01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия. Вид количественной аналогии - аналогия математическая - сходство объектов по их математическому описанию.

Сходственные точки пространства, времени и параметров процесса – это такие величины, при которых их значениям в одной системе так или иначе соответствуют значения в другой системе.

Сходственные переменные - переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом: х1 и у1, х2

и у2

Сходственные постоянные - аналогично сходственным переменным. Указанные выше сходственные функции содержит сходственные переменные х1 и у1, х2 и у2, сходственные постоянные a и в, с и d.

Сходственные уравнения – получаются из сходственных функций путем преобразования к однородному уравнению и приравниванием нулю или друг другу.

Понятие сходственных точек и величин значительно сложнее в теории подобия физических явлений, нежели в геометрии.

Наиболее полная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходственными функциями и уравнениями.

2.3. Аналогичное моделирование

Аналогичное моделирование - замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключений по аналогии. Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения об его свойствах носят только качественный характер.

Вывод: при удачном выборе модели аналогичное моделирование позволяет получить весьма интересные и важные результаты. К сожалению, общая методика аналогичного моделирования невозможна, и требуется поиск модели. Во многих случаях целесообразно использовать аналогичные формальные модели, основанные на механических, электрических, акустических аналогиях.

2.4.Математическая модель проектируемого изделия

Проектирование – сложный и трудноформализуемый процесс, объединяющий такие важные процедуры, как синтез структуры, выбор параметров элементов, анализ и принятие решений. Особенно важна начальная

31

стадия проектирования, когда выбираются эффективный физический принцип действия, рациональное техническое решение и определяются оптимальные значения параметров.

Поиск рационального технического решения при выбранном физическом принципе действия осуществляется методами структурного синтеза. Определение оптимальных значений параметров элементов технической системы известной структуры – задача параметрического синтеза

или параметрической оптимизации.

Проектирование технических устройств можно представить себе как выбор наилучших вариантов конструкции машин и аппаратов, параметров схем, режимов работы оборудования и т.п. Выбор предполагает наличие двух основных необходимых элементов: параметров, варьированием которых конструктор получает различные варианты проектируемого изделия, и критерии сравнения, позволяющего указать лучший из любой пары выбранных вариантов.

Варьирование параметров допускается в некоторых пределах, определяемых назначением проектируемого изделия, технологией изделия, требованиями стандартов.

Математическая модель в количественной форме описывает основные элементы проектируемого изделия, его параметры и внутренние связи.

Совокупность формул, позволяющих для заданного набора значений конструктивных параметров x1, x2,…, xn рассчитать изделие и определить все его характеристики, в том числе значения функций ограничений и критерия оптимальности, называется математической моделью проектируемого изделия.

Модель призвана облегчить конструктору задачу поиска наилучшего решения и поэтому должна сочетать в себе два, увы, не всегда совпадающих момента: она должна быть достаточно простой для анализа и, с другой стороны, достаточно полно отражать истинную ситуацию. Поэтому при построении математической модели нужно хорошо представлять себе соответствие между «реальным» объектом и его математическим образом и уметь переводить свои знания об объекте в формальные математические соотношения, а затем и интерпретировать получаемые математические результаты.

Знание особенностей математических моделей, методов и алгоритмов решения проектируемых задач необходимого инженеру для постановки задач.

Формализация задачи оптимального проектирования состоит в математическом описании основных элементов процесса выбора (варьируемых параметров и критерия), связей и ограничений, налагаемых на значения параметров.

Итак, прежде всего должен быть выделен некоторый набор конструктивных параметров (переменных)

x1, x2,…, xn

32

значения которых определяют проектируемое изделие, и выбор этих значений предоставлен конструктору.

В большинстве подходов к оценке технического объекта принято ориентироваться на эталонные образцы, на мнение ведущих специалистов отрасли (экспертные оценки) или на технико-экономические показатели, определяемые ТЗ на проектирование.

Содержание типичного ТЗ включает в себя конкретные числовые требования к основным выходным параметрам (технические требования); конкретные числовые, характеризующие условия сопряжения системы с внешней средой (диапазоны изменения внешних параметров: температуры, давления, влажности, напряжения и частоты источников питания, условия функционирования системы с точки зрения охраны среды и пр.); качественное описание требований, ограничений и условий, непосредственно не поддающихся количественной оценке.

Набор n чисел х= x1, x2,…, xn может быть представлен точкой в n- мерном евклидовом пространстве Еn, тогда условия и ограничения, накладываемые на возможные изменения значений конструктивных параметров, зададут некоторую область D в Еn , которой точка х должна принадлежать.

