вторую плоскость параллелизма находят следующим образом.

Прежде всего строят образующие того семейства, плоскостью параллелизма которого является плоскость а. Для этого находят точки Л = лПа' и Л ' = л ' П а ' пе-

ресечения направляющих л и л1 с плоскостью а'||а. Перемещая плоскость а' параллельно а, можно построить целый ряд образующих первого семейства, представленных на рис. 228 прямыми т, т\ т 2 , тъ.

Второму семейству принадлежат прямые л и л1, плоскостью параллелизма которых служит плоскость (3, определяемая пересекающимися прямым / и /', соответственно параллельными прямым л и п\

Второе семейство образующих будет получено при движении одной из направляющих первого семейства (например, л) по двум любым образующим первого же семейства (например, т и /л3).

Движение прямой л должно быть таким, чтобы в любом положении эта прямая

параболоида двумя прямолинейными направляющими и плоскостью параллелизма эта поверхность может быть определе-

Действительно, пусть дан неплоский четырехугольник ABCD (рис. 229). Две противоположные стороны его, например АВ и CD, можно принять в качестве направляющих, тогда две другие, AD и ВС, опре^ делят положение плоскости параллелизма. На данном чертеже такой плоскостью является плоскость а, которая совмещена со стороной ВС и прямой СЕ, причем последняя параллельна AD.

Первое семейство образующих гиперболического параболоида может быть создано при движении стороны AD по принятым за направляющие АВ и CD, когда прямая AD остается параллельной плоскости а. Второе семейство прямолинейных образу-

* Н е п л о с к и м ч е т ы р е х у г о л ь н и к о м называется четырехугольник, противоположные стороны которого скрещиваются.

4«

лизма, должна быть параллельной как АВ, так и CD.

На рис. 229 плоскость р совмещена со стороной АВ и проходит через прямую

в данном случае оказались горизонтально проецирующими, а их следы ai и pi параллельны соответственно J4iZ>i и А\В).

В самом деле, рассмотрим построение плоскости параллелизма двух скрещивающихся прямых т и п , горизонтальные проекции которых параллельны (рис. 231).

Плоскость параллелизма р определена пересекающимися в точке К прямыми т х и п', соответственно параллельными т и п. Горизонтальные проекции прямых т ' и /г1 сольются в одну прямую, что может

99