Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Burlakova_Matematika_ryadi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

523.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x)	x	с периодом
2l, заданную на отрезке 1;1 .
Решение: изобразим график данной функции на		промежутке

1;1 и ее периодическое продолжение на всю числовую ось.

−2

Данная функция является четной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем l 1:

	2		1	1				x2				1
	2		1	1				x2				1
a0			f (x)dx 2 xdx 2									1
a0		1	f (x)dx 2 xdx 2						2			1
			0	0								0						1
			0	0								0
			1			1							sin nx
													sin nx	cos nx
an 2 f (x)cos nxdx 2 xcos nxdx 2 x
an 2 f (x)cos nxdx 2 xcos nxdx 2 x													n		2	n	2
			0			0							n			n		0
	2				4
										,		n нечетное,
										,		n нечетное,
				(cos n 1)	2	n	2
	2n2			(cos n 1)	2		2
	2n2										n четное.
					0,						n четное.

Подставив найденные значения в ряд Фурье, получим искомое разложение данной функции:

	1	4		cos3 x	cos5 x

x			cos x			... .
	2	2		32	52

Полученное равенство справедливо при любом значении x. В частности, при x 0 получаем:

2	1	1	1	1	... .
8		32	52	72

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) x 5 в интер-

вале ( 3;3).

Решение: данная функция не является периодической. Она задана лишь в интервале. Если допустить, что выполняется условие, то получим периодическую функцию с периодом T 2l 2 3 6. Эту периодическую функцию разложим в ряд Фурье. Полученное разложение в ряд будет вместе с тем и разложением заданной функции в интервале ( 3;3).

Определим коэффициенты Фурье:

	1 3		1		3	1 x2		3	1	9		9		10;
a0			f (x)dx		(x 5)dx			5x			15		15
		3 3				3	2			2		2
				3 3				3	3
								40

	1 3		n		1 3		n		1 3		n	5 3		n
an		f (x)cos		xdx		(x 5)cos		xdx		xcos		xdx	cos		xdx.
			3		3		3		3		3			3
	3	3				3				3		3	3

Первый из этих интегралов равен нулю, так как под знаком интеграла имеется нечетная функция, а интервал интегрирования симметричен относительно начала координат. Под знаком второго интеграла находится четная функция, поэтому

			10	3 cos	n			10			sin	n		x	3
												n			3
an						xdx							3			0;
an					3	xdx					n					0;
		3			3		3				n
				0
	1 3			0	n		1 3					3			0	n		1 3		n	5 3		n



bn			f	(x)sin			xdx			(x 3)sin							xdx		xsin		xdx	sin		xdx 0.
bn			f	(x)sin			xdx			(x 3)sin						3	xdx	3	xsin	3	xdx	sin	3	xdx 0.
	3	3				l			3 3							3		3	3	3	3	3	3

Второй из полученных интегралов равен нулю, так как под знаком интеграла находится нечетная функция. Под знаком первого интеграла имеется четная функция, поэтому

	2	3				n		2		3		n	9				n		3	2	9
bn		xsin					xdx		x		cos					sin		x				cos n
bn	3	xsin				3	xdx	3	x	n	cos	3	2	n	2	sin	3	x		3	n	cos n
	3	0				3		3		n		3		n			3	0		3	n
		6	,		n нечетное,
			,		n нечетное,
	n
		6
				,		n четное.
				,		n четное.

Следовательно,

f (x) 5	6		x	1		2 x	1		3 x	1		4 x		−
		sin			sin			sin			sin		...
			3	2		3	3					3
									3 4

разложение в ряд Фурье данной функции в интервале ( 3;3).

Задания для самостоятельной работы

1. Разложить в ряды Фурье функции с периодом 2 . Изобразить графики функций:

1)	3,		x 0,	x,		x 0,
	f (x)	2,	2)	f (x)	0,	0 x ;
			0 x ;
3)	x,		x 0,
	f (x)	3x,	0 x .

2. Разложить в ряды Фурье функции f (x) с периодом 2 в задан-

ном интервале. Изобразить графики функций:
1) f (x)	x	,	x ;	2) f (x)	x	,	x ;
	x

2				41
2

f (x)

sinx

x ;

4) f (x)

, x .

