01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

Комбинированное моделирование – это моделирование, в котором используются элементы аналитического и имитационного.

Реальное моделирование может быть натурным и физическим.

Натурное моделирование – это проведение исследований с реальными объектами с последующей обработкой результатов эксперимента.

В нем выделяют:

производственный эксперимент – воспроизведение на натурном объекте основных режимов производственного процесса для дальнейшего исследования.

научный эксперимент – воспроизведение на натурном объекте качественно новых режимов, увеличение технических границ.

комплексный эксперимент – сочетает в себе элементы научного и производственного эксперимента

При постановке научного эксперимента реальный объект используется в качественно новых условиях функционирования или при воздействии новых факторов внешней среды с последующей обработкой результатов.

Физическое моделирование:

в реальном масштабе времени – осуществляют постановку эксперимента в одинаковых масштабах времени как для объекта, так и для модели.

в нереальном масштабе времени – при постановке эксперимента масштабы времени для модели и объекта различаются на некоторую величину.

1.5. Классификация объектов проектирования

Из модульно-иерархического подхода к проектированию следует деление объектов проектирования на системы и элементы. На высшем уровне используется наименее детализированные представления, отражающее только самые общие черты и особенности проектируемой системы. На следующих уровнях степень подробности рассмотрения возрастает, при этом система рассматривается не в целом, а отдельными блоками.

Такой подход позволяет на каждом уровне формулировать и решать задачи приемлемой сложности, поддающиеся уяснению и пониманию человеком и решению с помощью имеющихся средств проектирования. Разбиение на блоки (модули) должно быть таким, чтобы документация на блок любого уровня была обозрима и воспринимаема одним человеком.

Системы и их элементы могут делиться по физическим основам устройства работы на механические, гидравлические, пневматические, электрические, радиоэлектронные и др.

Функционирование многих систем не может быть полностью описано в терминах какой-либо одной научно-технической дисциплины, так как в них важную роль играют процессы различной физической природы. Эти

21

системы будем называть системами с физически неоднородными элемен-

тами. Примерами таких систем служат электродвигатели, оптикоэлектронные устройства, теплообменные аппараты и др. При анализе подобных систем можно выделить отдельные подсистемы, например механическую, электрическую, тепловую и т.п. Так, в радиоэлектронной аппаратуре основной подсистемой является электрическая; именно с помощью электрических процессов реализуются полезные для человека функции, осуществляется переработка информации. Но помимо электрических процессов в элементах радиоэлектронных устройств происходят процессы тепловые, которые могут оказывать существенное влияние на протекание основных электрических процессов, что обусловливает необходимость исследования не только электрической, но и тепловой подсистемы.

В ряде случаев допустим автономный анализ разных подсистем одной системы, однако чаще требуется учет взаимообусловленности процессов разной природы. Так, внутренние параметры электрической подсистемы радиоэлектронного устройства обычно существенно зависят от температуры и тем самым температура влияет на токи, напряжения и мощности рассеяния в элементах. В свою очередь, мощность рассеяния влияет на температуру конструктивных элементов.

Во многих системах нельзя выделить одну главную подсистему (в гидроприводах и гидравлическая, и механическая подсистемы в равной мере являются основными). То же можно сказать о пневматической и тепловой подсистемах в системах кондиционирования воздуха, о химической, пневматической и механической подсистемах в снарядах и ракетах и т.д.

Существующее по ЕСКД деление схем на принципиальные, функциональные, структурные отражает принципы иерархического проектирования.

Принципиальные схемы определяют полный набор базовых элементов и связей между ними и обычно дают детальное представление о принципах работы изделия. Вспомним, что элементы самого низшего из уровней (2-3- го уровня) называются базовыми элементами или компонентами.

Функциональные схемы показывают протекание определенных процессов в изделии или его частях, т.е. дают представление о функционировании объекта с учетом только существенных факторов и функциональных частей. Структурные схемы дают наиболее общее представление об объекте, определяя основные функциональные части изделия, их назначение и взаимосвязи.

