Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

..pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

3.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

(1)

(2)

(s)

idem

(1)

(2)

(s)

(1)

(2)

(s)

idem

(1)

(2)

(s)

(1)

(2)

(s)

m 1

(1)

(2)

(s)

idem

(3.43)

где (1), (2), (i), ..., (s) номера сопоставляемых процессов, idem - означает «соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов».

Для рассматриваемого процесса:

2	L		d i					2				L		2			d i	2
2		1		1				2						2				2	1	idem
	i	R	d t										R				d t		1	idem
1	i	R	d t		1			1			i	2	R		2		d t	2
1	1	1			1			1				2			2			2
3	u					3		u		2
3		1				3				2					2	idem
	i	R							R						2	idem
1	i	R				1	i	2	R		2
1	1	1				1		2			2

В общем случае соотношения пропорциональности вида (3.29) справедливы на любых (и малых, и больших) интервалах изменения сопоставляемых функций. Поэтому символы дифференцирования и интегрирования при рассмотрении условий пропорциональности можно опустить, так как они не имеют размерности и не влияют на условия пропорциональности, заменив соответствующие члены уравнений j на их аналоги j*, которые называются интегральными, т.е. заменить dnx/dyn на x/yn и xdy на xy.

Для рассмотренного примера:

2* = L1(i1/t1); 1* = i1R1; 1 = 2*/ 1* = L1i1/i1R1t1 = L1/R1t1

где 2* и 1* аналоги 2 и 1.

Опуская индексы номеров процесса (1), (2), ..., (s), можно с учетом (3.40) записать:

m -1

idem; ;

i idem;

m -1

idem;

m -1

idem; ;

i idem

m -1

idem

(3.44)

M 1			M i			M m -1
	I 1	1;		I i	1;		I m 1	1;	(3.45)
M m			M m			M m

где 1, ..., m - члены исходного уравнения (3.23); 1*, ..., m* - интегральные аналоги 1, ..., m; M1, ..., Mm - комбинация (произведения или отношения) масштабных коэффициентов.

Применительно к примеру:
L/tR = 1 = idem; u/iR = 2 = idem	(3.46)

mL/mRmt = I 1 = 1; mu/mimR = I 1 = 1									(3.47)
Выражения (3.44) для критериев подобия, иногда называемые инва-
риантами подобия, имеют вид безразмерных степенных комплексов:
z		...Pj	z		...Pn	z		idem	(3.48)
i Pl	l			j			n

Для рассматриваемого примера:
1 = L/Rt = L1R-1t-1 = L1R-1t-1i0u0 = idem
2 = u/iR = u1 i-1R-1 = L0R-1t0i-1u1 = idem									(3.49)

Число Kj критериев подобия, найденных приведением к безразмерному виду, на единицу меньше числа членов m, входящих в уравнение, Kj

= m-1.

Точки координатного пространства, в которых критерии подобия численно равны (1) и (2), или (1) и (3) и т.п. называются сходственными точками: только в этих точках пропорциональны все сходственные параметры сопоставляемых подобных процессов. При этом масштабные коэффициенты сходственных параметров подобных процессов подчиняются условиям (3.45); не существуют подобные процессы с иными соотношениями сходственных параметров. Выражения вида (3.45), при которых соблюдаются соотношения (3.44), называются, иногда, индикаторами подобия.

Для выявления сходственных точек рассмотрим процессы i1(t1), i2(t2), i3(t3), полагая соответственно R1 = 10 Ом, L1 = 20 ГН, u1 = 100

В; R2 = 20 Ом, L2=40ГН, u2 = 75В , R3=90 Ом, L3 = 60 ГН, u3 = 500 В -

Значения i1, i2, i3 в любые конкретные моменты времени могут быть вычислены в соответствии с уравнением

iu 1 e R / L t

Результаты вычислений представлены ниже:

			Результаты вычислений i1,i2,i3						Таблица 3.2
t, c	0,33	0,50	0,67	1,00	1,33	1,50	2,00	2,50	3,00	4,00
i1, A	1,52	2,21	2,84	3,93	4,86	5,28	6,32	7,13	7,77	8,11	10,0
i2, A	0,57	0,83	1,06	1,47	1,82	1,98	2,37	2,67	2,91	3,04	3,75
i3, A	2,15	2,93	3,51	4,32	4,81	4,97	5,28	5,42	5,49	5,52	5,55
	Для процессов i1 (t1), i2 (t2)				в моменты времени t1 = 0,33 с					и	t 2