3. Разложить в ряды Фурье функции f (x)

с периодом 2l

в задан-

ном интервале. Изобразить графики функций:

f (x) 4 x2,

2 x 2,

2l 4;

2) f (x)

2 x 2,

2l 4;

f (x) x 1,

1 x 1,

2l 2;

4) f (x) ex,

2 x 2,

2l 4.

4. Разложить в ряды Фурье функции f (x)

в заданном интервале.

Изобразить графики функций:

1 x 0,

f (x)

( 1;1);

f (x)

( 1;1);

( 2;2).

0 x 1;

f (x) 2

			ЛИТЕРАТУРА
1.	Власова,	Е.А.	Ряды: учебник / Е.А Власова. – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 216 с.
2.	Годфри,	Г.	Харди. Ряды Фурье / Г. Харди Годфри,

В.В. Рогозинский. – М: КомКнига, 2006. – 115 с.

3.Голубов, Б.И. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения / Б.И. Голубов, А.Ф. Ефимов, В.А. Скворцов. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 250 с.

4.Гофман, В.Г. Высшая математика: курс лекций / В.Г. Гоф-

ман. – М.: МГТА, 2002. – 255 с.

5.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для студентов втузов: в 2 ч. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 4-е изд. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с.

6.Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие для втузов / Б.П. Демидович. – М:

АСТ, 2002. – 465 с.

7.Зимина, О.В. Высшая математика: решебник / О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. – 2-е изд., испр. – М.: Физикоматематическая литература, 2001. – 368 с.

8.Краснов, М.В. Вся высшая математика: учебное пособие. Т.3: Теория рядов / М.В. Краснов. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 465 с.

9.Натансон, И.П. Краткий курс высшей математики: учебное пособие / И.П. Натансон. – М.: Лань, 2007. – 560 с.

10.Овсянникова, С.Н. Числовые и функциональные ряды: конспект лекций / С.Н. Овсянникова. – Орел: Изд-во ОрелГТУ, 2008. – 54 с.

11.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-пресс, 2007. – 154 с.

12.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.

13.Титчмарш, Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье: учебник / Э.Ч. Титчмарш. – М.: КомКнига, 2007. – 204 с.

14.Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие / В.С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2007. – 301 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Числовые ряды

Числовой ряд

a1 a2

... an

n 1

n-я частичная

Sn ak

сумма ряда

k 1

Ряд сходящийся

lim Sn S

Необходимое ус-

сходится, то lim an 0 сходи-

Если ряд an

ловие сходимости

n 1

ряда

мости ряда

Достаточное ус-

расходится

lim an 0, то ряд an

ловие расходимо-

n 1

сти ряда

Геометрический

a aq aq2... aqn

... aqn ,

ряд

n 1

ряд сходится при

1, S

1 q

ряд расходится при

Гармонический

...

ряд

n 1 n

ряд расходящийся

Обобщенный

p R,

гармонический

n 1 n

ряд (ряд Дирихле)

ряд сходящийся при p 1,

ряд расходящийся при p 1

Знакоположи-

an ,

an 0

тельный ряд

n 1

Достаточные признаки сходимости для ряда an ,

an 0

n 1

Признаки сравне-

а)

an bn , n

ния для рядов

если ряд (2) сходящийся, то ряд (1)

(1)

сходящийся;

n 1

если ряд (1) расходящийся, то ряд (2)

расходящийся;

и bn (2),

б)

если lim

l 0, то оба ряда сходящиеся

n 1

0,b 0

n b

или оба ряда расходящиеся

Признак Даламбе-

lim

an 1

l ,

ра

n an

l 1 − ряд сходящийся,

l 1 − ряд расходящийся,

l 1 − дополнительное исследование

Радикальный при-

limn

l ,

знак Коши

l 1 − ряд сходящийся,

l 1 − ряд расходящийся,

l 1 − дополнительное исследование

Интегральный

a1 a2 ... an ...,

признак Коши

Сущ.

f (x), такая, что f (n) an, n.