При проектировании цифровой вычислительной аппаратуры существует деление на иерархические уровни (рис….), где ЛЭ – логический элемент, ФУ – функциональный узел, ФУС – функциональное устройство, ФК – функциональный комплекс.

22

ФК

Рис. 1.5. Иерархические уровни проектирования цифровой аппаратуры

На низшем уровне проектируются принципиальные схемы, в которых элементами являются логические элементы ЛЭ, на следующем уровне – функциональные схемы с функциональными узлами ФУ в качестве элементов, далее – структурные схемы, в которых элементами являются функциональные устройства ФУС.

Кроме разделения описаний по степени подробности отражения свойств объекта, порождающего иерархические уровни, используют декомпозицию описаний по различным аспектам. Наиболее крупными являются функциональный, конструкторский и технологический аспекты. Решение задач, относящихся' к этим аспектам, называют соответственно функциональным, конструкторским и технологическим проектированием.

Функциональный аспект отображает основные принципы функционирования, характера физических и информационных процессов, протекающих в объекте, и отражается в принципиальных, функциональных, структурных, кинематических схемах и сопровождающих их документах.

К о н с т р у к т о р с к и й а с п е к т реализует результаты функционального проектирования, т. е. определяет геометрические формы объектов и их взаимное расположение в пространстве.

Т е х н о л о г и ч е с к и й а с п е к т связан с реализацией результатов конструкторского проектирования, т. е. с описанием методов и средств изготовления объектов, в частности, с подготовкой программ для ЧПУ.

Возможно более дифференцированное описание свойств объекта с выделением в нем ряда подсистем и соответствующего числа аспектов. Например, функциональный аспект можно разделить по физическим основам описываемых явлений на аспекты электрический, механический, гидравлический, химический и т. п. При этом в описаниях электромеханической системы появляются описания электрической и механической под-

23

систем, в описании оптико-электронного прибора — описания электрической и оптической подсистем и т. д.

Внутри каждого аспекта возможно специфическое выделение иерархических уровней. Так, функциональный аспект описания радиоэлектронной аппаратуры включает в себя отмеченные выше иерархические уровни принципиальных, функциональных и структурных схем. В то же время конструкторскому аспекту описания радиоэлектронной аппаратуры присуща своя иерархия уровней, в которой выделяют уровни типовых элементов замены, панелей, рам и стоек.

1.6. Классификация математических моделей

Математические модели классифицируют по характеру отображаемых свойств проектируемого объекта на функциональные и структурные.

Функциональные модели отображают процессы функционирования объекта. Эти модели чаще всего имеют форму систем уравнений. В зависимости от физической природы отображаемых явлений среди функциональных моделей различают модели тепловые, электрические, оптические, гидравлические, электромеханические, газодинамические и др.

Структурные модели отображают только структурные (в частности, геометрические) свойства объекта. Эти модели могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственных связей между элементами в виде каналов, проводников, трубопроводов и т.п. Структурные модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать, абстрагируясь от особенностей физических процессов в объекте, например при оформлении конструкторской документации.

Поскольку структурные и функциональные свойства объектов тесно взаимосвязаны, в большинстве проектных процедур требуются модели с отображением особенностей как структуры объекта, так и характера физических или информационных процессов, происходящих в нем. Это требование реализуется в функциональных моделях.

П о х а р а к т е р у п е р е м е н н ы х , ф и г у р и р у ю щ и х в м о - д е л и , различают модели фазовые и факторные.

Фазовые модели – модели, в которых фигурируют фазовые переменные.– Фазовые переменные – зависимые переменные величины, характеризующие состояние объекта и поэтому называемые также переменными состояния. Примерами фазовых переменных могут служить скорости, силы, напряжения и деформации в механических системах, давления и расходы в гидравлических системах, напряжения, токи и заряды в электрических системах и т.д.

Если предмет исследования – процессы функционирования объекта, т.е. переменные в моделях рассматриваются как функции времени, то фа-

зовые модели называют имитационными моделями.

