n1 / n1

§ 59. РАЗВЕРТКА СФЕРЫ

Так как сферическая поверхность принадлежит к числу незавертывающихся, то возможна лишь ее приближенная развер-

тка. Для выполнения ее сферическая поверхность обычно разбивается на ряд элементов, которые могут быть заменены элементами цилиндрической или конической поверхностей. Ниже рассматривается лишь первый способ приближенной развертки сферической поверхности.

Развертка сферы может быть выполнена в следующем порядке. Горизонтальную проекцию экватора п разбивают на равное число частей, например на 8, и через полученные точки проводят горизонтальные проекции меридианов (рис. 300, а, б, где показано построение развертки полусферы).

Часть сферической поверхности, заключенную между смежными меридианами а и Ь, заменяют элементом цилиндрической поверхности Ф, касательной к сфере по главному меридиану т. Ось такой цилиндрической поверхности (ее очерк на рисунке показан тонкими линиями) проходит через центр сферы перпендикулярно Пг.

Как видно из этого рисунка, горизонтальной проекцией цилиндрического эле-

фронтальную проекцию главного меридиана т также разбивают на равное число частей (например, на 8) и на вертикальной прямой от точки 5о, взятой на ней,

Через полученные точки проводят прямые, перпендикулярные /о— 5о, и на них откладывают длины образующих элемента цилиндрической поверхности. Так, от точки

точки лекальной кривой, получают плоскую фигуру, являющуюся приближенной разверткой части сферы. Число таких элементов равно числу частей, на которые был первоначально разделен экватор.

Положение произвольной точки К, принадлежащей сферической поверхности, может быть определено на развертке с помощью двух «координат» — длин дуг I и s. Дуга / определяет смещение точки К от экватора к полюсу, а дуга s — смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы.

Рис. 302

Вопросы и задачи для самоконтроля

1.Построить линии сгиба на развертке тетраэдра (рис. 301).

2.Разверткой какого правильного многогранника может быть равносторонний треугольник?

3.На развертке боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда построить ломаную линию, представляющую собой развертку контура квадратного сечения параллелепипеда плоскостью (рис. 302).

4.В чем сущность приближенной развертки наклонного конуса и цилиндра?

5.В чем сущность приближенной развертки сферы?

6.Разверткой конической поверхности вращения является равнобедренный прямоугольный треугольник, середина гипотенузы которого соответствует вершине конической поверхности. Построить проекции этой поверхности.

ГЛАВА 12

МЕ Т О Д П А Р А Л Л Е Л Ь Н О Г О

ПР О Е Ц И Р О В А Н И Я НА ОДНУ

П Л О С К О С Т Ь ( А К С О Н О М Е Т Р И Я )

§60. СУЩНОСТЬ МЕТОДА

ИОСНОВНЫЕ понятия

Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой.

На рис. 303 показана точка А, отнесенная к системе прямоугольных координат xyz.

Вектор s определяет направление проецирования на картинную плоскость П' (плоскость проекций).

Для создания аксонометрической * (в нашем случае параллельной) проекции точки А проведем через нее проецирующий луч (параллельный вектору s) и найдем пересечение его с плоскостью П' в точке А'. Это построение показывает, что при заданном направлении проецирования каждой точке А пространства на плоскости проекций соответствует определенная точка А'.

Но обратное, как известно, утверждать нельзя. Действительно, каждой точке А! на плоскости ГГ соответствует любая точка проецирующего луча А'А.

Для того чтобы устранить эту неопределенность и обеспечить взаимную однозначность между точками пространства и точками картинной плоскости, посту-

* В дальнейшем параллельную проекцию будем называть аксонометрической, помня, однако, о том, что аксонометрическая проекция может быть и центральной.

пают следующим образом: на плоскость 1Г проецируют не только точку Л, но и одну из ее ортогональных проекцйй (обычно горизонтальную проекцию А|).

