n1 / n1

точки А до прямой /. Искомыйотрезок АК должен быть перпендикулярен этой прямой, а так как в первых двух случаях I параллельна плоскости П2, то на эту плоскость прямой угол между А К и / проецируется без искажения. Но так как в первом случае / Х Ш , то отрезок АК, перпендикулярный /, окажется параллельным Пь и горизонтальная проекция его будет определять искомое расстояние.

На рис. 115 и 116 удалось построить только проекции искомого отрезка. В последнем случае это построение выглядит сравнительно громоздким. Действительно,

показывает, что трудность решения одной

итой же задачи существенно зависит от задаваемых проекций. Последние же определяются положением геометрических фигур относительно плоскостей проекций П1

иП2.

Значит, чтобы от двух последних случа-

ев перейти к первому, нужно, сохранив взаимное расположение заданных точки и прямой, изменить их положение относительно плоскостей проекций. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: в р а щ е н и я или з а м е н ы п л о с - к о с т е й п р о е к ц и й .

Способ вращения заключается в том, что положение данной геометрической фигуры относительно неподвижных плоскостей проекций изменяют посредством поворота ее вокруг некоторой оси.

Наоборот, применяя способ замены плоскостей проекций, данную геометрическую фигуру оставляют неподвижной. Новые плоскости проекций устанавливают так, чтобы получаемые на них проекции обеспечивали рациональное решение рассматриваемой задачи, причем каждая новая система плоскостей проекций должна быть системой ортогональной.

Область применения способов преобразования проекций не ограничивается только метрическими задачами. В дальнейшем будут показаны примеры их использова-

что к позиционным задачам относятся задачи на пересечение и взаимную принадлежность геометрических фигур, к конструктивным — задачи на построение геометрических фигур, отвечающих наперед заданным условиям.

§ 29. ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Преобразование проекций некоторой геометрической фигуры, выполняемое с помощью способа замены плоскостей проекций, связано с преобразованием проекций точек, принадлежащих данной фигуре. Рассмотрим поэтому прежде всего, какие изменения претерпевают проекции отдельной точки при переходе от одной системы ортогональных плоскостей проекций к другой. На рис. 117 показана точка

Рис. 131Рис.132Рис.133

А, заданная в системе плоскостей проекций II1/II2. Заменим одну из них, например Пг, другой, также вертикальной плоскостью П4, и построим новую фронтальную проекцию точки на эту плоскость. Так как горизонтальная плоскость проекций П| является общей для «старой» и «новой» сис-

этом точка Ai определена как основание перпендикуляра, опущенного из А на П4. Что же касается горизонтальной проекции At, то она останется прежней, а координата у точки А будет теперь иной. Эта координата определяется расстоянием от точки А до плоскости П4, которое на эпюре равно расстоянию от проекции А\ до новой оси Хц. Последняя же в данном примере проведена произвольно.

Для получения эпюра плоскость Ш вращением вокруг хц совмещается с П|. Совместится с П1 и новая 'фронтальная проекция А4 точки А, которая окажется на

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций П| плоскостью П4) также перпендикулярной П2 (рис. 119). На этот раз не изменится величина координаты у, которая определяет расстояние от точки В до общей для двух систем плоскости Пг. Поэтому расстояние от новой «горизонтальной» проекции точки до новой оси *24 равно расстоянию от точки В\ до оси *i2, т. е. ВаВц = В\В\2.

При построении новой проекции точки на эпюре (рис. 120) из В2 опущен перпендикуляр на новую ось хц, на котором от точки. В24 отложен отрезок В^Вц, равный координате ув-

Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей. Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее пра-

Рис. 118

п2 v

в*

? '

Рис. 119

Рис. 120

JE24 предыдущей была х\2 и потому В*Вц = = В\В\г, а при переходе от системы Пг/П4 к П4/П5 новой осью стала х4б, по отношению к которой ось является предыдущей. К этому остается добавить, что при всех эпюрных построениях разноименные проекции точек должны быть расположены на общих перпендикулярах к соответствующим осям.

§ 30. РЕШЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Все метрические и позиционные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций, можно свести к одной из следующих четырех.

Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

На рис. 121 показана прямая а, которая в системе П1/П2 является прямой общего положения.