24

Факторные модели в большинстве случаев удается получить в явной форме

γ = f(Q),

где Q – вектор внешних параметров.

Модели, в которых искомые переменные явно выражены через известные величины, называют аналитическими моделями. В отличие от них в алгоритмических моделях вычисление значений и искомых величин связано с необходимостью решения систем уравнений. Использование аналитических моделей приводит к существенно меньшим затратам машинных времени и памяти, однако такие модели обычно уступают алгоритмическим по степени универсальности и точности.

Математические модели в большинстве случаев могут представляться как непосредственно в виде математических соотношений, так и в виде некоторого графического эквивалента, например графа или эквивалентной схемы. Такое представление нагляднее и удобнее для восприятия человеком. В случае функциональных моделей графическое представление обязательно должно сопровождаться правилами его преобразования в систему уравнений.

1.7. Классификация параметров объектов проектирования

Параметр – величина, характеризующая свойства или режим работы объекта. Среди параметров объекта проектирования следует выделить показатели эффективности, являющиеся количественной оценкой степени соответствия объекта его целевому назначению. Показатели эффективности делят на показатели: производительности; надежности; стоимости; массы; габаритных размеров; точности.

В зависимости от конкретных условий и типов объектов те или иные из показателей имеют решающее значение. Так, для радиосистем основными показателями эффективности являются пропускная способность (показатель производительности) и точность. Термин «показатель эффективности» чаще всего используется на высших иерархических уровнях проектирования применительно к сложным системам.

При макроописании конкретное проектируемое устройство может быть охарактеризовано конечной совокупностью каких-то параметров (свойств) , которые можно измерить (или вычислить) и выразить в виде одного или нескольких действительных чисел. Их можно разделить условно на три класса: внутренние, внешние и выходные.

Параметры, характеризующие отдельные компоненты проектируемого устройства, назовем внутренними параметрами. Их можно разделить на два типа: первичные внутренние (физико-технологические) параметры, которые характеризуют конструктивнотехнологические и электрофизические свойства компонент, и вторичные внутренние (электрические0 параметры, которые оценивают влияние компонент на свойства всего проектируемого устройства и могут быть определены только путем электрических

25

измерений на внешних выводах компонент. К первичным внутренним параметрам, в частности, относятся геометрические размеры отдельных областей компонент. Электрические характеристики, емкости конденсаторов, входные и выходные сопротивления и т.п.

Те внутренние параметры, которые являются независимыми друг от друга и могут варьироваться в некоторых пределах, называются управляемыми параметрами. Обозначим их вектором х=(х1, х2,…, хn).Остальные внутренние параметры, численные значения которых не варьируются в процессе решения задачи проектирования, называются неуправляемыми параметрами. В зависимости от цели проектирования неуправляемые параметры могут быть постоянными или случайными величинами.

Свойства, характеризующие влияние внешних условий на функционирование проектируемого устройства, описываются внешними параметрами. Этими параметрами могут быть начальные состояния физической системы, входные воздействия, конкретные значения времени и частоты, температура окружающей среды и т.д. Внешние параметры можно разделить на параметры, имеющие постоянные значения, и на параметры, кото-

рые являются случайными величинами.

Выходные параметры — показатели качества, по которым можно судить о правильности функционирования системы, т. е. это понятие аналогично понятию «показатель эффективности», но применяется к системам на любом иерархическом уровне.

Выходные параметры зависят как от свойств элементов, так и от особенностей связи элементов друг с другом, определяемой структурой (конфигурацией) системы. Каждый новый способ связи задает новую структуру и приводит к качественным изменениям в работе системы. К таким же изменениям в работе системы приводит и смена типа какого-либо элемента, если новый тип качественно отличен от предыдущего. Поэтому типы элементов целесообразно также относить к особенностям структуры системы.

