01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

Отношением, существующем на множестве E, называется форма связи между элементами или подмножествами этого множества. Отношения определяются словами («быть меньше, чем ...», «обладать свойствами делимости на ...», «быть одинаковым с ...») или символами(«=», « », « »).

Важнейшую роль играет отношение «быть функцией». Говорят, что на множестве E задана функция f со значениями во множестве Э, если каждому элементу e E сопоставлен элемент э Э (обозначается э=f(e)). Если при этом из e1 e2 следует f(e1) f(e2) и каждый э Э является образом некоторо-

го e E, то между E и Э существует взаимно однозначное соответствие.

В случае, когда Э есть множество действительных чисел, т.е. чисел, используемых в практических расчетах и измерениях, то функция э= f(e) называется скалярной. Часто E является множеством какихлибо функцией, тогда э называют функционалом.

Два множества имеют одинаковую мощность тогда, когда можно установить взаимно однозначное соответствие между их элементами. Множество E является бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собственных подмножеств (в противном случае E конечно). Мощность конечного множества определяется числом его элементов.

Бесконечное множество E называют счетным, т.е. допускающим принципиальную возможность пересчитать его элементы, если устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами E и элементами множества натуральных чисел.

Числовое множество E называется упорядоченным, если любые два его элемента e1,e2 связаны либо отношением e1 e2, либо отношением e1 e2(например, множество всех действительных чисел). В этих условиях ê называется верхней границей множества E, если ê e для всех e E. Наименьшей из имеющихся ê называется точной верхней границей (супремум) sup E. Аналогично определяют нижнюю и точную нижнюю гра-

ницу множеств (инфимум) inf E. Когда Ē E неограниченно сверху sup Ē =, снизу inf Ē = - .

Пример: принципиально достижимое и реально достигнутое быстродействие ЭВМ при существующем уровне развития техники (второе оказывается точной границей).

2.2 Линейные множества.

Непустое подмножество M(Ē) пространства En называется (вещественным) линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

121

1)Если вектора x и y принадлежат M, то x+y также принадлежит M.

2)Если произвольный вектор x принадлежит M, то x при любом вещественном значении числа также принадлежит M.

Из 2) видно, что если x M, то -x M. Тогда из 1) следует, что 0=x+(- x) также принадлежит M. Если мы осуществим смещение, определяемое фиксированным вектором x0 всех векторов непустого подпространства M пространства En, то получим подмножество называемое линейным много-

образием (афинным подпространством) пространства En. Оно не являет-

ся линейным пространством, так как оно не содержит 0. Прямая в En, проходящая через начало является одномерным пространством пространства En. Если сместить эту прямую, то мы получим линейное многообразие. Одно и тоже линейное многообразие может быть получено в результате смещений пространства M различными векторами.

Если максимальное число линейно независимых векторов, которые можно найти в M, равно r, то говорят, что M- r-мерное подпространство. Само пространство En можно рассмотреть как n- мерное пространство.

Гиперплоскостью в En называется множество точек x, удовлетворяющих уравнению

где aEn, a0n, b E.

Обычно приставку гипер употребляют для обозначения пространств, имеющих более чем три измерения.

Гиперплоскость задает два замкнутых полупространства (рис. 2.5)

Рис.2.4. Пространство и линейное разнообразие.

Н+ab={ab={x Ena,x b}, Н-ab={ab={x Ena,x b},

122

а также два открытых пространства

Н+ab={ab={x Ena,x b}, Н+ab={ab={x Ena,x b}

Рис.2.5. К понятию полупространств

123

124

Вектор a, называемый нормалью к гиперплоскости Нab, к ней ортогонален и направлен в сторону полупространства Н+ab (рис. 2.5). Гиперплоскость Нab и соответствующие полупространства могут быть записаны с помощью некоторой фиксированной точки Нab. При любом вещественном числе b уравнение a,x =b определяет линейное многообразие. Если задан некоторый вектор x0 En такой, что a,x0 = b, то линейное многообразие, определяемое уравнением a,x = b, можно рассматривать как смещение Нab на x0.

В качестве примера рассмотрим гиперплоскость Н={(x1, x2, x3, x4) x1+x2- x3+2x4=4}. Нормалью к ней является вектор a=(1,1,-1,2)Т. Эта же гиперплоскость может быть записана с помощью любой другой точки из Нab, например с помощью

=(0,6,0,-1)Т. В этом случае Нab={(x1, x2, x3, x4) x1+(x2-6)-x3+2(x4+1)=0}.

Любую гиперплоскость в En можно задать в виде множества решений уравнения (2.1), подобрав соответствующим образом вектора a и число b.

