ОСНОВЫ КАБЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В КАБЕЛЕ
Для расчета электрического поля в кабеле применим теорему Остроградского – Гаусса, которая в интегральной форме имеет вид
N Dds q
s
т.е. поток (N) вектора электрического смещения (D) через замкнутую поверхность (S) равен сумме зарядов (q), расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.
Теорема Остроградского – Гаусса связывает значения вектора электрического смещения в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой поверхностью. Можно придать этой теореме такую форму, чтобы в нее входили величины, относящиеся к одной и той же точке поля.
Введем прямоугольную систему координат x, y, z и обозначим вектор электрического смещения в некоторой точке a(x, y, z) через
D(Dx, Dy, Dz).
Поток через плоскость dydz (заштрихована), проходящую через точку a, есть – Dxdydz
(знак минус поставлен потому, что внешняя нормаль к плоскости dydz и
положительное направление |
вектора |
Dx составляют угол = и |
cos = |
–1). |
|
Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль оси x на dx, есть
N |
|
|
|
|
|
D |
x dx |
|
x |
D |
x |
|
dydz. |
||||
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Поток через обе грани
|
Dx |
|
Dxdydz |
Dx |
dxdydz |
Dx |
dV |
Dx |
x |
dx dydz |
x |
x |
|||
|
|
|
|
|
|||
где |
dV dxdydz |
– |
|
объем |
|
|
|
|
|
|
параллелепипеда. |
|
|
||
Вычисляя аналогичным образом потоки через другие две пары граней и складывая их, мы получаем полный поток через всю поверхность параллелепипеда:
|
|
|
D |
y |
|
|
|
N |
Dx |
|
|
Dz |
dV . |
||
|
|
||||||
|
|
x |
y |
z |
|
||
|
|
|
|||||
Если в рассматриваемом пространстве имеется распределенный в объеме заряд с объемной плотностью , то величина заряда, содержащегося в объеме параллелепипеда, равна dV. Приравняв поток вектора D к заряду
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q Q dV |
|||||||
|
|
|
|
|
|
N |
Dds |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
D |
|
|
D |
y |
|
D |
|
||
Dx |
|
y |
|
Dz |
dρdV V |
или |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z ρ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
z |
|
x |
|
|
y |
|
z |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Это соотношение, выражающее теорему Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона – div D =
Используя выражение D εε0E , получим
(ε ε |
E |
|
) |
|
(ε ε |
E |
y |
) |
|
(ε ε |
E |
|
) |
|
0 x |
|
x |
|
|
0 y |
|
|
|
0 z |
|
z |
|
ρ. |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Если диэлектрическая проницаемость не зависит от координат
x y z , то уравнение Пуассона примет вид
Ex Ey Ez ρ .x y z εε0
Нам предстоит решать общую задачу электростатики, т.е. по заданной форме проводников, их расположению и значению их потенциалов находить значение потенциалов в любой точке между проводниками. Математически эта задача сводится к следующему. Составляющие напряженности поля E по координатам можно выразить через потенциал:
E grad U
или |
U , |
|
U |
|
|
U . |
Ex |
Ey |
, |
Ez |
|||
|
x |
|
y |
|
|
z |
Ex |
U |
Ey |
U |
Ez |
U . |
|
x |
|
y |
|
z |
2U 2U 2U ρ .
x2 y2 z2 εε0