выбора наилучшей возможной комбинации параметров (x1, x2,…, xn ), со-

Как правило, в задачах оптимального проектирования область D задается системой неравенств или равенств:

Эти ограничения возникают из требований, предъявляемых к некоторым характеристикам проектируемого изделия, определяемым через конструктивные переменные с помощью функций gi(x). Пользуясь ограничениями gi x1,..., xn 0 , можно выразить одни конструктивные параметры че-

рез другие и тем самым уменьшить количество варьируемых параметров, или, как говорят, понизить размерность. Поэтому будем считать, что эта операция уже произведена и в ограничениях (1), описывающих область D, присутствуют только неравенства gi x 0 при i=1,…,m.

Решение задачи оптимального проектирования сводится к выбору управляемых параметров Х, принадлежащих допустимой области D и обеспечивающих экспериментальное значение критерия оптимальности

F(x)

33

Задача (2.2), как сказано выше, называется задачей параметрической оптимизации. Оптимальным решением этой задачи является вектор х*, удовлетворяющей системе неравенств и обеспечивающей минимальное значение критерия оптимальности.

В зависимости от числа П управляемых параметров, структуры допустимой области D и вида критерия оптимальности F(x) задача оптимального проектирования приводится к различным классам математических моделей принятия оптимального решения в рамках введенной модели (2.2)

Математическая модель позволяет заменить дорогостоящее экспериментирование с опытными образцами изделия расчетами на ЭВМ. Конструктору не нужно изготавливать узлы или детали изделия, ему достаточно задать вычислительной машине их геометрические размеры, виды материалов и указать способ изготовления. По этим данным ЭВМ определит все требуемые характеристики (стоимость, надежность, расход энергии и т.д.) и укажет, какие из них выходят за поставленные ограничения.

Математическая модель позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить на ЭВМ исследование большого числа вариантов нового изделия для различных режимов его эксплуатации. Конструктор может задавать различные режимы перегрузок (работа в полярных и экваториальных условиях, пори повышенном или пониженном давлении и т.д.) и ЭВМ на основе математической модели покажет, как будет вести себя новое изделие в различных условиях.

Математическая модель отличается от других способов описания технических устройств строгостью и компактностью. С ее помощью совершается переход от интуитивных представлений конструктора о качестве изделия к строгим количественным их измерениям.

При этом каждому варианту конструкции, определяемому набором технико-экономических параметров, соответствует точка n-мерного пространства, техническим и технологическим условиям – функции ограничений, а представлению о качестве изделия – критерий оптимальности. Основные этапы проектирования показаны на рис. 2.1.

Задачи оптимального проектирования в математической постановке обладают определенными особенностями, которые выделяют их среди всех задач нелинейного программирования, т.е. задач поиска точки оптимума некоторой нелинейной функции в допустимой области D, граница которой задана с помощью нелинейных ограничений gi(x)≤0.

Математическая модель, которую мы только что описали, не всегда дает достаточно адекватное представление о процессе выбора наилучшего проекта. И хотя при сложных функциях gi(x) эта модель может приводить к очень трудным математическим задачам, с принципиальной точки зрения она является простейшей.

34

Исчерпаны воз- Нет можности струк-

турной оптимиза-

ции?

Построение математической модели объекта

Да

Оптимизация структуры объекта

Расчет модели и анализ ее параметров

Исчерпаны возмож- Нет ности параметрической оптимизации?

Проверка на соответствие заданным условиям работоспособности и техническим требованиям

Выпуск документации

Переход к следующему функциональному уровню проектирования

Рис 2.1. Основные этапы проектирования радиоэлектронных устройств и систем

Какие же трудности могут возникнуть на пути построения более точной формальной модели процесса проектирования?

Во-первых, не всегда, вернее почти никогда, качество проекта не оценивается одним или двумя показателями. Как правило, имеется набор критериев F1(x),…, FN(x), каждый из которых хотелось бы сделать максимальным. Но обычно увеличение одного из критериев влечет за собой уменьшение другого. Поэтому возникает проблема нахождения некоторого компромисса между критериями.

35

Во-вторых, не все факторы, влияющие на качество проекта, могут быть произвольно изменены и, следовательно, некоторые из них могут находиться вне нашего контроля. Поэтому помимо конструктивных параметров (факторов) x1,…, xn, нужно учитывать наличие неких неконтролируемых факторов q1,…, qk. Таким образом, более общая математическая модель разработки проекта состоит из :

а) набора конструктивных факторов x1, x2,…, xn; б) набора неконтролируемых факторов q1,…, qk; в) набора ограничений gi(x1,…, xn, q1,…, qk)≤0;

г) набора критериев – показателей качества изделия Fj(x1,…, xn, q1,…, qk), j=1,…, N

2.5. Требования к математическим моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модуль считается адекватной. Если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Пусть объект характеризуется m выходными параметрами уi, i=1 : m, а значения тех же параметров, полученные при использовании модели, суть

ра)

Чтобы уменьшить влияние неопределенности целесообразно проводить сравнение моделей по результатам их использования в некоторых стандартных ситуациях. Отражающих характерные особенности функционирования объектов на практике и называемых тестовыми ситуациями.

