Разделим обе части (3) наm и введем обозначение

.

Тогда уравнение (3) приобретает вид

. (4)

Решим уравнение (4). Разделим переменные V иz, выполнив два действия: обе части (4) умножим наdz и разделим на; получим:

.

Интегрируя это уравнение, найдем:

. (5)

Находим C₁. Подставим в (5) начальные условия: ,,.

.

Найденное выражение для C₁подставляем в (5):

,

или

и .

Отсюда

. (6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2,5 м, ,, е = 2,7 и подставляя ранее найденное k = 0,2 м ^-1, определим скорость груза в точке В:

(7)

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью (). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы (активные и реакции связей): Запишем дифференциальное уравнение движения груза в векторной форме:

. (8)

Проведем из точки В оси Вх (в сторону движения точки) и Вy и проектируем (8) на ось Вх:

, (9)

где учтено, что , ,. СилаN неизвестна; следовательно, прежде чем интегрировать (9), найдем N, решив первую задачу динамики точки. Для этого спроектируем векторное уравнение (8) на ось Вy:

. (10)

Учтем, что движение точки происходит по прямой, и, следовательно, . Тогда из (10) получаем . Подставим этот результат в (9):

Подставим в это уравнение заданные численные значения (чтобы избежать громоздкой записи). Тогда получим

(11)

Решим уравнение (11). Разделим переменные V_x и t. Умножим обе части (11) на dt:

;

интегрируя, найдем

(12)

Находим C₂. Подставим в (12) начальные условия: ,, гдедается равенством (7). Найденное значениеС₂ = 8,4 подставляем в(12):

.

Так как , то

. (13)

Решим уравнение (13). Разделим переменные x и t. Умножим обе части (13) на dt:

;

интегрируя, найдем

(14)

Находим C₃. Подставим в (14) начальные условия: ,. Найденное значениеС₃ = 0 подставляем в(14):

.

Ответ: , где х – в метрах, t – в секундах.

Задача д2 (тема “Теорема о движении центра масс системы”)

Механическая система состоит из грузов D₁ массой m₁ = 2 кг и D₂ массой m₂ = 6 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массой m₃ = 2 кг, движущейся вдоль горизонтальных гладких направляющих (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t₀ = 0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r = 0,4 м и R = 0,8 м.

При движении грузов угол изменяется по закону, а угол – по закону. В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для рис. 0-4 и 5-9, где  выражено в радианах, t – в секундах.

Считая грузы материальными точками, определить закон изменения со временем величины, указанной в таблице в столбце “Найти”, т.е. и , где x₃ – координата центра C₃ плиты (– закон движения плиты), N – полная нормальная реакция направляющих.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему «Теорема о движении центра масс». Ответьте на вопросы:

1. Что называется механической системой? Понятие о внешних и внутренних силах, действующих на точки системы.

2. Что такое центр масс системы? Запишите формулы для координат центра масс системы.

3. Сформулируйте теорему о движении центра масс и запишите уравнение движения центра масс системы в векторной и координатной формах.

4. Запишите условия, при которых координата центра масс остается постоянной.

Таблица Д2

Номер Условия	Рис. 0-4		Рис.5-9		Найти
0					x3
1					N
2					x3
3					N
4					x3
5					N
6					x3
7					N
8					x3
9					N

Рис. Д2.0	Рис. Д2.1
Рис. Д2.2	Рис. Д2.3
Рис. Д2.4	Рис. Д2.5
Рис. Д2.6	Рис. Д2.7
Рис. Д2.8	Рис. Д2.9

Теорема о движении центра масс системы (краткие сведения из теории) Основные понятия Механической системой называется множество взаимодействующих точек и тел. Центром масс системы называется геометрическая точка C, декартовы координаты которой равны , , , где , , – координаты точки системы, – масса точки, –масса системы. Силы взаимодействия точек системы называются внутренними силами; они обозначаются . Силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в систему, называются внешними силами; они обозначаются . Свойства внутренних сил: главный вектор , главный момент . Дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме , (1) где M – масса системы, –абсолютное ускорение центра масс системы, –векторная сумма внешних сил, действующих на точки системы. По форме уравнение (1) совпадает с дифференциальным уравнением движения материальной точки итеорема о движении центра масс системы формулируется следующим образом: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действуют силы, приложенные к точкам системы. Следовательно, применяя эту теорему, можно решать две задачи динамики, аналогично задаче Д1.

Частные случаи (законы сохранения движения центра масс). а) Из уравнения (1) следует: если внешние силы таковы, что ,то и, следовательно, ;это означает, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно. б) Записав уравнение (1) в проекции на ось, получим . (2) Частный случай: если выполнены одновременно два условия и при, то – координатацентра масс системы остается постоянной и равной своему начальному значению , где – координата центра масс в произвольный момент времени, – координата центра масс в начальный момент времени.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы о движении центра масс системы. При решении этой задачи следует составить дифференциальное уравнение движения центра масс системы в векторной форме. Для определения следуетcпроектировать это уравнение на горизонтальную ось x (решаем вторую задачу динамики), а для определения N – на вертикальную ось y (решаем первую задачу динамики).

Рис. Д2

Пример Д2. Механическая система состоит из грузов D1 массой m1 и D2 массой m2 и из прямоугольной вертикальной плиты массой m3, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени t0=0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представ-ляющим собой окружности радиусов r и R, по законам и.

Дано: m₁ = 6 кг, m₂ = 8 кг, m₃ = 12 кг, r = 0,6 м, R = 1,2 м, , (t – в секундах).

Определить: – закон движения плиты, – закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и грузов D₁ и D₂ в произвольном положении (рис. Д2). Изобразим на рисунке действующие на систему внешние силы: силы тяжести , , и реакцию направляющих . Запишем уравнение движения центра масс системы в векторной форме:

. (1)

Проведем координатные оси Oxy так, чтобы ось y проходила через точку C₃₀, где находился центр масс плиты в момент времени t₀=0.

а) Определение перемещения x₃(t) (вторая задача динамики). Для определения спроектируем уравнение (1) на осьx. Получим

или, (2)

так как все внешние силы перпендикулярны оси x и поэтому .

Отметим также, что при. Поэтому, интегрируя дважды уравнение (2), получим:

(3)

(закон сохранения координаты центра масс системы). Из (3) следует, что

. (4)

Определим значение . Координата x_C центра масс системы определяется по формуле

. (5)

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно , . Подставляя эти выражения в формулу (5) и учитывая заданные зависимости иотt, получим

. (6)

Определим значение . Подставляя в (6) t=0, x₃(0)=0, получим

. (7)

В соответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):

.

Отсюда получаем зависимость от времени координаты x₃.

Ответ: м, где t – в секундах.

б) Определение реакции N (первая задача динамики). Для определения спроектируем векторное уравнение (1) на вертикальную осьy (см. рис. Д2):

или. (8)

Отсюда получим, учитывая, что P₁=m₁g, и т.д.:

, (9)

где пока неизвестно. Для нахождения определим сначала. Координата y_C центра масс системы определяется по формуле

. (10)

Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно , , а .

51