Таким образом, задание структуры системы означает задание типов элементов и способа их связи друг с другом. Чаще всего множество вариантов структуры — счетное множество; переход от одного варианта к другому либо дискретно изменяет значение выходных параметров, либо приводит к таким качественным изменениям свойств системы, что нужно говорить вообще об изменении самого набора выходных параметров.

Если структура системы определена, то ее выходные параметры зависят только от параметров элементов и параметров внешних условий.

Иными словами, на каждом иерархическом уровне выходные параметры характеризуют свойства системы, а внутренние параметры - свойства элементов. Следует отметить, что при переходе к новому уровню рассмотрения внутренние параметры могут стать выходными, и наоборот.

Сопротивление резистора — внутренний параметр при проектировании принципиальной схемы радиоэлектронного устройства, но это же сопротивление будет выходным параметром при разработке самого резисто-

26

ра. Типичными примерами внешних параметров могут служить параметры входных сигналов, параметры нагрузки, влажность и температура окружающей среды, уровень радиации, помех и т. п.

Введем обозначения: Y = (γ1, γ2,…, γm) - вектор выходных параметров некоторой системы, X=(x1, x2,…, xn) — вектор внутренних параметров, Q = (q1, q2,…, qk) — вектор внешних параметров. Тогда

где вид функциональной зависимости определяется структурой системы. Следует отметить, что существование функции (1.1) не означает, что

она известна проектировщику объекта. В большинстве случаев связь между выходными, внутренними и внешними параметрами известна не в виде явной зависимости Y от X и Q, а задается в алгоритмической форме, например через числовое решение системы уравнений.

Если математическое описание проектируемого устройства не содержит элементов случайности (внешние факторы Q и случайные величины направляемых параметров в нем отсутствуют), то математическая модель называется детерминированной.

Математические модели, в которых приходится учитывать внешние факторы Q (или неуправляемые случайные параметры, ошибки экспери-

мента), называются вероятностными (стохастическими). В таких моде-

лях характеристики являются случайными величинами, распределения которых при постоянных значениях параметров Х определяются распределениями внешних факторов Q, т.е.(1.1) является стохастической моделью.

Уравнения, решение которых требуется для определения выходных параметров, обычно являются математическим описанием функционирования проектируемого объекта. В этих уравнениях независимыми переменными могут быть время, частота, пространственные координаты, а зависимыми переменными – фазовые переменные.

27

Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1. Условное моделирование

Условное моделирование - это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря договоренности о смысле, приписанном этой модели. Прежде всего - знаковые модели. Знак или символ - искусственный образ, чисто условно изображающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства. Отдельный знак (т.е. простейшая условная модель) обладает ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство, связь или отношение вещей, явлений, свойств и т.д. Однако, в случае применения системы знаков, эти возможности резко возрастают.

Сформулировать общие правила построения знаковых моделей невозможно, так как формирование их имеет поисковый эвристический характер.

Основные требования, предъявляемые к таким моделям:

*необходимость - невозможность использовать имеющиеся симво-

лы;

*простота - простое при равных условиях предпочтительнее слож-

ного;

*наглядность - хотя бы самое отдаленное сходство с оригиналом;

*индивидуальность - достаточное отличие от других символов;

*однозначность - недопустимость обозначения одним символом различных объектов;

*единообразие - при моделировании однородных объектов;

*определенность - сопровождение четким указанием о принятом решении;

*учет установившихся традиций.

Пример: запись кубического уравнения вида Дx3 + x2 + Ox + = 0 явно неудачна. Более удачно Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0, еще лучше A0x3 + A1x2 + A2x + A3 = 0, самая удачная A3x3 + A2x2 + A1x + A0 = 0, которую легко за-

Если знаковая модель выбрана удачно, она получает всеобщее признание, примером этого служат русские и латинские буквы, примерами неудачных - немецкие готические и иероглифы.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом. Например, структурные схемы, направленные графы систем автоматизированного управления наглядно показывают число звеньев, связи звеньев, переменные величины, действующие на входах и выходах звеньев и системы в целом.