Любую прямую в En можно задать в виде

соответствующим образом, подобрав вектора a и c из En. Если в (2.2) число ограничено сверху или снизу, то получаем луч. Если ограничено сверху и снизу, то множество (2.2) задает отрезок.

Отрезком, соединяющим две данные точки x1,x2 в En называется множество таких точек, координаты xj которых связаны с координатами x1 и x2 соотношениями вида

{xj En xj= xj1+(1- )xj2, 0 1, j=1:n}.

Конкретный выбор определяет положение x на отрезке (при =1 точка x совпадает с x1, при =0 - с x2, при 0 1 располагается между ними). Отношение, в котором находятся рассматриваемые x1, x2, x можно определить равенством

x= x1+(1- )x2 (0 1).

Понятие «отрезок» тождественно понятию «замкнутый интервал» (рис 2.6)

2.3 Открытые, замкнутые, компактные множества.

Множество вида

U (x0)={x En p(x,x0)< }

124

125

называют открытым шаром радиуса с центром в точке x0 En или - окрестностью точки x0 (рис 2.7, a). Аналогично определяется замкнутый шар Ū (x0) (рис. 2.7, б) как

множество точек x En, для которых p(x,x0) , т.е.

Ū (x0)={x En p(x,x0) }.

Рис2.6 К понятию отрезок (замкнутый интервал)

Точку x E (E En) называют внутренней точкой множества E, если найдется такое 0, что U (x) E, т.е. если точка x принадлежит множеству E вместе со своей некоторой окружностью (рис 2.8, а). В этом случае, когда каждая точка множества E является внутренней, это множество называют открытым множеством, например,

U (x0).

Рис.2.7 Открытый (а) и закрытый шары.

Точку пространства En называют граничной точкой множества E En, если в ее окрестности любого радиуса 0 имеется хотя бы одна точка из E и хотя бы одна точка, не принадлежащая E (рис 2.8, б). Совокупность граничных точек множества образует его границу. Множество, включающее свою границу, называют замкнутым множеством.

Изолированная точка x E имеет окрестность, в которую не входят никакие другие точки множества E кроме самой точки x (рис. 2.8, в). Множество, содержащее только изолированные точки, называют дискретным множеством, и она обязательно бывает либо конечным, либо счетным.

Крайняя точка не может находиться на отрезке, соединяющем какиелибо две точки x1,x2 из E (рис. 2.8, г). Крайняя точка является одновременно и граничной, но обратное утверждение неверно.

Окрестностью произвольной точки x0 En называется любое множество О En,

125

126

Рис.2.8. К понятию внутренняя (а), крайняя (б), изолированная (в), крайняя (г) точки.

содержащее открытый шар U (x0), 0. Окрестность О является множеством всех таких x, расстояние которых от x0 меньше некоторой малой положительной величины. В частности, О может быть задано неравенством xj-xоj , где xj- координаты x 0; x0j- координаты x0 (j=1:n); - некоторое положительное число (рис 2.9).

Рис.2.9. К понятию окрестности.

Любое подмножество Н множества En является ограниченным, если оно содержится в каком либо замкнутом шаре Ū (x0). В этом случае диаметром множества Н называется точная верхняя граница расстояний между принадлежащими ему точками.

Замкнутое и ограниченное множество называют компактным множеством или компактом. Примеры компактов: конечное множество точек в En; замкнутый шар, т.е. множества вида

{x En ρ(x,x0) }.

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.

2.4 Выпуклые множества.

Множество A E называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x1 и x2 содержит отрезок, соединяющий их, т.е. множества вида

[x1x2]={x En x= x1+(1- )x2, 0 1}.

Рассмотренные выше полупространства являются выпуклыми множествами. Проверим, например, выпукло ли полупространство Н+ab{x En a,x b}. Для этого рассмотрим две произвольные точки x1 и x2 этого полупространства. Для этих точек выполнены неравенства

a,x1 b, a,x2 b.

Сложим эти два неравенства, предварительно умножив первое на произвольное

число [0,1], а второе на 1- . В результате получим неравенство

a,x1 + (1- ) a,x2 = a, x1 + (1- )x2 b.

Поскольку произвольно, весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит данному полупространству. Следовательно, полупространство действительно является выпуклым множеством.

126

127

Рис.2.10.выпуклое(а), невыпуклое(б) множества.

Глава 3.Основные сведения о функциях.

3.1 Понятие функций.

