Вопросы для самоконтроля по кинематике

1. Векторный способ задания движения точки. Определение скорости при векторном способе задания движения точки.

2. Векторный способ задания движения точки. Определение ускорения точки.

3. Координатный способ задания движения точки. Определение траектории и скорости точки (величины и направления).

4. Координатный способ задания движения точки. Определение ускорения точки (величины и направления).

5. Естественный способ задания движения точки. Определение скорости точки.

6. Естественный способ задания движения точки. Касательное, нормальное, полное ускорения (физический смысл, величина, направление).

7. Поступательное движение твердого тела (определение). Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела. Задание движения тела.

8. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (определение). Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Определение характера вращения тела.

9. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

10. Угловая скорость тела как вектор.

11. Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное движения точки (определения).

12. Составное движение точки. Переносная, относительная, абсолютная скорости точки (определения). Теорема сложения скоростей.

13. Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное ускорения точки (определения). Теорема сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса).

14. Определение величины и направления ускорения Кориолиса. Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса.

15. Плоскопараллельное (плоское) движение тела (определение). Уравнения движения тела. Разложение движения на простые. Независимость угловых параметров от выбора полюса.

16. Определение абсолютной скорости точки тела методом полюса при плоском движении тела. Теорема о проекциях скоростей точек тела на прямую, проходящую через эти точки.

17. Мгновенный центр скоростей тела, совершающего плоское движение (определение). Нахождение мгновенного центра скоростей тела.

18. Мгновенный центр скоростей тела; определение абсолютной скорости любой точки тела; определение угловой скорости тела при плоском движении тела.

19. Частные случаи нахождения мгновенного центра скоростей тела при плоском движении тела.

20. Определение абсолютного ускорения точки тела методом полюса при плоском движении тела.

Динамика

Динамика изучает движение материальных точек и механических систем с учетом сил, которые влияют на это движение.

Задача д1 (тема: “Динамика точки”)

Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубеАВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке AB пренебречь.

В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x = x(t), где х = BD.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Динамика материальной точки».

1. Сформулируйте основные законы динамики материальной точки (Галилея – Ньютона).

2. Запишите дифференциальные уравнения движения точки в векторной и координатной формах.

3. Повторите раздел кинематики: векторный и координатный способы задания движения точки.

4. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики точки: постановка каждой задачи и ее решение.

Динамика точки (краткие сведения из теории) Второй закон динамики точки в инерциальной системе отсчета: , (1) где m – масса точки, – абсолютное ускорение точки, – векторная сумма сил, действующих на точку (равнодействующая). Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Спроектировав (1) на оси декартовой системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме: , ,, (2) где и т.д. Первая задача динамики точки: заданы уравнения движения точки в координатной форме (см. задачу К1) , , ; (3) найти силу , действующую на точку. Решение: получив дифференциальные уравнения (2), дифференцируем заданные функции (3), подставляем в (2), находим , , и . Вторая задача динамики точки (основная): задана сила , действующая на точку; найти кинематические уравнения движения (3) точки. Решение: составив уравнение (1) и спроектировав его на оси, получим уравнения (2). Добавив начальные условия (при ),,,,,проинтегрируем (2) и найдем (3).

Рис. Д1.0 Рис. Д1.1 Рис. Д1.2 Рис. Д1.3 Рис. Д1.4 Рис. Д1.5 Рис. Д1.7 Рис. Д1.8 Рис. Д1.9
Рис. Д1.6

Таблица Д1

Номер условия	m, кг	, м/с	Q, H	R, H	l, м	t1, с	Fx, H
0	2	20	6	0,4V	-	2,5	2sin(4t)
1	2,4	12	6	0,8V 2	1,5	-	6t
2	4,5	24	9	0,5V	-	3	3sin(2t)
3	6	14	22	0,6V 2	5	-	-3cos(2t)
4	1,6	18	4	0,4V	-	2	4cos(4t)
5	8	10	16	0,5V 2	4	-	-6sin(2t)
6	1,8	24	5	0,3V	-	2	9t2
7	4	12	12	0,8V 2	2,5	-	-8cos(4t)
8	3	22	9	0,5V	-	3	2cos(2t)
9	4,8	10	12	0,2V 2	4	-	-6sin(4t)

Указания. Задача Д1 – на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение первой и второй задач динамики точки). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке AB, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдоль AB, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС.

После этого нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке BC и спроектировать это уравнение на две координатные оси, направленные вдоль BC и перпендикулярно BC. Так как в первое полученное уравнение входит сила трения , то нужно сначала найти нормальную реакцию N из второго уравнения (первая задача динамики точки). Затем нужно подставить найденное значение N в первое уравнение и проинтегрировать это уравнение с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении от переменных , t к переменным , х, учитывая, что

.

Рис. Д1

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки А, где V = V0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F (t), заданная в ньютонах. Дано: т=2 кг, R = V 2, где  = 0,4 кг/м, V0 = 5 м/с, l = 2,5 м, Fх = 16 sin (4t). Определить: х = f (t) – закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и приложенные к нему силы и. Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

. (1)

Проводим ось Az в сторону движения точки и проектируем (1) на эту ось:

, (2)

где учтено, что , . Подчеркнем, что в уравнении (2) все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учитывая, что и делая замену , получим уравнение

. (3)