28

К знаковым и образно-знаковым моделям относятся все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, неравенства, графики, номограммы, таблицы, алгоритмы и т.д.).

Практически при применении математических методов приходится иметь дело с математическим описанием материальных объектов, являющимися условными логическими моделями количественных отношений между размерами и числовыми значениями физических величин.

Вобщем случае физическая величина Х - это некоторое свойство материального объекта, допускающее количественное выражение, например, длина L, объем V, масса M, вообще.

Количественное значение физической величины Х в конкретном материальном объекте х - это размер физической величины Х.

Для определения размера х физической величины Х данного объекта требуется сравнить ее размер с размером {x} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу.

Врезультате измерения устанавливается числовое значение х раз-

мера х:

и размер выражается через числовое значение х и единицу измерения {x}:

Символы х, х, {x} в формуле (2.2) как условной знаковой модели моделируют размер, числовое значение и единицу физической величины Х. Знак = означает равенство объектов - оригиналов, символические модели которых расположены справа и слева от него. Эти символы называются членами формулы.

Размер х не зависит от единицы измерения {x}, от нее зависит только числовое значение х размера х.

Каждый материальный объект обладает несколькими свойствами, допускающими количественное выражение. Между различными свойствами объективно существуют конкретные связи. Они обусловливают определенные соотношения между размерами физических величин, которые можно выразить в виде формулы. Поэтому, если выбрать произвольно единицы некоторых физических величин, то через эти единицы можно выразить единицы всех остальных физических величин.

2.2. Аналогия

Аналогия - сходство различных объектов по некоторым признакам. Аналоги - объекты сходные по соответствующим признакам. Сходственные признаки - признаки, по которым объекты оказыва-

ются аналогами.

Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер.

29

Взависимости от этого различают качественную, количественную

исмешанную аналогии.

Основное значение аналогий - перенос сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключений по аналогии.

Умозаключение по аналогии - основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме:

Установлено, что объект O1 обладает свойствами C0, C1, ... , CN, C’1, ...,

C’n1.

Установлено, что объект O2 обладает свойствами C1, ... , CN, C’’1, ...,

C’’n2.

Вывод: возможно, что объект O2 обладает свойством C0, как объект O1. Если среди C’’ есть хотя бы одно свойство C’’i несовместное с C0 , то

сходство объектов по свойствам C1, ... , CN не имеет никакого значения. Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер, может

привести либо к истинному, либо - ложному выводу.

Пример, аналогия между движением жидкости и процессом распространения тепла привела к неправильному выводу о существовании теплорода.

Суждение, полученное по аналогии, нуждается в специальной проверке. Вероятность правильности этого суждения тем больше, чем сильнее связь между свойствами C, чем слабее связь между C и C’ и между C и C’’, чем больше N и чем меньше n1 n2.

Умозаключение по аналогии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов C1, ... , CN обусловливают свойство C0.

Умозаключение по аналогии - является основой аналогичного моделирования, пример, замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия новых лекарств, что неоценимо важно для развития медицины.

Общенаучное значение аналогий - прежде всего для придания наглядности, аналогия электрического тока с движением жидкости, для формирования понятий и для иллюстрации. Примеры понятий, введенных по аналогии, - теплоемкость, запоминающее устройство, электродвижущая сила. Пример иллюстрации по аналогии - иллюстрацией понятия устойчивости служит система - шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения.

Кроме того, аналогия может служить и как активизатор мышления, и как источник идей.

Пример: соотношения 11 + 21 = 31 , 32 + 42 = 52 по аналогии привели математика П. Ферма к уравнению xn + yn = zn с тремя неизвестными и к формулировке «великой теоремы» теории чисел, согласно которой это уравнение при любом целом n>2 не имеет целых положительных решений. Справедливость теоремы Ферма доказана для всех n 100, но в общем виде она остается недоказанной.

Существенное значение аналогии заключается в возможности использовать ее для строгих выводов и доказательств.

30