Пусть X и Y два множества. Если указано правило, согласно которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный элемент множества Y, то говорят, что задана функция f, отображающая X в Y. Этот факт записывают в виде f: X Y или y=f(x), где x X, y Y. Множество X называется областью данных или областью определения функции, а множество Y- множество значений. Функция f(x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению x поставить в соответствие единственное значение y=f(x). В этом случае x- независимая переменная, y- зависимая переменная. Функции y=f(x)=f(x1+x2,..,xn), т.е. функции с областью задания X En и множеством значений Y E называют числовыми функциями в отличие от векторных функций, для которых Y Em, m>1.

Множество вида

{(x,y) En+1 y=f(x) при некоторых x X}

называют графиком функции y=f(x).

Ряд физических процессов можно описать с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x, принадлежащей областям их определения.

Функцию f называют непрерывной в точке x0 X, если для любого числа >0 можно указать такое число >0, что для всех x X x0 выполняется неравенство f(x)-f(x0) < . Согласно данному определению функция f в изолированной точке всегда непрерывна. Напомним, что точка x X называется изолированной точкой множества X, если существует ее окрестность, которая не содержит никаких других точек из X, кроме самой точки x. Функцию, непрерывную в каждой точке множества X, называют непрерывной на множестве X (или просто непрерывной, если X=En).

В качестве примеров функций, непрерывных на En, приведем линейную функцию f1(x)=<c,x>+b=c1x1+c2x2+..+cnxn+b и квадратичную функцию f2(x)=1/2<Qx,x>+<c,x>+b,

где Q- числовая симметрическая матрица размера n*m, с- некоторый вектор из

127

128

En и b- некоторое число, а Qx означает произведение матрицы на вектор по правилам перемножения матриц, принятых в линейной алгебре.

3.2.Классификация функций.

3.2.1.Разрывные и дискретные функции.

В инженерных приложениях нередки случаи, когда приходится использовать

разрывные функции. Например, затраты на сообщение некоторой системе количества

тепла при различных температурах системы получаем кусочнонепрерывную кривую (рис 3.1). возможны случаи, когда переменная принимает дискретные значения(рис 3.2).

В зависимости от того, является ли исследуемая функция непрерывной или разрывной следует использовать различные методы исследования. Необходимо отметить, что метод эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

Функции можно также классифицировать в соответствии с их формой, определяющей топологические свойства функций в рассматриваемом интервале.

3.2.2. Монотонные функции.

Функция f(x) является монотонной (рис 3.3) как при возрастании , так и убывании), если для двух произвольных точек x1 и x2, таких, что x1<x2 выполняется одно из следующих неравенств:

128

129

f(x1) f(x2) (монотонно возрастающая функция) f(x1) (x2) (монотонно убывающая функция)

Рис.3.3. К понятию монотонной функции.

На рис 3.4 изображен график функции, которая монотонно убывает при x 0 и монотонно возрастает при x 0. Функция достигает своего минимума в точке x=x* (начале координат0) и монотонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называются унимодальными. Заметим что унимодальная функция вовсе не должна быть гладкой (рис. 3.4, а) и даже непрерывной (рис.3.4,б), она может быть изломанной (недифференцируемой), разрывной (рис 3.4, в), дискретной (рис. 3.4 г) и даже может в некоторых интервалах не быть определенной (рис. 3.4, д.).

Итак функция f(x) называется унимодальной на отрезке [a;b], если она непрерывна на [a;b] и существуют числа и a b, такие, что

1)если a , то на отрезке [a; ] f(x) монотонно убывает;

2)если b то на отрезке[ ;b] f(x) монотонно возрастает;

3)при x [ ; ] f(x)=f*=min[a;b] f(x);

Рис.3.4.Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная, г) дискретная, д) произвольная.

возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков [a; ], [ ; ], [ ;b]

(рис 3.5).

129

130

Рис.3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции.

множество функций, унимодальных на отрезке [a;b] будем обозначать Q[a;b]. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

3.2.3. Выпуклые, псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции.

Выпуклые функции и их обобщения (псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции) играют важную роль в теории оптимизации. С помощью этих функций будут сформулированы достаточные условия оптимальности.

Числовую функцию f, определенную на выпуклом множестве X, X En, называют выпуклой, если для любых двух точек x1,x2 X и произвольного числа[0,1] выполняется неравенство

Неравенство противоположного смысла определяет вогнутую функцию, причем часто используются термины «выпуклая вниз (1)» «выпуклая вверх (2)» (рис3.6).

Рис.3.6. 1) Выпуклая (выпуклая вниз) функция, 2) Вогнутая (вогнутая вверх)функция.

Геометрически выпуклость функции f означает, что любая точка произвольной хорды графика f располагается не ниже соответствующей точки самого графика (лежит ниже хорды, соединяющей две точки ее графика ),(рис 3.6., кривая 1 ).

130