01-09-2014_14-57-50 / Моделир. Оптим.(з)_Подобие_ЛП_лекц

6.6. Имитационные модели

В имитационных моделях моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит процесс-оригинал в смысле его функционирования во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Сущность рассматриваемого метода моделирования состоит в реализации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит формализованный процесс сложной системы. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии процесса (входной информации) и его параметрах, получить информацию о состояниях процесса в произвольные моменты времени.

В моделирующем алгоритме можно выделить три основных типа подалгоритмов, выполняющих одну из следующих функций:

моделирование какого-либо элементарного подпроцесса исследуемого процесса;

учет взаимодействия элементарных подпроцессов и объединение их в единый процесс;

обеспечение согласованной работы отдельных подалгоритмов при реализации модели на ЭВМ.

Процесс моделирования начинается с определения цели разработки модели, на основе которой затем устанавливаются границы системы и необходимый уровень детализации моделируемых процессов. Выбранный уровень детализации должен позволять абстрагироваться от неточно определенных из-за недостатка информации аспектов функционирования реальной системы. В описание системы должны быть включены критерии эффективности функционирования системы и оцениваемые альтернативные решения, которые могут рассматриваться как часть модели или как ее выходы.

Оценка альтернативных решений по заданным критериям эффективности рассматриваются как выходы модели. Обычно оценка альтернатив требует внесения изменений в описание системы и, следовательно, перестройки модели. Поэтому на практике процесс построения модели является итеративным. После того как на основе полученных оценок альтернатив могут быть выработаны рекомендации, можно приступить к внедрению результатов моделирования. При этом в рекомендациях должны быть четко сформулированы как основные решения, так и условия их реализации.

После окончания разработки имитационной модели с ней проводятся машинные эксперименты, которые позволяют сделать выводы о поведении системы:

без ее построения, если это проектируемая система;

111

без вмешательства в ее функционирование, если это действующая система, экспериментирование с которой или слишком дорого, ил небезопасно;

без ее разрушения, если цель эксперимента состоит в определении пределов воздействия на систему.

В настоящее время имитационное моделирование используется для исследования разнообразных систем, в частности городских, экономических, коммерческих, производственных, транспортных систем, систем здравоохранения и др.

Ключевым моментом имитационного моделирования является выделение и описание состояний системы. Система характеризуется набором переменных, каждая комбинация которых описывает ее конкретное состояние. Следовательно, путем изменения значений переменных можно имитировать переход системы из одного состояния в другое.

Таким образом, имитационное моделирование – это представление динамического системы посредством продвижения ее от одного состояния

кдругому в соответствии с определенными операционными правилами. Изменения состояния системы могут происходить либо непрерывно,

либо в дискретные моменты времени.

Для качественной оценки сложной системы удобно использовать результаты теории случайных процессов. Опыт наблюдения за объектами показывает, что они функционируют в условиях действия большого количества случайных факторов, поэтому предсказание поведения сложной системы может иметь смысл только в рамках вероятностных категорий. Другими словами, для ожидаемых событий могут быть указаны лишь вероятности их наступления, а относительно некоторых значений приходится ограничиться законами их распределения или другими вероятностными характеристиками (например, средними значениями, дисперсиями и т.д.).

Для изучения процесса функционирования каждой конкретной сложной системы с учетом случайных факторов необходимо иметь достаточно четкое представление об источниках случайных воздействий и весьма надежные данные об их количественных характеристиках. Поэтому любому расчету или теоретическому анализу, связанному с исследованием сложной системы, предшествует экспериментальное накопление статистического материала, характеризующего поведение отдельных элементов и системы в целом в реальных условиях. Обработка этого материала позволяет получить исходные данные для расчета и анализа.

Основными источниками случайных воздействий являются факторы внешней среды и отклонения от нормальных режимов функционирования (ошибки, шумы и т.д.), возникающие внутри системы.

Из сказанного следует, что учету случайных факторов при исследовании сложных систем необходимо уделить весьма серьезное внимание.

Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется при помощи случайных чисел с заданными вероятностными характеристиками. При этом результаты, получаемые при однократном моделировании,

112

следует расценивать лишь как реализации случайного процесса. Каждая из таких реализаций в отдельности не может служить объективной характеристикой изучаемой системы. Искомые величины обычно определяются усреднением и статистической обработкой данных большого числа реализаций, поэтому часто такой подход называют еще методам статистического моделирования. Однако имитационные модели могут применяться и в детерминированном случае, где нет никаких статистических задач.

Метод статистического моделирования позволяет вычислить значение любого функционала, заданного на множестве реализаций изучаемого процесса. Например, имея возможность находить значение показателя эффективности системы с помощью статистических испытании, можно решать целый ряд задач анализа сложных систем, таких как: оценка влияния на эффективность изменений различных параметров системы или начальных условий; оценка эффективности различных принципов управления.

Результаты моделирования оказываются полезными и при синтезе системы для оценки качества тех пли иных вариантов ее структуры, перспективного планирования.

Однако методу статистического моделирования присущ общий недостаток любых численных методов – полученные результаты этого метода носят частный характер и оценивают эффективность системы лишь в тех ситуациях, для которых проводилось моделирование.

Несмотря на этот весьма серьезный недостаток, имитационное моделирование является в настоящее время наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а иногда и единственным практически доступным средством получения интересующей информации о поведении системы (особенно на стадии ее проектирования или модернизации).

Имитационные модели (ИМ) являются наиболее универсальными и могут быть построены при отсутствии математической модели оригинала.

Идея имитационного моделирования очень проста и заключается в том, что строится некий алгоритм поведения подсистем и отдельных элементов систем во времени. При анализе производительности интересно только состояние подсистем (работает или не работает). Этот алгоритм может быть реализован в виде программы для ЭВМ. Многократно «прогоняя» ИМ в условиях случайных потоков событий на входе и в самой системе, можно накопить статистическую информацию об изменении существенных переменных состояниях ММ. Статистическая обработка этой информации позволяет получить статистические оценки показателей эффективности. В отличие от аналитических моделей имитационная модель обладает принципиальной методической погрешностью, существенно зависящей от объема выборки и, соответственно, от времени наблюдения за ИМ.

6.7. Условия использования имитационных моделей

113

Использовать имитационную модель большой системы, при решении задач проектирования, возможно в следующих случаях:

1.не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели;

2.аналитические методы существуют, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи;

3.кроме оценки выходных параметров, требуется осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода времени;

4.имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью при постановке экспериментов и наблюдения явлений в реальных условиях (например: изучения поведения космических кораблей в условиях межпланетных полетов);

5.для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку время протекания процесса или явления может быть ускоренно или замедленно по желанию;

6.дополнительное преимущество имитационного моделирования состоит в том, что использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и «разыгрывать» на модели реальные процессы и ситуации. Это позволяет понять и прочувствовать проблему, что стимулирует процесс поиска нововведений в большой системе;

7.имитацию можно использовать для изучения новых ситуаций, относительно которых или не известно ничего, или известно очень мало. Таким образом, имитация может служить для предварительной проверки новых стратегий и правил принятия решений перед проведением экспериментов на реальной системе;

8.для некоторых типов стохастических моделей особые значения имеет последовательность событий. Данные только об ожидаемых значениях могут оказаться недостаточными для описания процесса. В этих условиях единственным удовлетворительным способом получения нужной информации может служить имитационная модель. Имитацию можно использовать для предсказания узких мест и других трудностей, возникающих в поведении больших систем при введении в нее новых элементов.

6.8. Недостатки имитационных моделей

Имитационные модели обладают рядом существенных недостатков:

1.Разработка хорошей имитационной модели часто обходится дорого

итребует больших затрат времени.

2.Иногда, кажется, что имитационная модель отражает реальное положение вещей, хотя в действительности это не так. Если не учитывать

114

этого, то некоторые свойственные имитации особенности могут привести к неверному решению.

3.Имитационная модель в принципе неточна, и нет возможности измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.

4.На имитационной модели можно получить ответ только после очередного имитационного эксперимента и возможности прогнозирования имитационного моделирования значительно меньше, чем аналитического моделирования.

Тем не менее, имитационное моделирование широко используется при решении задач синтеза больших систем, т.к. позволяет производить детализацию систем любого уровня сложности и исследовать динамику развития процесса процессов.

