n1 / n1

Рис. 59

— вектор, принадлежащий плоскости а

иортогональный вектору п.

Выразив множители скалярного произ-

ведения (4.1) через их компоненты, получим

(Х—ХА)ПХ + (У — УА) NY + (Z — ZA) л г = 0.

(4.2)

Это линейное относительно координат х, у, г уравнение можно преобразовать к виду

следам — прямым линиям, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций. Плоскость общего положения (не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций) имеет три следа: г о р и з о н т а л ь н ы й а л ь ф р о н т а л ь - н ы й а„2, п р о ф и л ь н ы й а„3 *.

Следы плоскости общего положения а (рис. 59) пересекаются попарно на осях в точках а*, ау , а*. Эти точки, называемые точками схода следов, можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью а с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие — разноименные проекции — оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости совпадает

* Следы проецирующих плоскостей обычно обозначают иначе (см. § 15).

Рис. 60

со своей горизонтальной проекцией, фронтальная же его проекция находится на оси Ох, а профильная — на оси Оу.

Совмещая горизонтальную и профильную плоскости с фронтальной, получим изображение плоскости а ее следами на эпюре (рис. 60). Следует заметить, что разноименные проекции каждого следа оставляют без обозначений.

Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся прямые, вполне определяют положение плоскости в пространстве. Третий след плоскости всегда можно построить по двум данным.

§15. Р А З Л И Ч Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я ПЛОСКОСТИ

ОТ Н О С И Т Е Л Ь Н О ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Плоскость а, перпендикулярная плос-

62). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, которая одновременно является горизонтальным следом ai плоскости.

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с горизонтальным следом а\.

Так, горизонтальная проекция треугольни-

образуется между плоскостью а и Пг,

Ci В,

S ^ v

Рис. 61

/ / в>г )Аг

А -

С

В

Рис. 62

Рис. 63

Фронтальная проекция такой плоскости представляет прямую, которая одновременно является фронтальным следом р2

плоскости. Фронтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в этой плоскости, совмещены с ее фронтальным следом. Например, фронтальная проекция

треугольника ABC, который находится в плоскости (5, есть прямая линия А^В^С?, совпадающая с fbУгол ф между плоско-

65 показан тот частный случай, когда профильно проецирующая плоскость проходит через ось Ох и делит пополам угол между плоскостями Tli и ГЬ. Профильная проекция такой биссекторной плоскости представляет собой прямую, которая является профильным следом уз плоскости.

Профильные проекции всех точек этой плоскости совмещаются с профильным

(рис. 66). Эта плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций Пг и И3. Фронтальная и профильная проекции такой плоскости б — горизонтальные прямые, совпадающие со своими одноименными следами 62 и 63. Любая фигура, расположенная в плоскости б, на горизонтальную плоскость проекций Hi проецируется без искажения.

5. Плоскость а, параллельная плоскости

Рис. 64

Рис. 65

г

67). Эта плоскость перпендикулярна плоскостям П| и Пз. Горизонтальная и профильная проекции плоскости а — прямые линии, совпадающие со своими одноименными следами о\ и сгз. Любая фигура, расположенная в плоскости а, на фронтальную плоскость проекций Пг проецируется без искажения.

Рассмотренные выше горизонтальная б и фронтальная а плоскости часто называ-

лежащей в такой плоскости, в частном случае может быть точкой,' но и эта точка находится на одноименном следе проецирующей плоскости.

§ 16. ПОСТРОЕНИЕ СЛЕДОВ ПЛОСКОСТИ

Каждый след плоскости представляет собой прямую, для построения которой нуж-

ками, с помощью которых определяется положение следа плоскости, могут быть одноименные следы двух прямых, принадлежащих плоскости.

На рис. 68 показано построение горизонтального следа плоскости а с помощью одноименных, т. е. горизонтальных следов пересекающихся прямых а и Ь, которыми определена плоскость а.

На рис. 69 приведен пример построения следов плоскости, заданной тремя точками.. Горизонтальный след аП1 плоскости

определен горизонтальными следами М и М' прямых АВ и ВС. Фронтальный след а и построен с помощью одноименных сле-

f 17. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ. РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим две основные задачи на взаимную принадлежность точки, прямой и плоскости.

р е с е к а ю щ и м и с я п р я м ы м и т и п (рис. 70).

Воспользуемся основной аксиомой принадлежности, утверждающей, что прямая принадлежит плоскости, если две точки

1г). Одна из двух точек, А или В, может

ной в этой плоскости. На рис. 71 показаны

Рис. 71

проекции прямой I, принадлежащей плоскости а(т[\п). Эта прямая пересекает прямую п в точке А и параллельна прямой т.

зволяют построить только одну проекцию точки, например А2 — фронтальную.

Как найти ее горизонтальную проекцию? Для этого воспользуемся вспомогательной прямой, которую проведем по плоскости а через точку А. Заметим, что таких прямых можно провести через точку А по плоскости а множество.

Одна из них представлена на эпюре. Прежде всего через заданную фронтальную проекцию Аг точки проведена одноименная проекция /2 вспомогательной прямой. Ее проекция построена с помощью точек В к С, в которых прямая / пе-

проекционной связи.

