Задача д9 (тема: “Малые линейные колебания консервативной системы с одной степенью свободы”)

Механическая система, расположенная в вертикальной плоскости (рис. Д9.0 – Д9.9), состоит из ступенчатых колес 1 и 2 (однородные цилиндры) с радиусами R₁=0,4 м, r ₁=0,2 м, R₂=0,5 м, r ₂=0,3 м, имеющих неподвижные оси вращения; однородного стержня 3 длиной l=1,2 м, закрепленного шарнирно на одном из концов; грузов 4 и 5, подвешенных к нитям, намотанным на колеса. Расстояние AB=2l/3. Стержень 3 соединен с колесом 2 невесомым стержнем 6. Колеса 1 и 2 или находятся в зацеплении (рис. 0 – 4), или соединены невесомым стержнем 7 (рис. 5 – 9). К колесам и стержню 3 прикреплены пружины.

В табл. Д9 заданы массы m_i тел (кг) и жесткости c_i пружин (H/м). Прочерки в столбцах таблицы означают, что соответствующие тела или пружины в систему не входят (на чертеже эти тела и пружины изображать не следует). Стержень 6 или 7 входит в систему, только если в него входят оба тела, соединенные этим стержнем. В результате в каждом конкретном варианте получается механизм, содержащий три или два тела.

В положении, изображенном на рисунке, система находится в равновесии. Требуется найти а) круговую частоту малых колебаний системы около этого положения равновесия; б) статическую деформацию пружины в этом положении равновесия.

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Малые линейные колебания консервативной механической системы с одной степенью свободы». Ответьте на вопросы:

1. Какая механическая система называется консервативной?

2. Что называется числом степеней свободы системы?

3. Какой вид имеет кинетическая и потенциальная энергия консервативной системы, совершающей малые колебания?

4. Как записывается дифференциальное уравнение малых колебаний?

5. Что такое круговая частота колебаний?

Рис. Д9.0

Рис. Д9.1

Рис. Д9.2	Рис. Д9.3
Рис. Д9.4	Рис. Д9.5
Рис. Д9.6	Рис Д9.7
Рис. Д9.8	Рис. Д9.9

Таблица Д9

Номер условия	m1	m2	m3	m4	m5	c1	c2	c3
0	12	16	–	8	–	1200	–	–
1	10	8	4	–	–	–	–	1000
2	16	12	–	–	6	–	800	–
3	20	–	–	6	–	1500	–	–
4	–	18	–	–	4	–	1000	–
5	18	14	6	–	–	1000	–	–
6	12	–	8	4	–	–	–	1200
7	16	10	–	–	4	800	–	–
8	20	16	–	8	–	–	1200	–
9	10	–	6	4	–	1000	–	–

Малые линейные колебания консервативной системы с одной степенью свободы (краткие сведения из теории) Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы. Обобщенную координату обозначим через . Кинетическая и потенциальная энергии системы: , . Пусть заранее известно некоторое положение равновесия системы. Будем считать, что в этом положении (то есть будем отсчитывать обобщенную координату от положения равновесия); тогда . Если , то рассматриваемое положение равновесия устойчиво и около него система может совершать малые линейные колебания. Дифференциальное (линейное) уравнение этих колебаний: , где – круговая частота, – коэффициент жесткости, – коэффициент инерции. Величина (всегда положительная) находится после приведения кинетической энергии системы к виду , при этом для выражения скоростей точек и угловых скоростей тел системы через следует использовать кинематические соотношения, отвечающие равновесной конфигурации. Величина находится после приведения потенциальной энергии системы к виду , где const – постоянная (не зависящая от q), через (…) обозначены слагаемые третьего и выше порядков малости по q (если , то малые линейные колебания около рассматриваемого положения равновесия невозможны). Так как , то ; из этого равенства можно найти какую-либо величину, характеризующую положение равновесия, например, статическую деформацию одной из пружин.

Указания. Задача Д9 – на исследование малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Система имеет одну степень свободы, следовательно, ее конфигурация определяется одной обобщенной координатой q. Эта координата должна быть выбрана так, чтобы в указанном на рисунке положении равновесия .

Далее надо вычислить кинетическую энергию Т системы и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость , используя кинематические соотношения, отвечающие равновесной конфигурации. Тогда T примет вид , откуда находим коэффициент инерции .

Затем надо вычислить потенциальную энергию системы. Потенциальная энергия складывается из потенциальных энергий тел (имеющих ненулевую массу) в поле сил тяжести и потенциальной энергии пружины. , где – высота центра масс тела над выбранным нулевым уровнем; , где c – жесткость пружины, – статическая деформация пружины (в положении равновесия), она не зависит от q, – динамическая деформация (добавляющаяся при колебаниях), она зависит от q. Величины и следует выразить через q. Отдельные слагаемые в выражении для надо либо сразу находить с точностью до величин второго порядка малости по q, либо предварительно находить точно, а затем заменять отрезком ряда Тейлора с указанной точностью. В итоге примет вид , откуда находим коэффициент жесткости и далее круговую частоту колебаний .

Из условия находим статическую деформацию пружины.

Пример Д9а. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из колеса 1 радиуса R₁, ступенчатого колеса 2 с радиусами R₂ и r₂ (колеса 1 и 2 считать однородными цилиндрами) и груза 3, подвешенного на нити, намотанной на колесо 2; колеса соединены невесомым стержнем AB (рис. Д9а). К колесу 1 прикреплена вертикальная пружина жесткостью c.

Рис Д9а.

Дано: m1 = 12 кг, m2 = 6 кг, m3 = 3 кг, R1 = R2 = R, r2 = 0,5R, с = 900 Н/м. Определить: круговую частоту k малых колебаний системы около положения равновесия и значение .

Решение. 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота колеса 1 от равновесного положения (при равновесии и ); при движении системы, рассматривая малые колебания, считаем угол малым.