В изоляции кабелей нет свободных зарядов, поэтому
2U |
|
2U |
|
2U |
0 или |
2U 0 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||||
|
|
|
|
Это уравнение называется уравнением Лапласа.
Распределение напряженности электрического поля по толщине изоляции в кабеле переменного тока
Изоляция однородна (
εx ε y εz ε)
Объемные заряды отсутствуют ( = 0).
,
Необходимо найти распределение напряжения U и напряженности E электрического поля между жилой и экраном. Воспользуемся уравнением Лапласа в цилиндрической системе координат:
Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат:
1 |
|
|
U |
|
1 |
2U 2U |
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
r |
r2 |
|||||||
r r |
|
|
2 |
z2 |
|
|||||
1 r U 0. r r r
1 |
|
|
U |
0, |
r |
U |
A. |
|||||||||||||
r |
|
r |
r |
|
|
r |
||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
r |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
2 |
dr. 0 U0 |
|
A ln |
r2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U0 |
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dU |
|
|
|
U0 |
|
|
|
dU |
|
|
U0 |
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
. |
dr |
|
|
|
, |
||||||||
|
dr |
ln(r |
r ) |
r ln(r |
r ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
E |
|
U0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r ln(r |
r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU Ar dr,
A |
U0 |
|
. |
ln(r |
r ) |
||
2 |
1 |
|
|
E ddUr ,
E |
U0 |
|
. |
r ln(r |
r ) |
||
2 |
1 |
|
|
Emax |
U0 |
|
, |
|
r1 ln(r2 |
r1) |
|||
|
|
Emin |
U0 |
|
. |
|
r2 ln(r2 |
r1) |
|||
|
|
Распределение напряжения по толщине изоляции в кабеле переменного тока
dU |
|
|
U0 |
|
, |
|
|
|
|
|||
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln(r |
r ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
0 |
r dr |
|
|
|||
dU |
|
|
r |
, |
|
|||||||
ln(r |
r ) |
|
||||||||||
U0 |
|
|
|
|
2 |
1 |
r1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U U 0 |
|
|
U 0 |
|
ln |
r |
. |
|||||
ln(r2 r1) |
r1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dU |
U0 |
|
dr, |
r ln(r |
r ) |
||
2 |
1 |
|
|
U |
|
U0 |
|
r |
|
|
U| |
|
|
|
ln r| |
, |
|
ln(r |
r ) |
|||||
U0 |
|
r |
|
|||
|
|
2 |
1 |
1 |
|
U U |
|
|
|
ln(r r1) |
|
||
0 |
1 |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
ln(r |
r ) |
|
||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
U U |
|
|
|
ln(r r1) |
|
||
0 |
1 |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
ln(r |
r ) |
|
||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
Расчет толщины изоляции кабеля переменного тока с круглой жилой и цилиндрическим экраном
Определим, при каком соотношении радиусов r2/r1
напряженность электрического поля на токопроводящей жиле Eж будет наименьшей. Для этого необходимо взять
производную по r2/r1 и приравнять ее к нулю. Обозначим r2/r1 через x и Emax через Eж – напряженность электрического поля на жиле. Умножим на r2 числитель и знаменатель уравнения
Emax Eж |
U0 |
|
r2U0 |
|
|
|
|
|
|
||
r1 ln r2 |
Eж r r ln(r |
r ) . |
|||
|
r1 |
2 1 2 |
1 |
|
|
Заменим отношение радиусов r2/r1 |
E |
max |
Ux . |
||
на x: |
|
|
r2 ln x |
|
|
|
|
|
|||
Продифференцируем выражение по x и приравняем его к нулю для нахождения минимума функции:
, |
d |
Ux |
|
U |
|
d |
|
|
x |
|
U ln x 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
r2 |
(ln x)2 |
|
|||||
|
dx r2 ln x |
|
dx ln x |
|
|||||||||||
U |
ln x 1 |
|
ln x 1 0 |
|
r2 |
(ln x)2 |
0 |
||
|
ln x 1 |
x = e1 , r2/r1 = e . |