= 0,33 с, например, критерии подобия принимают значения:

1	L				20		1			u		1				100
1	1					6,06;	1					1						6,57;
1						6,06;												6,57;
1	R t			10 0,33						i	R					1,52 10
	R t	1		10 0,33						i	R					1,52 10
	1	1								1			1
2	L2				40	6,06;			2				u2				75	6,57.
1						6,06;		2										6,57.
1	R	t			20 0,33			2				i		R			0,57 20
	R	t	2		20 0,33							i	2	R	2		0,57 20
	2		2										2		2

При этом соответствующие степенные комплексы масштабных коэф-

фициентов равны единице:

mR R1 / R2 10 / 20					0,5; mL	L1	/ L2	20 / 40 0,5;
mu	u1 / u2		100 / 75 1,33; mi			i1	/ i2 1,52 / 0,57 2,67;
mt	t1 / t2 0,33 / 0,33 1,0.
I 1		mL		0,5	1; I 2	mu		1,33	1;
		mR mt		0,5 1,0				2,67 0,5
						mi mR

Таким образом, точки с координатами (i1 = 1,53 А, t1 = 0,33 с) и

(i2=0,57 A, t2 = 0,33 с) являются сходственными точками подобных процессов i1 (t1) и i2 (t2); в этих точках координатного пространства (x1..., xj ..., xn)=(R, L, u, I, t) сходственные параметры сопоставляемых процессов пропорциональны.

Аналогично

- для t1=t2=0,5 c:

		1		2	4,0;		1		2	4,52; I		1; I	1;
	1		1			2		2
											1		2
и, следовательно,						сходственными						являются точки с координатами

(i1=2,21 А, t1 = 0,5 с) и (i2 = 0,83 А, t2 = 0,5 с);

-для t1=t2=1,0 c:

1 1 1 2 2,0; 2 1 2 2 2,54; I 1 1; I 2 1;

и, следовательно, сходственными являются точки с координатами

(i1=3,93 А, t1 = 1,0 с) и (i2 = 1,47 А, t2= 1,0 с).

Для сопоставляемых процессов i1 (t1) и i3 (t3) рассчитанные значе-

ния критериев подобия представлены ниже (табл.3.3):

Таблица 3.3.

Рассчитанные значения критериев подобия

t,c…			0,33	0,50	0,67	1,00	1,33	1,50	2,00	2,50	3,00	4,00

1	(1)		6,06	4,00	2,98	2,00	1,50	1,33	1,00	0,80	0,67	0,50

1		(3)	2,02	1,33	0,99	0,67	0,50	0,44	0,33	0,27	0,22	0,17

2	(1)		6,57	4,52	3,51	2,54	2,06	1,89	1,58	1,40	1,29	1,16

2	(3)		2,56	1,89	1,58	1,29	1,16	1,12	1,05	1,02	1,01	1,00

Из приведенных данных видно, что в этом случае равенство критери-

ев подобия 1 и 2 достигается в другие моменты времени: например, при t1=1,0с и t3=0,33с; t1=1,5с и t3=0,5с; t1=2,0с и t3=0,67с.

Именно в этих точках координатного пространства пропорцио-

нальны все сходственные параметры и равны единице степенные комплексы масштабных коэффициентов I 1 иI 2 .

При произвольном выборе значений R1 и R3, L1 и L3, u1 и u3

(mR=1/9, mL=1/3, mu=1/5) значения i1 и i3, t1 и t3, определяющие коор-

динаты сходственных точек, не могут выбираться произвольно; необ-

ходимо, чтобы

mt mL mR

mi mu mR

1 9

3 1

1 9

5 1

3 , поскольку I 1

95 1,8, поскольку

	m		L	1,
				1,

m			m	t
		R		t
I				m	u	1,
					u
		2		m m
				i		R

и, следовательно, сходственными точками будут

t1 / mt

0,33

t3=0,50 и i3=2,93 t3=0,67 и i3=3,51

i	3

i1 / mi

1,47

для t1=1,0 и i1=3,93;

для t1=1,5 и i1=5,28;

для t1=2,0 и i1=6,32.

3.7.3 Определение критериев подобия процессов, описываемых уравнениями, содержащими неоднородные функции

Если часть членов уравнения, описывающего рассматриваемый процесс, неоднородные функции, то масштабные коэффициенты нельзя вынести за знак функции и, следовательно, преобразования приведенные выше - невозможны. В этих случаях у подобных процессов должны быть равны аргументы неоднородных функций.