Если же плоскость а — проецирующая, то необходимость обращения к вспомогательной прямой I отпадает. В этом случае горизонтальная проекция Ai точки А должна быть расположена на одноименном следе си плоскости а (рис. 73). Следует иметь в виду, что по горизонтальной проекции В\ точки В в рассматриваемом частном случае расположения плоскости a(a_l_ni) нельзя однозначно определить положение фронтальной проекции Вч. Каждая точка горизонтального следа ai плоскости а может рассматриваться как проекция горизонтально проецирующей прямой т , принадлежащей плоскости a (см. рис. 73). Точно так же каждой точке

Рис. 75

фронтального следа (Ь плоскости 0 (($ _1_Пг) будет соответствовать фронтально проецирующая прямая л (рис. 74).

Отмеченной особенностью проецирующих плоскостей пользуются при определении точек их пересечения с прямой линией (см. § 19).

f 18. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Среди прямых линий, которые могут быть расположены в данной плоскости, особое место занимают прямые четырех направлений.

горизонтальной плоскости проекций (рис. 75). Фронтальная проекция горизонтали как линии, параллельной плоскости Пь— горизонтальна.

мые, которые находятся в данной плоскости и параллельны плоскости Пз (рис. 77).

4. Л и н и и н а и б о л ь ш е г о с к а т а — прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно горизонталям (рис. 78 и 79).

Перечисленные прямые называют г л а в н ы м и л и н и я м и п л о с к о с т и .

На любой плоскости можно провести множество главных линий.

4

Рис. 76

Все линии четырех направлений образуют плоские пучки параллельных прямых, т. е. все горизонтали плоскости параллельны между собой, все фронтали плоскости также параллельны друг другу и т. д.

Следует заметить, что следы плоскости, рассмотренные ранее (см. § 16), можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след — это горизонталь плоскости, фронтальный — фронталь- и профильный — профильная линия плоскости.

На рис. 78 по плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми — горизонталью h и фронталью f , через точку

Рис. 78

А этой плоскости проведена линия наи-

если по определению линии наибольшего ската угол ABC — прямой, а сторона h этого угла параллельна плоскости проекций П1, то этот прямой угол должен проецироваться на плоскость Иi без искажения (см. § 13), т. е. m-LAi. Построение проекций линии наибольшего ската на эпюре показано на рис. 79, где сначала перпендикулярно h\ была построена горизонтальная проекция линии наибольшего ската — п\.

y4BfMi-LIIi и она же перпендикулярна плоскости ABC).

С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоско-

установить, лежит ли эта точка в данной плоскости. Проведем по плоскости горизонталь ft1 на том же уровне, на котором расположена точка А. Фронтальная проекция горизонтали пройдет через Лг перпендикулярно линии связи, а горизонтальная проекция h\ — параллельно горизонтальной проекции горизонтали h данной плоскости {fflh).

Горизонтальная проекция A i точки А оказалась вне одноименной проекции прямой. Следовательно, точка А не лежит

вданной плоскости.

§19. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.

приходится через данную точку А проводить плоскость р, параллельную данной плоскости а.

На рис. 81 плоскость а задана двумя пересекающимися прямыми а и Ь. Искомая плоскость р определена прямыми а1 и 6', соответственно параллельными а и b и проходящими через заданную точку А1.

2. Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточ-

Перед тем как рассмотреть построение линии пересечения двух плоскостей, разберем важную и вспомогательную задачу: найдем точку К пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью.

Пусть, например, даны прямая а и гори-

Рис. 81

Рис.131Рис.132Рис.133

плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких

сти, плоскости уровня. На рис. 86 первая вспомогательная плоскость уровня у каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям Л и А1, которые определяют точку 1, общую для плоскостей а и р , а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость 6, например, также параллельную III, получим еще одну точку — 2, общую плоскостям а и р . Эта точка опре-

кость 6 пересекает каждую из данных плоскостей.

Описанный метод применен для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая — тремя точками (рис. 87). С помощью вспомогательной плоскости v найдена точка / как точка, в которой пересекаются горизонтали А и А1. Точно так же с помощью плоскости б определена вторая точка — 2.

Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задаю-

щие плоскость, что и сделано на рис. 88, где построена линия 1—2 пересечения плоскостей а (ДЛВС) и р (bbEF). Точка 1 этой линии определена с помощью фронтально проецирующей плоскости у, проведенной через сторону DE треугольника DEF. Именно эта сторона, проекции которой заданы, и является линией пересече-

ния плоскости треугольника DEF и у

(D £ = pflv).

Упрощение графического решения в том и состоит, что не нужно чертить эту прямую, входящую в число элементов, задающих плоскость р.

Та же плоскость у пересечет второй треугольник ABC по прямой KL (KL = yПа).

прямых определяет точку 2. Причем ее

К детальному рассмотрению этой важной задачи приступим в § 22.

$ 20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости:

прямая принадлежит плоскости; прямая параллельна плоскости; прямая пересекает плоскость.

Первому случаю был посвящен § 17, в котором рассматривалась одна из основных графических операций — построение прямых линий, принадлежащих плоскости. Критерием этого случая является извест-

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или

через прямую а (рис. 89) проводят вспомогательную плоскость у и устанавливают относительное положение двух прямых а и я, последняя из которых является линией

Рис. 89

Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости а, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая а пересекает плоскость а. Два последних случая требуют более подробного изучения.

| 21. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стерео-

Следуя методике, изложенной в предыдущем параграфе, оценим взаимное положение прямой а и плоскости, представлен-