Определение абсолютного ускорения точки.

Теорема сложения ускорений (метод полюса)	Графическое нахождение из векторного уравнения	Аналитическое нахождение из векторного уравнения
Абсолютное ускорение любой точкиB тела равно векторной сумме ускорения полюсаA и ускорения точки B в относительном движении точки вокруг полюса A: , или . (1) Вектор (нормальное ускорение точкиB в движении вокруг полюса A) направлен от точки B к полюсу A. Модуль . Вектор (касательное ускорение точкиB в движении вокруг полюса A) AB. Модуль .	Находим (если это возможно) векторы, содержащиеся в правой части (1). Выбираем масштаб и в соответствии с уравнением (1) строим векторный многоугольник. Вектор, проведенный из начала первого в конец последнего вектора, дает абсолютное ускорение точки.	Выбираем оси координат и проектируем уравнение (1) на эти оси: (2) (3) Решая (2), (3) и учитывая, что точка B, кроме звена AB, принадлежит еще ползуну или кривошипу, находим и . Тогда .

Пример К4. Механизм (рис. К4a) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: ,,,,,AD=DB, ,,,,(направления и–против хода часовой стрелки).

Определить: V_B, V_E, ₂, a_B, ₃.

Рис. K4a Рис. K4б

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан­ными углами и длинами стержней (рис. К4б; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем V_B. Точка B принадлежит стержню 3, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти ,нужно знать направление и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1 (звено вращается, см. задачу К2).

V_A = ₁l₁ = 0,8 м/c; . (1)

Направление найдем, учитывая, что точка B принадлежит одно­временно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление ,воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая AB). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и V_B = 0,46 м/c. (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопараллельное движение. Следова­тельно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная и ,строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка C₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек A и B. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС C₃. Вектор перпендикулярен отрезку C₃D, соединяющему точки D и C₃, и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину V_D найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C₃D и С₃B, заметим, что AC₃B – прямоуголь­ный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что .Тогда BC₃D является равносторонним и C₃B = С₃D. В результате равенство (3) дает

V_D = V_B = 0,46 м/c; . (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг O₂, то . В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям и , получим точку С₂ – МЦС стержня 2. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота стерж­ня 2 вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К4б видно, что , откудаС₂E=C₂D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

,V_E = V_D = 0,46 м/c. (5)

4. Определяем ₂. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и , то

. (6)

5. Определяем (рис. К4в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка B принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать траекторию точкиB и ускорение какой-нибудь дру­гой точки стержня 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1. Следовательно, , где чис­ленно

;. (7)

Вектор направлен вдоль AO1, а – перпендикулярно AO1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К4в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направ­ляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством (A – полюс): . (8) Изображаем на чертеже в точке B векторы: , (переносное ускоре-ние точки B), (вдоль ВА от В к А)

Рис. K4в

и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно .Найдя ₃ с помощью построенного МЦС C₃ стержня 3, получим

и . (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения a_B и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить a_B, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

. (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

. (11)

Так как a_B>0, то вектор направлен, как показано на рис. К4в.

6. Определяем ₃. Чтобы найти ₃, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

. (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что . Знак указывает, что направ­ление противоположно направлению, показанному на рис. К4в.

Из равенства получим .

Ответ: V_B =0,46 м/c; V_E =0,46 м/c; ₂ = 0,67 c^-1; ; ₃ = 2,56 c^-2.

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К4.0-К4.4, где В принадлежит вращающемуся звену 4 и движется по окружности радиуса O₂B), то направление заранее неизвестно. В этом случае также следует представить двумя составляющими () и исходное уравнение (8) примет вид

. (13)

При этом вектор (см., например, рис. К4.0) будет направлен вдоль BO₂, а вектор – перпендикулярно BO₂ в любую сторону. Числовые значения , и определяются так же, как в рассмотренном приме­ре (в частности, по условиям задачи может быть или , если точка А движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле , где l – радиус окружности O₂B, а V_B определяется так же, как ско­рость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение .Величина служит для нахождения _AB (как в рассмотренном примере).