Уравнения

					R	t
					1	t
					1
		u			L		1				u
		u		e	L						u	2
		1	1		1							2
i			1					;
i	1	R							i	2
	1	R								2	R2
		1									R2
		1

		R	2


1	e	L2
1	e

t
t	2
	2

		;

будут

тождествен-

ны, если

exp [(-R1/L1)t1] = exp [(-R2/L2)t2],

т.е. если

R	t		m		R		m t		m m		R t				R t			R t
1	t			R		2	m t		R	t	2	2	I		2		2	2		2
1				R		2			R	t	2	2			2		2	2		2
R		1	m		L		t	2	m		L			1	L			L
R			m	L	L				m	L	L			1	L	2		L	2
1				L	2					L	2					2			2

Т.е. необходимо потребовать равенства показателей степеней экспоненциальных (неоднородных) функций и принять этот показатель степени в качестве критерия подобия, т.е.:

1’ = R1t1/L1 = R2t2/L2.

После преобразования уравнений для i1(t) и i2(t) к безразмерному виду критериями подобия сопоставляемых процессов будут:

или, если принять 1 = ( 1’)-1, то как

Rt	,		u
L		2	iR

и ранее

L	, 2	u	,
Rt		iR

что и следовало ожидать, так как рассматриваются различные формы математического описания одного и того же физического процесса.

	Аналогично для уравнений содержащих тригонометрические функ-
	ции sin 1 t1 sin m 2 mt t2 sin m mt 2 t2 sin I 2 t2 sin 2 t 2 ,
		3
если	I	m mt 1, т.е. необходимо ввести дополнительный критерий по-
		3

добия

доп. = t.

3.8. Преобразование критериев подобия

Возможность преобразования критериев подобия - их важное практическое свойство.

Определение: критерии подобия процесса, представленные в какойлибо форме записи, могут быть преобразованы в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления их, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент k.

Если, например, совокупность критериев подобия 1, 2, ..., k, ..., k+j,

..., m, полностью описывает некоторый физический процесс, то и совокупность критериев подобия 1’ = k 1, 2’ = 2-1, ..., k’ = k k+j,…, ’k+j =k+j/ m, ..., ’m = ( m)k также будет полностью характеризовать этот процесс, т.к. при

1 = idem, ..., 2 = idem, ..., k = idem, ..., k+j = idem, ..., m = idem.

1’ = k 1 = idem, 2’ = 1/ 2 = 2-1 = idem, ..., k’ = k k+j = idem, ..., ’k+j =k+j/ m = idem, ..., ’m = ( m)k = idem.

Критерии подобия 1, ..., m можно рассматривать как обобщенные вторичные переменные определенного класса процессов, отражающие специфику группового взаимодействия физических факторов.

3.9. Методика определения критериев подобия способом интегральных аналогов

Для определения критериев подобия из уравнения процесса, содержащего n членов, способом интегральных аналогов, необходимо разделить все члены уравнения на какой-либо из них, опустить символы связи между членами уравнения, символы дифференцирования и интегрирования, а также неоднородные функции; к полученным в результате n-1 критериям подобия следует добавить а дополнительных критериев - аргументов неоднородных функций, входящих в члены уравнения.

Общее число критериев подобия, найденных способом интегральных аналогов,

Kj = ( n - 1 ) + a.

Число возможных форм записи n-1 основных критериев, получаемых приведением уравнения к безразмерному виду, равно числу членов уравнения

Fj = n.

Методика определения критериев подобия способом интегральных аналогов на примере переходного процесса i(t) в последовательной цепи из активного сопротивления R, индуктивности L, конденсатора С, которая включается на напряжение u, меняющееся во времени по синусоидальному закону с угловой скоростью , уравнение процесса имеет вид:

L	di	1	i d t iR u sin t	(3.50)
	d t	C

I. Записать исходное уравнение в виде

	m
0	i	0
	1

0 1 2	3 4	L	d i	1	i d t iR u sin t 0.
			d t	C

II. Опустить символы связи « + », « - » и « = » между членами уравнения:

1 L dd ti ; 2 C1 i d t; 3 iR; 4 u sin t.

III. Исключить из выражения для 1, ..., m неоднородные функции, приняв в качестве дополнительных критериев подобия значения их аргументов:

4 = u sin t sin t доп= t ; *4 = u.

