01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

ются не только физические, но и причинно-следственные взаимосвязи между ее элементами.

На систему могут воздействовать некоторые внешние факторы. Причем, если они трактуются как входы в систему, то предполагается, что они функционально задаются с помощью предписанных значений, таблиц или уравнений.

Объекты, которые находятся за границами системы, но могут влиять на ее поведение, формируют окружающую среду этой системы. Таким образом, системы представляют собой совокупность взаимодействующих элементов, которые подвергаются воздействию со стороны внешних факторов.

Поведение компонент сложной системы (СС) и их взаимодействие в имитационной модели чаще всего описывается набором алгоритмов, реализуемых на некотором языке моделирования. Все эти описания представляют собой программную имитационную модель, которую необходимо сначала отладить и испытать, а затем использовать для постановки эксперимента на ЭВМ. Поэтому под процессом имитации на ЭВМ понимают:

конструирование модели;

испытание модели;

применение модели для изучения некоторого явления или проблемы.

Имитационная модель – вычислительная процедура, формализовано описывающая изучаемый объект и имитирующая его поведение. При ее составлении нет необходимости упрощать описание явления, отбрасывая порой даже существенные детали, чтобы втиснуть его в рамки модели, удобной для применения тех или иных известных математических методов анализа. Для имитационного моделирования характерна имитация элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени, характера и состава информации о состояниях процесса Модель по своей форме является логико-математической (алгоритмической).

6.2. Классификация моделей

Имитационные модели как подкласс математических моделей можно классифицировать на:

статические и динамические;

детерминированные и стохастические;

дискретные и непрерывные.

Отметим, что эти термины относятся к модели, а не к реальной системе. Класс задачи предъявляет определенные требования к имитационной модели.

Так, например, при статической имитации расчет повторяется

101

несколько раз в различных условиях проведения эксперимента – исследование поведения "в определенный короткий период времени".

При динамической имитации моделируется поведение системы "в течение продолжительного периода времени" без изменений условий.

При стохастической имитации в модель включаются случайные величины с известными законами распределения; при детерминированной имитации эти возмущения отсутствуют, т.е. их влияние не учитывается.

Дискретно и непрерывно изменяющиеся модели практически можно представить в виде дискретно изменяющейся модели (далее называемой просто дискретной) либо непрерывно изменяющейся (непрерывной). Как правило, в имитационном моделировании время является основной независимой переменной. Другие переменные, включенные в имитационную модель, являются функциями времени, т.е. зависимыми переменными. Определения «дискретная» и «непрерывная» относятся к поведению зависимых переменных.

При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени, называемые моментами совершения событий. Переменная времени в имитационной модели может быть либо непрерывной, либо дискретной в зависимости от того, могут ли дискретные изменения зависимых переменных происходить в любые моменты времени или только в определенные моменты.

Примером дискретной имитации является имитация банковской системы. Зависимыми переменными в этом случае являются состояние кассира и число ожидающих в очереди клиентов. Моменты свершения событий соответствуют моментам времени, когда клиент прибывает в систему и покидает еѐ после окончания обслуживания кассиром. Как правило, в дискретных моделях значения зависимых переменных не изменяются в промежутках между моментами свершения событий. Пример изменения зависимых переменных в дискретной имитационной модели показан на рис.

6.1.

102

Рис. 6.1. Графическое представление отклика дискретно-событийного имитатора

При непрерывной имитации зависимые переменные модели изменяются непрерывно в течение имитационного времени. Непрерывная модель может быть либо непрерывной (рис. 6.2), либо дискретной по времени (рис. 6.3) в зависимости от того, будут ли значения зависимых переменных доступны в любой точке или только или только в определенные моменты имитационного времени.

Рис. 6.2. Графическое представление отклика непрерывного имитатора

Рис. 6.3. Графическое представление отклика непрерывного имитатора с дискретным временем

Моделирование концентрации реагента в химическом процессе или положения и скорости движения космического корабля является примером

103

сравнение вариантов структуры системы;

определение степени влияния изменений параметров системы

иначальных условий имитации ее поведения на показатель эффективности системы.

Имитационные модели могут применяться для:

исследования границ и структур систем с целью решения конкретных проблем;

определения и анализа критических элементов, компонентов и точек в исследуемых системах и процессах;

синтеза и оценки предполагаемых решений;

прогнозирования и планирования будущего развития исследуемых систем.

Так как имитационное моделирование представляет собой статистический эксперимент, то при его проведении необходимо получить достоверный результат с заданной точностью.

В общем случае количество прогонов модели (объем выборки), необходимое для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от следующих факторов:

вида распределения наблюдаемой переменной;

коррелированности между собой элементов выборки;

наличия и длительности переходного режима функционирования моделируемой системы.

При отсутствии сведений о перечисленных факторах для повышения точности оценок истинного значения наблюдаемой переменной увеличивается количество прогонов модели (объем выборки) для каждого наблюдения, т.е. для каждого сочетания уровней факторов, выбранного на этапе стратегического планирования эксперимента.

Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированны и их распределение не меняется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным. Для случая, когда целью моделирования является определение среднего значения некоторого

случайного параметра, требуемое число прогонов Nт модели в каждом наблюдении определяется по формуле:

где ε – точность оценки; σ – среднеквадратическое отклонение; tα – аргумент функции Лапласа, при заданном уровне значимости α/2 находится по табл. , в которой даны наиболее актуальные пары α и tα.

Таблица 6.1

Значения аргумента функции Лапласа tα при заданных уровнях значимости

α

105

Однако имитационное моделирование имеет ряд сложностей, которые заключаются в следующем.

Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого и требует много времени и высококвалифицированных специалистов.

Имитационное моделирование в принципе неточно, и трудно измерить степень точности. Частично это можно преодолеть путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.

Имитационное моделирование в действительности не отражает реального положения вещей, и это необходимо учитывать.

Результат имитационного моделирования обычно является численным, а его точность определяется количеством знаков после запятой. Поэтому в имитационном моделировании могут приписывать числу большую значимость.

Так как имитация представляет собой крайнее средство, применяемое для решения задач, то, если задача может быть сведена к простой модели и решена аналитически, нет нужды в имитации. Кроме того, каждый раз при

Рис. 6.5. Схема имитационного моделирования

1.Формулирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.

2.Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.

3.Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.

4.Трансляция модели: перевод модели на язык приемлемый для использования ЭВМ.

5.Верификация: установление правильности машинных программ.

6.Валидация: оценка требуемой точности и соответствия имитационной модели реальной системе.

7.Стратегическое и тактическое планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.

8.Экспериментирование: прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.

9.Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.

10.Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, и составление документации по модели и ее использованию.

Документирование близко связано с реализацией. Тщательное и полное документирование процессов разработки и экспериментирования с моделью позволяет значительно увеличить срок ее жизни и вероятность успешной реализации, облегчает модификацию модели и обеспечивает возможность ее использования, если даже подразделений, занимавшихся разработкой модели, больше не существует, может помочь разработчику модели учиться на своих ошибках.

Как видно из приведенного перечня, особо выделены этапы планирования экспериментов на модели. И это не удивительно. Ведь имитация на ЭВМ – это эксперимент. Анализ и поиск оптимальных решений алгоритмических моделей (а все имитационные модели относятся к этому классу) осуществляется теми или иными методами экспериментальной оптимизации на ЭВМ. Единственное отличие имитационного эксперимента от эксперимента с реальным объектом состоит в том, что имитационный эксперимент производится с моделью реальной системы, а не с самой системой.

Успех реализации во многом зависит от того, насколько правильно разработчик модели выполнил все этапы процессов имитационного исследования. Для успешного решения задачи и последующего внедрения результатов необходимо, чтобы разработчик модели и пользователь работали

в тесном контакте и достигали взаимопонимания.

Необходимо отметить, что приведенные выше этапы имитационного исследования редко выполняются в строго заданной последовательности, начиная с определения проблемы и кончая документированием. В ходе имитационного моделирования возможны действия, которые могут привести к переформулировке целей исследования и перестройки модели, т.е.

108

процесс носит итеративный характер. Логика построения модели должна быть простой и понятной всем участникам имитационного исследования и в случае необходимости имитационная модель должна легко модифицироваться.

6.5. Понятие моделирующего алгоритма и формализованной схемы процесса

Для имитационного моделирования процесса на ЭВМ необходимо преобразовать его математическую модель в специальный моделирующий алгоритм, в соответствии с которым в ЭВМ будет вырабатываться информация, описывающая элементарные явления исследуемого процесса с учетом их связей и взаимных влияний. Определенная часть циркулирующей информации выводится "на печать" и используется для определения тех характеристик процесса, которые требуется получить в результате моделирования (рис. 8.6).

Центральным звеном моделирующего алгоритма является собственно имитационная модель формализованная схема процесса. Формализованная схема представляет собой формальное описание процедуры функционирования сложного объекта в исследуемой операции и позволяет для любых задаваемых значений входных факторов модели (перемен-

Остальные модели (рис. 6.6) представляют собой внешнее математическое обеспечение процесса имитации.

Рис. 6.6. Структура моделирующего алгоритма для оптимизационной модели со случайными факторами

Модели входов обеспечивают задание тех или иных значений

109

входных факторов. Статические модели детерминированных входов элементарны: это массивы значений констант, соответствующих определенным факторам модели. Динамические модели входов обеспечивают изменение значений детерминированных факторов во времени по из-

Модели случайных входов (иначе – датчики случайных чисел) имитируют поступление на вход изучаемого объекта случайных воздействий с задан-

ли случайных входов учитывают, что законы распределения случайных величин являются функциями времени, т.е. для каждого периода времени либо форма, либо характеристика закона распределения (например, математическое ожидание, дисперсия и т.д.) будут своими.

В связи с тем, что результат, полученный при воспроизведении единственной реализации из-за наличия случайных факторов, не может характеризовать исследуемый процесс в целом, приходится анализировать большое число таких реализаций, так как только тогда по закону больших чисел получаемые оценки приобретают статистическую устойчивость и могут быть с определенной точностью приняты за оценки искомых величин. Модель выхода обеспечивает накопление, обработку и анализ полученного множества случайных результатов. Для этого с ее помощью организуется многократный просчет значений выходных ха-

ми распределения) – "цикл по у". В связи с этим модель выхода включает программы тактического планирования эксперимента на ЭВМ опреде-

ботки случайных значений выходных характеристик, в результате которой они очищаются от влияния случайных факторов и поступают на вход модели обратной связи, т.е. модель выхода реализует сведение стохастической задачи к детерминированной методом ―осреднения по результату‖.

Модель обратной связи позволяет на основе анализа получаемых результатов моделирования изменять значения переменных управления, реализуя функцию стратегического планирования имитационно эксперимента. При использовании методов теории оптимального планирования эксперимента одной из функций модели обратной связи является представление результатов моделирования в аналитическом виде – определение уравнений функции отклика (или характеристической поверхности). При оптимизации модель выхода вычисляет на основе значений выход-

или иного численного метода оптимизации изменяет значения переменных управления для выбора значений наилучших с точки зрения целевой функции.

110