Аксонометрическую проекцию АI горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией. Этот термин хорошо выражает тот факт, что точка А\ получается в результате двух последовательных проецирований.

Рассмотрение того же рис. 303 позволяет сделать вывод о том, что если заданы

тельно, проведя через вторичную проекцию А\ точки А прямую, параллельную s, и определив точку пересечения этой прямой с координатной плоскостью хОу, найдем горизонтальную проекцию А\ точки А. Положение же точки А в пространстве определяется пересечением двух прямых А'А и А\А, первая из которых проходит через А' параллельно s, а вторая — через А\ перпендикулярно плоскости хОу.

На плоскости картины ГГ (см. рис. 303) показана и аксонометрическая проекция осей координат — плоская система x'y'z'. В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость П' характеризуется так называемыми коэффициентами искажения.

Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на

енты искажения по всем трем осям равны

ты искажения по двум любым осям рав-

коэффициента искажения по осям различны, т.е. когда ифиф-w, иФ-w.

Аксонометрические проекции различаются также и по тому углу (р, который образуется проецирующим лучом с плоскостью проекций II'. Если ф=^90°, то аксо-

Естественно, что изометрические, диметрические и триметрические проекции могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.

Зная коэффициенты искажения и свойства взаимного расположения точек, линий и плоских фигур, которые сохраняются при их параллельном проецировании

z'

Рис. 305

лением проецирования ОО' с осями координат в пространстве, соответственно буквами а, р, у, а углы, образованные перпендикуляром OD с теми же осями, через он, Pi, YI (на рис. 305 углы Pi и Yi не

+1 - 2 00'OA cos a. (12.3)

Преобразуем теперь отношение двух от-

для коэффициентов искажения по осям

О'у' и O'z'.

В результате суммирования левых и правых частей написанных равенств получим

« 2 + 1 / 2 + ш 2 =

- 2

sin ф

Но так как сумма квадратов косинусов направляющих углов равна единице, а выражение

cos a cos a, + c o s р cos р, + c o s у cos Yi

определяет косинус угла между отрезками

Согласно ГОСТ 2.317—69, из прямоугольных аксонометрических Проекций ре-

было показано, что в прямоугольной аксонометрии сумма квадратов коэффициентов

Таким образом, в прямоугольной изометрии размеры предмета по всем трем измерениям сокращаются на 18 % . ГОСТ

В практических построениях от таких дробных коэффициентов обычно отказываются, вводя масштаб увеличения, опреде-

Определение указанных на этих рисунках углов между осями связано с решением несложных стереометрических задач, которые мы опускаем *.

Из косоугольных аксонометрических проекций ГОСТом предусмотрено применение ф р о н т а л ь н ы х изометрии и диметрии.

В этом частном случае плоскость проекций П' располагают параллельно координатной плоскости xOz (рис. 308). Тогда оси координат л и г , параллельные плоскости П', спроецируются на нее в натуральную величину и, следовательно, коэффициенты искажения по ним будут равны единице, т. е.

u = w= 1.

Коэффициент искажения по оси у' опре-

z'

деляется из прямоугольного треугольника ОВО' соотношением

О'В

* = W = c t g < p ,

Таким образом, косоугольные аксонометрические проекции на плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций, являются диметрическими проекциями. В случае же, когда ф = 45° ( c t g 9 = = 1), получаем косоугольную изометрическую проекцию с коэффициентами искажения, равными единице.

ГОСТ рекомендует строить фронтальную диметрию с сокращением размеров по оси у' вдвое (рис. 309).