IV. Опустить символы дифференцирования, интегрирования, символы grad, div и т.д.

d i

; 2

i d t 2

it.

d t

V. Заменить члены уравнения i и J, преобразованные на этапах III и IV, их аналогами *i, *J и записать выражения для 1, ..., *i, ..., *J, ..., m:

;

iR;

VI. Разделить 1, ..., *i, *J, ..., m на какой-либо из них и записать выражения для основных критериев подобия в одной из возможных форм записи:

		Li				it			3	iR
	1		;		2		;				.
	1				2
1		ut		2		uC		3		u


	4				4				4
	4				4				4

VII. Дополнить полученную систему основных критериев подобия критериями подобия, полученными на этапе III:

;

(3.51)

VIII. Преобразовать (в случае необходимости) полученные выражения для критериев подобия в иную (более удобную по условиям конкретной задачи) форму записи посредством их перемножения, деления, возведения в степень, умножения на постоянный коэффициент, например

										Li							3				iRuC					RC
										Li		;									iRuC					RC		;
							1

				1						ut			2				2				uit					t
										ut							2				uit					t			(3.52)
																													(3.52)
					1				LiuC						LC			;						t
					1													;						t
				3		2				utit					t	2			4				4
						2				utit					t
или		1	L	;				3			RC			;						1		U		;			4		t
или	3		Rt	;	2			2				t		;	3					3		iR		;	4		4		t
	3		Rt					2				t										iR

IX. На основании полученных выражений для критериев подобия записать масштабные соотношения I 1, ..., I m-1, воспользовавшись «симметричностью» их форм записи

utLi I 1

iRu I 3

m L mi 1; 2 mu mt

mi m R 1; 4 mu

	it	I			mi mt	1;
	uC		2		mu mC

t I 4				m mt 1.

Пример. Определить критерии подобия переходного процесса распространения волны напряжения по длинной линии при включении ее на постоянное напряжение. Рассматриваемый процесс описывается уравнением

		u		u		u			u
	2							2
CL	t	2	CR	t	LG	t	RGu	l	2	,
	t			t		t		l

( )

где C, L, R и G – соответственно емкость, индуктивность, сопротивление и проводимость на единицу длины линии; u – напряжение вдоль линии; t – время; l – длина.

В соответствии со способом интегральных аналогов

CLut

LGut

;

t 2CRu

t CRu


		3
		3

RGut G t; CRu C


		4
		4

		ut		t
5		ut		t	;
					;

	2	CRu	2	CR
2	l	CRu	l	CR
2

или окончательно

поскольку				,
поскольку	3	f	1	,

											1

	1						1


												3
												3
			и
2			и					4

										Gt
				3						C
				3

									t
		4			l	2			CR
		4				2

	R														1
			t;				2							2		CR / LG
	L						2							2
	L
						:							l		RG,
				3		:					4		l		RG,
				3							4
					,
f			3		,			3		;


									LGRt						Gt
			2						LGRt						Gt		;
																	;

										CRL						C
			1							CRL						C
			1
											Gt						t
		3									Gt						t	.
																		.

			2					Cl				2	RG			2	CR
		3						Cl					RG			l	CR
		3

3.10. Вторая теорема подобия и ее применение при определении

критериев подобия ( -теорема)

Всякое полное физическое уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц измерения, может быть представлено функциональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Доказательство второй теоремы основано на свойствах степенных рядов (см. критериальные уравнения). Дополнение к теореме:

F P1 ,...Pn 0;

1 ,... m 0.

1.Если математическое описание известно, то критериальное уравнение получается на основе подстановки критериев в основное уравнение.

Пример:

1 2 3 sin 4 0

1 3 sin 4 2

Таким образом, согласно второй теореме, количество независимых критериев равно m–1 или n – k – 1, где n – количество всех параметров, k – количество независимых параметров.

2. Когда математическое описание F P1...Pn 0 не известно, критериальное

уравнение записывается

	i

	i

в форме:
	...,		i 1	,
1			i 1

		...,	i 1		,
1			i 1

i 2	,...	m

i 2	,...	m



– теорема показывает, что среди m критериев всегда найдется один критерий, который является функцией остальных критериев. Количество независимых критериев n – k – 1.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров.

Вторая теорема (как и первая) основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен. Она устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. Выражение для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров процесса, но неизвестно его математическое описание.