Для решения задачи взята новая плоскость П*, отвечающая двум условиям: П4-1-П| и П4||а. В системе П4/П1 прямая а стала фронталью, а потому xullai. На плоскость П4 без искажения проецируются и отрезок АВ прямой, и угол (р. Решение этой задачи на эпюре дано на рис. 122, где параллельно а\ проведена ось хц и в со-

ответствии с приведенным выше правилом построена новая фронтальная проекция отрезка А^ВА- Эту же задачу можно решить и заменой горизонтальной плоскости

хц, равен углу наклона прямой АВ к плоскости П2. Отметим одну особенность рассматриваемого примера. Так как преобразуемые, в нашем случае — горизонтальные, проекции концов отрезка расположены по разные стороны от оси х\2, то и новые проекции этих точек, At и В4, должны быть по разные стороны от новой оси х24. Объясняется это тем, что ул>0,

аУв<0.

Задача 2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения оказалась перпендикулярной одной из плоскостей проекции новой системы. Другими словами, в новой системе прямая а (рис. 124) должна стать проецирующей.

Преобразование одной из проекций прямой а общего положения в точку требует двойной замены плоскостей, так как в системе П2/П1 плоскость, перпендикулярная а, не будет ортогональной ни П2, ни Ш.

При переходе от системы П|/П2 к системе П)/П4 плоскость П4 располагают перпендикулярно П1 и параллельно прямой а, т. е. решают первую задачу, рассмотренную выше.

При второй замене новую плоскость П5

Рис. 124

располагают перпендикулярно прямой а. Этим самым будет обеспечено и условие ортогональности П4/П5. Ось х45 построена перпендикулярно а4.

На плоскости П5 прямая а изобразится точкой. Итак, в системе Н4/П5 прямая а стала проецирующей относительно плоскости П5.

Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей.

Пусть плоскость общего положения задана тремя точками А, В, С (рис. 125). Для решения поставленной задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно треугольнику ABC и одной из плоскостей проекций. Значит, новая плоскость должна быть перпендикулярна линии пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций. При этом нет необходимости строить такую линию, так как ее направление можно установить с помощью главной линии плоскости.

Рис. 126

Вот почему в заданной плоскости прежде всего проводят одну из главных линий, например горизонталь АН. Эта горизонталь нужна для ориентировки новой плоскости проекций П4.

Расположив Щ - L/l/f, мы обеспечиваем выполнение сразу двух условий: новая плоскость П4 будет перпендикулярна и П|, и. плоскости треугольника. Новую ось хц проводят под прямым углом к А\Н\. Проведя через горизонтальные проекции вершин треугольника прямые, перпендикулярные новой оси, откладывают на этих прямых от xi4 отрезки, равные ГA, ZB И ZC• Так получается новая фронтальная проекция A^BiCi треугольника ABC, представляющая собой прямую линию. Заметим, что на плоскость П4, которая перпендикулярна треугольнику и Пь без искажения проецируется угол <р, образованный треугольником с ПЛОСКОСТЬЮ П|.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 126, где плоскость П1 заменена плоскостью П4, перпендикулярной Пг и треугольнику ABC. Для этого в плоскости треугольника была проведена фронталь AF, перпендикулярно которой и располагается плоскость П4. Новая ось х24 выбрана перпендикулярно A2F2. Плоскость треугольника относительно П4 стала проецирующей. На плоскость П4 без искажения проецируется угол t|> наклона треугольника к фронтальной плоскости проекций П2.

Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

Пусть дан треугольник ABC в плоскости

§31. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

1.Вращение точки. Точка А, вращаясь вокруг оси /, опишет окружность,' плоскость которой а перпендикулярна г (рис.

плоскостью а (в которой вращается точка), а радиус R определится как расстояние от точки А до оси вращения. Если плоскость проекций параллельна оси г, то проекция вращающейся точки на эту

Рис. 129

Рис. 130

плоскость представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции оси на ту же плоскость.

ние точки А, вращающейся вокруг оси i_L _L Hi. В этом случае точка перемещается по окружности, плоскость которой параллельна П1. На плоскость П1 эта окружность проецируется без искажения, а на

жена перпендикулярно плоскости Пг (рис. 132), то горизонтальная проекция точки будет перемещаться по. прямой, перпендикулярной линиям связи, а фронтальная — по окружности. На рис. 131 и 132 через А1 обозначено новое положение точки А, которое она занимает после поворота на угол «р.

В качестве следующего примера рассмотрим вращение точки вокруг оси, параллельной плоскости П| и не перпендикулярной Пг или Пз (рис. 133). Горизонтальная проекция А] точки А и в этом

Рис. 133

случае будет перемещаться по прямой, перпендикулярной проекции i\ оси вращения i.

В самом деле, ось i параллельна П) и перпендикулярна плоскости а, в которой вращается точка А. Следовательно, плос-

в виде прямой, совмещенной со следом oci.

2R. Меньшая ось построена с помощью точек 3 И 4, являющихся концами того диаметра окружности, что расположен параллельно плоскости Пь и проецируется на Hi без искажения.