Фронтальную диметрическую проекцию

и:и:Ш~Г.0,5:1 una

и:и:и/-1:1.1

Рис. 309

следует применять в тех случаях, когда целесообразно сохранить неискаженными фигуры, расположенные в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций. В том же случае, когда преследуют цель сохранить без искажения фигуры, расположенные в горизонтальных плоскостях, картину (плоскость ГГ ) располагают параллельно плоскости хОу и принимают все коэффициенты искажения равными единице. Допускается применять горизонтальные изометрические проекции (рис. 310) с углом наклона оси у' 45° и 60° при сохранении прямого угла между осями х' и у'. Этот вид косоугольной изометрической проекции часто используется зодчими при решении вопросов пространственной

композиции жилых районов и архитектур- но-планировочной организации больших территорий (архитектурных ансамблей). На рис. 311 представлен схематизированный проект во многом уже осуществленного уникального архитектурного ансамбля — центра Ташкента.

{ «4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ М О Д Е Л Ь ПРЯМОУГОЛЬНОЙ АКСОНОМЕТРИИ

Для построения аксонометрических изображений с помощью ЭВМ необходимо воспользоваться формулами преобразования координат X, Y, 2 точек, принадлежащих заданному геометрическому объекту (ГО), в координаты U и V, которые определяют их (точек) положение на плоскости картины ГГ.

Для вывода этих формул обратимся к рис. 312 и 313, на которых через он и а 2 обозначены углы между проекциями вектора s направления проецирования и осью*. Заметим, что вектор s в случае, когда рассматривается прямоугольная аксонометрия, перпендикулярен плоскости картины ГГ, которая определена главными линиями / и h (рис. 312).

Известно (см. § 33), что аксонометрическую проекцию можно получить с помощью двух последовательных поворотов ГО: сначала вокруг оси г на некоторый угол аг , а потом вокруг оси х на угол ах и, наконец, ортогонального проецирования на плоскость П?. Следует иметь в виду, что плоскость картины П' (ff]h) после указанных двух поворотов должна быть параллельна Пг.

Построение прямоугольной аксономет-

рии требует, чтобы в результате двух вращений направление проецирования оказалось перпендикулярным П2 (П2|! П').

Процесс последовательных вращений реализован на рис. 313, где показаны три

с ним. Пусть у них будет общее начало — точка О, а до первого поворота системы координат расположены так, что х==х\ =

— — и И Z = ZI = 0 .

В системе si задаются координатами вершин ГО, а его аксонометрическое изображение строят на плоскости осей и н ь . Проследим за изменением координат од-

вокруг оси z вектор s окажется параллельным плоскости Пз, а формулы перехода от системы si, связанной с ГО, к неподвижной системе s запишутся так:

s станет перпендикулярным плоскости 1Ь. Величину угла ах находим из треугольни-

Формулы (12.7), описывающие линейные преобразования, используются в дальнейшем (см. гл. 18) при составлении программы, реализующей машинное построе-

соответствие точку А' на картине П' с координатами U = 0, V = 0,82 и решить систему уравнений (12.7) относительно ах и аг , а затем определить ai и аг, используя равенства (12.4) и (12.6).

Математическая модель параллельного проецирования позволяет построить третью проекцию объекта по двум данным.

При параллельном проецировании окружности на какую-нибудь плоскость ГГ

затем с помощью восьми точек и восьми касательных вписать в него эллипс.

Первые четыре из этих точек — середины сторон параллелограмма. Остальные

Рис. 314

точки расположены на диагоналях так, что каждая из них делит полудиагональ в отношении 3:7.

Действительно, на основании свойств параллельного проецирования можно записать, что

АЕ А'Е' ЕО Е'О'

Но АЕЕО -л/2- а значит,

А'Е'

Е'О'

Из восьми касательных к эллипсу первые четыре — это стороны параллелограмма, а

ются проекциями двух параллельных прямых FT и АС.

Графические построения, предшествующие вычерчиванию самого эллипса, показаны на рис. 315. Их целесообразно вы-

2)отметить середины сторон параллелограмма — точки /', 2', 3' и 4'\

3)на отрезке /' — В', как на гипотенузе, построить прямоугольный равнобедренный треугольник l'LB'\