115

ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

Введение

Оптимизацияэто выбор наилучшего решения. О некоторых задачах определения максимальных и минимальных значений писали еще Аристотель (384-322 годы до н. э.), Евклид (III в до н. э.) и Архимед (287212 годы до н.э.). По легенде основание города Карфагена (825 г. до н. э.) связывают с древнейшей задачей определения замкнутой плоской кривой, охватывающей фигуру максимально возможной площади. Подобные задачи называются изопериметрическими.

Начиная с XVII века, доминирующим становится представление о том, что законы окружающего нас мира являются следствием некоторых вариационных принципов. Первым из них был принцип П. Ферма (1660 г.), в соответствии с которым траектория света, распространяющегося от одной точки к другой, должна быть такова, чтобы время прохождения света вдоль этой траектории было минимально возможным. Впоследствии были предложены различные вариационные принципы, например: принцип стационарного действия У. Р. Гамильтона (1834 г.), принцип виртуальных перемещений, принцип наименьшего принуждения и др.

Параллельно развивались и методы решения экстремальных задач. Около 1630 г. Ферма сформулировал метод исследования на экстремум для полиномов, состоящий в том, что в точке экстремума производная равняется нулю. Для общего случая этот метод получен И. Ньютоном (1671 г.) и Г. В. Лейбницем (1684 г.), работы которых знаменуют зарождение математического анализа. В 1696 г. И. Бернулли (ученик Лейбница) сформулировал задачу о кривой, соединяющей две точки A и B, двигаясь по которой из т. A в B под действием силы тяжести, т. А достигает В за минимально возможное время.

Термин «оптимум» впервые был введен создателем дифференциального исчисления Г. Лейбницем в XVIII в. Он взял за основу латинское слово optimus , что означает «наилучший».

Однако более раннее значение этого слова, как указывает Д. Уайлд, следует связывать с именем богини древнеиталийского племени сабинов – Опы, которая считалась богиней плодородия и урожая. Согласно древнеримской мифологии, богиня Опа была женой бога времени Сатурна и матерью Юпитера, бога – охранителя римского государства. Богиня Опа держит в одной руке рог изобилия, мифологический источник благ, а в другой – весы, символизирующие измерение и решение. Имя этой богини слышится не только в латинском слове «изобилие» (в оригинале cornucopiaрог изобилия; лат. copiaмножество, запас), но и в словах, употребляемых в современном языке для обозначения продуктов труда – «опус» и «опера», а также в слове «операция», означающем процесс создания продуктов труда. Дисциплина, близкая по назначению к оптимальному

116

проектированию, имеет название «исследование операций», и в этом названии также отражено имя богини изобилия.

Дальнейшее развитие теории экстремальных задач привело в XX веке к созданию линейного программирования, выпуклого анализа и других разделов, одним из которых является теория оптимального управления.

В настоящее время теория оптимизации вносит заметный вклад в ускорение научно – технического прогресса. Это объясняется тем, что весьма актуальными стали вопросы наилучшего управления различными процессами физики, техники, экономики и др. Сюда относится задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую с наименьшей затратой энергии, задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима, оценка оптимальности асинхронных двигателей, оптимизация электроприводов, оптимизация объединенных электрических цепей и др. задачи.

Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поэтому классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех возможных вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем с использованием ЭВМ. Поэтому для изучения основ оптимизации требуется знание теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциального исчисления, математического анализа.

Теория оптимизации находит эффективное применение во всех направлениях инженерной деятельности, и, в первую очередь, в следующих четырех ее областях:

1)проектирование систем и их составных частей;

2)планирование и анализ функционирования существующих систем;

3)инженерный анализ и обработка информации;

4)управление динамическими системами.

Следует иметь в виду, что оптимизация – всего лишь один этап в процессе формирования оптимального проекта или условий эффективного функционирования системы. Указанный процесс является циклическим и включает синтез (определение) структуры системы, построение модели, оптимизацию параметров модели и анализ полученного решения (рис.1.). При этом оптимальный проект или новый план функционирования системы строится на основе решения серии оптимизационных задач, способствующего дальнейшему совершенствованию системы.

