2. Определим кинетическую энергию т системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:
(1)
Так как колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей O1 и O2, а груз 3 движется поступательно, то
,
(2)
где
(3)
Все скорости,
входящие в T1,
T2
и T3
(1,
2,
),
выразим через обобщенную скорость
.
Прежде всего,
.
Далее, в равновесной конфигурации
,
то есть
,
откуда
и
.
Окончательно, учитывая, что
,
,
получим
,
,
,
(4)
Подставляя величины
(3), где
и (4) в равенства (2), получим из равенства
(1)
,
где
.
(5)
3.
Определим потенциальную энергию
системы.
.
(6)
При повороте колеса
1 на угол
пружина получит дополнительную (к
)
деформацию
.
Следовательно,
.
За нулевой уровень
выберем уровень, отвечающий равновесной
конфигурации. Тогда
.
Чтобы выразить
через
,
заметим, что зависимость между малыми
перемещениями здесь будет такой же, как
между соответствующими скоростями; из
последнего из равенств (4) тогда находим
.
Подставляя все найденные величины в
равенство (6), получим
.
(7)
Из
равенства (7) следует, что
;
учитывая (5), найдем
.
4. Из
равенства (7) также следует, что
,
откуда
.
Ответ:
,
.
Пример Д9б. Находящаяся в равновесии механическая система состоит из однородного стержня 1, ступенчатого колеса 2 с радиусами R2 и r2 (колесо 2 считать однородным цилиндром), груза 3, подвешенного на нити, перекинутой через невесомый блок 4 и намотанной на колесо 2, и невесомого стержня 5, соединяющего тела 1 и 2 (рис. Д9б). В точке O1 – шарнир; в точке A прикреплена горизонтальная пружина жесткостью c.
|
Рис. Д9б,в |
Дано: m1
= 10 кг, m2
= 12 кг, m3
= 4 кг, R2
=R,
r2
= 0,5R,
с =
750 Н/м,
,
O1B
= l/3.
Определить:
круговую частоту k
малых колебаний системы около положения
равновесия и значение
.
Решение.
1. Система имеет одну степень свободы.
Выберем в качестве обобщенной координаты
угол
отклонения стержня от вертикали; при
движении системы, рассматривая малые
колебания, считаем угол
малым.
2. Определим кинетическую энергию т системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:
(1)
Так как стержень 1 и колесо 2 вращаются вокруг осей O1 и C2 соответственно, а груз 3 движется поступательно, то
,
(2)
где
(3)
Все скорости,
входящие в T1,
T2
и T3
(1,
2,
),
выразим через обобщенную скорость
.
Прежде всего,
.
Далее, в равновесной конфигурации
.
Учитывая это, находим
и
.
Таким образом, окончательно,
,
,
,
(4)
Подставляя величины
(3) и (4) в равенства (2), получим из (1)
,
где
.
(5)
3. Определим потенциальную энергию системы.
.
(6)
Величины
,
,
,
следует выразить через
.
В произвольном положении системы (см.
рис. Д9в) пружина получит дополнительную
деформацию, равную
,
причем, ввиду малости
,
можно считать, что
.
Следовательно,
.
За нулевой уровень
выберем уровень шарнира
.
Тогда
.
Раскладывая
в ряд и сохраняя величины до второго
порядка малости включительно, получим
и
.
(В
случае, когда стержень
горизонтален (поверните рис. Д9в на
),
будет
,
и нужная точность получится, если считать
.)
За нулевой уровень
выберем уровень шарнира
.
Тогда
.
За нулевой уровень
выберем уровень, отвечающий равновесной
конфигурации. Тогда
.
Чтобы выразить
через
,
заметим, что зависимость между малыми
перемещениями здесь будет такой же, как
между соответствующими скоростями; из
последнего из равенств (4) тогда находим
и
.
Подставляя все найденные величины в
равенство (6), получим
.
(7)
Из
равенства (7) следует, что
;
учитывая (5), найдем
.
4. Из
равенства (7) также следует, что
,
откуда
.
Ответ:
,
.