Однако, вторая теорема (как и первая) не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

- теорема позволяет заменять переменные, сократив их число с m размерных величин до m - k безразмерных величин, и тем самым записывать уравнения процессов в критериальной форме. При этом облегчается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как свя-

зи между безразмерными - критериями подобия выявляются, как правило, проще, чем связи меду именованными величинами.

3.11. Методика определения критериев подобия на основе анализа размерностей

Анализ размерностей параметров, участвующих в процессе, позволяет получить выражения для критериев подобия в наиболее общем случае, когда математическое описание этого процесса неизвестно. Прежде чем приступить к изложению методики, сформулируем необходимые исходные положения.

1. Различают полные и неполные уравнения, описывающие исследуемый процесс.

Полное физическое уравнение f(P1, P2, P3, P4, ..., Pi, ..., Pm) =0 учи-

тывает все связи между входящими в него величинами P1, ..., Pm и справедливо при изменении системы единиц измерения этих величин.

Неполное уравнение - f(P1, P2, P3, K1, ..., Kj, ..., Kn) = 0 - отражает только некоторые частные зависимости между переменными (P1, P2, P3), справедливые в том случае, если переменные (P4, ..., Pm), определенные при конкретных условиях, далее полагаются постоянными применительно к некоторым частным случаям (т.е. коэффициентами (K1, ..., Kj, ..., Kn; Kj = const, j = 1, ..., n). Неполное уравнение становится полным, если рассматривать коэффициенты Kj как величины, имеющие размерность и изменяющиеся при изменении системы единиц измерения, т.е. раскрыть функциональные связи вида

Kj = fj( P4, ..., Pi, ..., Pm), j = 1, ..., n.

2. Единица измерения физической величины.

3. Система единиц измерения.

4. Основные единицы измерения.

5. Производные единицы измерения.

6. Формула размерности.

7. Однородные, одноименные и безразмерные физические величины.

8. Параметры с независимыми размерностями (независимые параметры) и параметры с зависимыми размерностями (зависимые параметры).

Как было сказано ранее, группой независимых параметров называ-

ется такая группа параметров, в которой размерность ни одного из не может быть образована из размерностей других параметров, принадлежащих той же группе. Если параметры зависимы, то нельзя все характеристики выбирать произвольно.

Пример: произвольно выбрав величины для измерения тока и напряжения, нельзя произвольно выбирать величины, измеряющие сопротивления и мощность.

9. Признаком независимости параметров P1, P2, P3, ..., Pk является существование хотя бы одного определителя порядка k отличного от нуля, который образуется из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей

этих параметров.
Пример:									;								;									,
					M		T		;				M		T		;					M		T		,
P		L	1		M	1	T	1	P	2	L	2	M	2	T	2	P	3	L	3		M	3	T	3
	1		1			1		1		2		2		2		2		3		3			3		3
для независимости группы параметров P1, P2																					и P3		необходимо неравенство
нулю определителя
				1
		1	1	1

D2 2 2.

3 3 3

10. Для физического процесса, полностью характеризуемого m раз-

мерными параметрами P1, ..., Pk, Pk+1, ..., Ps, ..., Pm, среди которых k параметров P1, ..., Pk являются независимыми, существует m - k критериев по-

добия 1, ..., m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 01-09-2014_14-57-50

#
29.03.2015224.94 Кб106Метод равенства отн. приростов.pdf
#
29.03.20153.3 Mб109Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц..pdf
#
29.03.201569.47 Кб84ОиМЭС_вопросы к зачету_заоч..pdf

R	t		m		R		m t		m m		R t				R t			R t
1	t			R		2	m t		R	t	2	2	I		2		2	2		2
1				R		2			R	t	2	2			2		2	2		2
R		1	m		L		t	2	m		L			1	L			L
R			m	L	L				m	L	L			1	L	2		L	2
1				L	2					L	2					2			2

R	t		m		R		m t		m m		R t				R t			R t
1	t			R		2	m t		R	t	2	2	I		2		2	2		2
1				R		2			R	t	2	2			2		2	2		2
R		1	m		L		t	2	m		L			1	L			L
R			m	L	L				m	L	L			1	L	2		L	2
1				L	2					L	2					2			2

R	t		m		R		m t		m m		R t				R t			R t
1	t			R		2	m t		R	t	2	2	I		2		2	2		2
1				R		2			R	t	2	2			2		2	2		2
R		1	m		L		t	2	m		L			1	L			L
R			m	L	L				m	L	L			1	L	2		L	2
1				L	2					L	2					2			2