Несмотря на то, что методы теории оптимизации отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной степени зависит от

117

профессиональной подготовки инженера, который должен иметь четкое представление о специфических особенностях изучаемой системы.

Инженерное

проектирование

Определение потребностей и установление лимитов

Рис.1. Этапы процесса инженерного проектирования

118

Глава 2.Элементы теории множеств.

2.1. Основные понятия

Под множеством обычно понимают некоторый набор (совокупность) элементов произвольной природы. Например, совокупность короткозамкнутых асинхронных двигателей серии 4A, набор сопротивлений и т.д. Множества вещественных, натуральных и целых чисел являются примером числовых множеств.

Каждый из таких элементов в отдельности есть элемент множества. Фразу «е является элементом множества Е» («е принадлежит множеству Е») записывают, кратко в виде е Е. Если е не принадлежит множеству Е, то пишут е Е.

Пусть a, b, c...-элементы множества E. Используя фигурные или круглые скобки можно записать

E={a, b, c,...}=(a, b, c,...).

Если элементы множества E суть все целые числа от k до l (k l), то для обозначения e можно использовать более простую запись:

e={k, k+1,...,e–1,e}=k:e.

Например, множество натуральных чисел от 1 до n можно записать

так:

{1, 2, ..., n}=1:n.

Элементы множества могут быть пронумерованы или каждому элементу множества может быть прописан некоторый индекс, причем так, что все элементы имеют разные индексы. Например, E={e1, e2, ...,en}. Используя обозначение 1:n, множество E запишем в виде:

E=e[1:n],

где ei=e[i] - элемент множества E.

Если множество E состоит из элементов e, обладающих определенным свойством P(e), то пишут E={e/ P(e)}. Например (0, 1] = {e/0 x 1}. Для указания множества E1, элементы e которого принадлежат E2 и, кроме того, обладают свойством P(e), используют обозначение:

E1={e E2/P(e)}.

Множество можно изобразить кругом Эйлера - считать его множеством точек, ограниченных окружностью: на рис 2.1 показано включение e E.

119

Множество Ē представляет собой некоторое подмножество множества E (Ē E), если каждый элемент e, принадлежащий Ē, одновременно принадлежит и E. (рис.2.2.). В случае, когда Ē не содержит ни одного элемента (т.е. является пустым множеством, Ē =Ø), оно может рассматриваться как подмножество любого множества. Ē является истинным или собственным подмножеством E при условиях Ē Ø, Ē E (обозначается Ē E).

Знаки « », « » называют знаками включения (соответственно строго и не строго) одного множества в другое. Равенство E1=E2 имеет место тогда и только тогда, когда одновременно E1 E2 и E2 E1, т.е. состоят из одних и тех же элементов.

Пересечение множеств E1 и E2 (E1 E2) есть множество всех элементов e, содержащихся в E1 и в E2 (рис 2.3, а). Множества E1 и E2 являются непересекающимися, если E1 E2= Ø. Например, множества малых и больших ЭВМ вычислительного центра.

Операция пересечения множеств обладает сведущими свойствами:

10) E1 E2=E2 E1,

20) (E1 E2) E3=E1(E2 E3), 30) E1 E1=E1; E1 Ø = Ø,

где E1,E2,E3 - произвольные множества.

Объединение множеств E1 и E2 (E1 E2) есть множество всех элементов e, содержащихся либо в E1, либо в E2, либо и в E1 и в E2 (рис 2.3, б), т.е. в объединении находятся элементы, принадлежащие E1, E2 и обоим множествам вместе. Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

10) E1 E2=E2 E1,

20) (E1 E2) E3=E1(E2 E3), 30) E1 E1=E1 ; E1 Ø =E1.

Разностью множеств E1 и E2 называют множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству E1, но не принадлежат множеству E2 (E1\E2) т.е. совокупность всех e E1, таких что eE2 (рис 2.3, в).

Рис.2.3. (а) Пересечение, (б) объединение, (в) разность множеств

Если E2 - одноэлементное множество, т.е. E2={e}, то E1\{e} будем записывать и проще: E1–e. Число элементов во множестве E1 (обозначаетсяE1=e) называется мощностью конечного множества. Для бесконечного множества E2 мощность считается равной бесконечности ( E2 = ∞).

120