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться предельной допустимой погрешностью Епред , то можно в пространстве внешних параметров выделитьобласть, в которой выполняется условие

Ем < Епред

где Ем – погрешность модели.

Эту область называют областью адекватности модели. Определение областей адекватности для конкретных моделей – сложная процедура, тре-

36

бующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Пример ОА (заштриховано) в двумерном пространстве дан на рис.

Рис. 2.2. Пример области адекватности

Здесь qk – к-й внешний параметр.

Расчет областей адекватности становится оправданным в связи с однократностью определения ОА и многократностью их использования при проектировании. Знание ОА позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.

Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных уi, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешними параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т.п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу по определению ОА.

Степень универсальности математических моделей определяется их применимостью к анализу определенной группы однотипных объектов. К их анализу в одном или многих режимов функционирования. Если адекватность характеризуется положением и размерами ОА, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Робастность ММ (от англ. слова robust – крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину.

Продуктивность ММ связана с возможностью располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров. Которые получаются при использовании ММ. В противном случае

37

ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного технического объекта теряет смысл.

Наглядность является ее желательным, но необязательным свойством.

Экономичность математических моделей (в частности, и машинных расчетных методов) оценивается прежде всего затратами машинного времени Тм. Машинное время дорого, поэтому его затраты определяют главную часть стоимостных затрат. Вклад математической модели в затраты машинного времени на решение задач можно оценивать количеством арифметических операций, выполняемых при однократной реализации уравнений модели. Показателем экономичности математической модели может служить также число внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти, тем больше усилий требуется для получения сведений о числовых значениях параметров и их разбросе.

38

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

3.1. Понятие подобия

Особое место среди математических моделей занимают подобные. Если при аналогии двух объектов распространение свойств одного объекта на другой носит характер предположения и нуждается в проверке, то при подобии знание свойств одного объекта значит знание свойств другого объекта.

Подобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Впервые понятие «подобие» появилось в геометрии.

Геометрическое подобие – определяют подобность геометрических фигур по сходственным характеристикам. Многоугольник с определенным количеством сторон n, подобен другому многоугольнику с таким же количеством сторон n, если соответствующие углы многоугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Определение геометрического подобия многоугольников, на примере треугольников, состоит в следующем:

треугольники подобны (рис.3.1.), если у них сходственные стороны пропорциональны, а сходственные углы равны и, т. е. выполняются следующие равенства:

Рис. 3.1. Подобие треугольников

где mL и m - масштабные коэффициенты (масштабы) величин сторон и углов, характеризующие пропорциональность сходственных параметров. Если mL и m называются масштабными коэффициентами, то величины

39

обратные им, т.е. 1/mL и 1/m будут называться масштабами и обозначаться, соответственно, ML и M или наоборот, или вообще не делается различия между терминами «масштаб» и «масштабный коэффициент».

На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их координаты.

Если ввести систему прямоугольных координат X, Y, то при геометрическом подобии все координаты xiA, yiA первого многоугольника пропорциональны соответствующим координатам xiB, yiB второго многоугольника, т.е. выполняются соотношения

xiA, / xiB =mx; yiA / yiB = my; mx = my,

где xi и yi координаты любой точки, находящейся на отрезках прямых, определяющих контуры соответствующего многоугольника; mx и my - масштабы.

Данный вид подобия может существовать и в пространстве большей размерности: трех - и более мерном.

Дальнейшее развитие понятия подобие является - аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры или пространственные объекты как бы деформируются: круг превращается в эллипс, параллелепипед с неравномерными ребрами – в куб и т.п. (рис.3.2.).

Рис. 3.2. Превращение параллелепипеда в куб.

При аффинном подобии для сходственных точек в трехмерном координатном пространстве будут справедливы следующие соотношения:

xiA / xiB = mx; yiA / yiB = my; ziA / ziB = mz; mx my mz.

При этом требуется введения специальных преобразующих функций, осуществляющих взаимосвязь между координатами моделей и объекта, часто - нелинейных.

Пример 1. Установить условия аффинного подобия на рис. 3.3, отрезки линий e1 - i1 являются не линейно сходственными линиями e2 - i2, точки e1, f1, g1, h1, i1 соответствуют точкам e2, f2, g2, h2, i2.

40