Что касается точек Лг, Аг и Л|, то при их построении были использованы свойства осевой и центральной симметрии эллипса.

Аналогично вращают Точку вокруг фронтали.

2. Вращение отрезка. Пусть заданы отрезок АВ и ось вращения <', перпендикулярная плоскости П] (рис. 134).

Для того чтобы построить проекции отрезка, повернутого вокруг оси i на угол ф, достаточно определить новое положение двух его точек, например Л и В. При построении новых горизонтальных проекций было выполнено условие <£A\i\A\ =

=<BxhB\.

Фронтальные проекции точек А и В перемещаются по горизонтальным прямым, перпендикулярным линиям проекционной связи. Они определены пересечением этих прямых с линиями связи, проведенными через точки А\ и В\.

Замечая, что ДЛ \i\B\ = ДЛ|<1В| (по двум сторонам и заключенному между ними углу), делаем вывод о равенстве их высот,

т. е. i\Ci=i]C\. Используя это равенство, тот же поворот отрезка АВ можно осуществить следующим образом (рис. 135):

1) из точки i 1— горизонтальной проекции оси вращения — опустить перпендикуляр i\C\ на А\В\\

2)этот перпендикуляр повернуть на угол ф в заданном направлении в положение t'iC|;

3)через точку С| провести прямую, перпендикулярную йС\;

4)при пересечении построенной прямой дугами радиусов г'|Л) и иВ\ получить точки

Лi и В1;

§ 32. РЕШЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ВРАЩЕНИЯ

Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения после

быть параллельна оси х\2, а если этой оси на эпюре нет, то одна из проекций прямой должна пересекать линии проекционной связи под прямым углом. Следовательно, решая задачу — расположить прямую а параллельно Пг, придется повернуть горизонтальную проекцию щ так, чтобы она стала перпендикулярна линиям связи.

Для реализации такого поворота ось вращения i нужно выбрать перпендикулярно плоскости П,. На рис. 136 и 137 ось проведена через точку Л е а , которая при вращении прямой будет неподвижна. Что касается любой другой точки В (В^.а), то она и ее горизонтальная проекция опишут дуги окружности. Угол поворота точки

Рис. 137

В определяется условием перпендикулярности новой проекции а\ прямой а к линии проекционной связи. В результате такого поворота на плоскость Щ б е з и с к а ж е - н и я п р о е ц и р у ю т с я и о т р е з о к АВ, и у г о л ф, который прямая а составляет

сплоскостью Пь Вращением вокруг оси, перпендикуляр-

ной плоскости Пг, прямую а можно повернуть до положения, параллельного плоскости П1 (рис. 138). В этом случае фронтальная проекция прямой после ее поворота должна быть перпендикулярна линиям проекционной связи. На плоскость П| б е з и с к а ж е н и я п р о е ц и р у ю т с я о т р е -

Итак, одним поворотом вокруг проецирующей прямой (оси) прямую общего положения можно расположить параллельно одной из плоскостей проекций.

Задача 2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения в результате вращения стала проецирующей прямой.

Достигается это двойным поворотом прямой а вокруг двух различных осей (рис. 139*).

Первый поворот на угол ф сделан вокруг оси, которая проходит через точку А прямой перпендикулярно П1. Пряйая а приведена в положение, параллельное плоскости П2. Этому положению прямой соответствуют проекции а! и oj. Второй поворот на угол осуществлен около оси, перпен-

* На рис. 139, а также на большинстве последующих, оси, вокруг которых вращают отрезки, не изображены. Но об осях вращения следует помнить и четко представлять их ориентировку относительно плоскостей проекций.

дикулярной плоскости П2 и также проходящей через точку А. В итоге фронтальная проекция al прямой оказалась вертикальной, а горизонтальная а? — превратилась в точку. Сама же прямая заняла положение, перпендикулярное плоскости Пь

Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения после поворота стала проецирующей.

Рассмотрим преобразование плоскости ЬАВС во фронтально проецирующую (рис. 140).

Известно, что отличительным признаком такой плоскости на эпюре является перпендикулярность горизонтальной проекции Ai ее горизонтали к оси х или, что то же, параллельность h\ линиям связи.

Вот почему по плоскости треугольника ABC прежде всего проведена горизонталь

Пересекая ось вращения, одна повернутая горизонталь не определяет нового положения плоскости треугольника. Поэтому вслед за ней на тот же угол \|> повернуты вершины А и В. Фронтальная проекция треугольника превратилась в прямую линию. Она образует с горизонтальной линией угол ф, равный углу наклона ABC к плоскости П|.