Тогда интеграл

f (x)dx сходящийся (или

расходящийся) одновременно

с данным рядом

Знакопеременный

где an

− данные числа, как положи-

ряд

an ,

n 1

тельные, так и отрицательные

Знакочередую-

a1 a2

a3 ... ( 1)n an ( 1)n an ,an 0

щийся ряд

n 1

Признак Лейбница

Ряд ( 1)n an

сходится, если

n 1

1)a a

... a

... и 2) lim a

Достаточный при-

Если ряд

сходится, то сходится

знак сходимости

n 1

и ряд an

n 1

Ряд an , абсо-

Если ряд

сходящийся

n 1

лютно сходящийся

Ряд an , условно

Если ряд an

сходящийся, а ряд

n 1

сходящийся

расходящийся

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональный

un (x)

ряд

n 1

n-я частичная сум-

Sn (x) uk (x)

ма ряда

k 1

Сумма ряда

S(x) lim Sn(x)

n-й остаток ряда

rn (x) S(x) Sn(x) uk (x)

Степенной ряд

k n 1

anxn или an (x a)n ,

n 0

Радиус сходимости

где a,a1, a2,... − действительные числа

R lim

или R lim

степенного ряда

n an 1

n n

Ряд Тейлора для

(a)(x a)k

f (x) f

функции f (x)

k 0

Ряд Маклорена для

(0)xk

f (x) f

функции f (x)

k 0

Формулы разложения элементарных функций в ряд Маклорена

ex 1 x x

... x

n 0

sinx x x

... ( 1)n

2n 1

... ( 1)n

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

cosx 1 x

... ( 1)n

(2n)!

n 0

(2n)!

(1 x)m 1 m x m(m 1) x2

... m(m 1)...(m n 1) xn ...

1 m(m 1)(m 2)...(m n 1) xn ,

1 x 1

n 1

1 x x2

... ( 1)n xn

1 x 1

... ( 1)n xn ,

1 x

n 0

1 x x2

... xn

1 x 1

... xn ,

1 x

n 0

( 1)

n 1

ln(1 x) x

... ( 1)n 1

...

xn ,

1 x 1

n 1

2n 1

arctgx x

... ( 1)n

...

( 1)n

2n 1

n 0

1 x 1

arcsinx x

1 x3

1 3

1 2 ... (2n 1)

x2n 1

...

2 4

2 4 ... 2n

2n 1

(2n 1)!!

2n 1

1 x 1

(2n)!!

n 1

2n 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Ряды Фурье

Ряд Фурье для перио-

дической функции f (x)

f (x)

(an cosnx bn sinnx),

n 1

с периодом 2

где a0

f (x)dx,

f (x)cosnxdx,

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

Ряд Фурье для четной

f (x)

an cosnx,

периодической функ-

n 1

ции f (x) с периодом 2

где a0

f (x)dx,

f (x)cosnxdx,

n 1,2,...

Ряд Фурье для нечетной

f (x)

bn sinnx,

периодической функ-

n 1

ции f (x) с периодом 2

где bn

f (x)sinnxdx,

n 1,2,...

Ряд Фурье для перио-

дической функции f (x)

f (x)

an cos

bn sin

n 1

с периодом 2l

1 l

где a0

f (x)dx,

1 l

dx,

f (x)cos

1 l

dx,

f (x)sin

n 1,2,...

Ряд Фурье для четной

f (x)

an cos

периодической функ-

n 1

ции f (x) с периодом 2l

где a0

f (x)dx,

2 l

dx,

f (x)cos

n 1,2,...

6	Ряд Фурье для нечетной				nx
6	Ряд Фурье для нечетной	f (x) bn sin			nx	,
	периодической функ-	f (x) bn sin				,
	периодической функ-	n 1			l
	ции f (x) с периодом 2l	где bn	2 l				nx	dx,
				f (x)sin					n 1,2,...
			l	f (x)sin			l		n 1,2,...
				0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151.89 Mб26Bobylev_kulturarechi_2001.pdf
#
28.03.20151.13 Mб153bobylev_kyltura_rechi_1.pdf
#
28.03.20151.41 Mб19Bobylev_prakt_po_ritor.pdf
#
12.03.20162.41 Mб46Bodrov.rtf
#
15.12.2018195.5 Кб6BO_vse_temy.docx
#
28.03.2015523.82 Кб10Burlakova_Matematika_ryadi.pdf
#
24.09.2019158.72 Кб3BZhD_1.doc
#
28.03.2015506.88 Кб60Chernova_statistika_1.doc
#
11.11.2019639.49 Кб8Chernova_statistika_2.doc
#
09.11.201965.39 Кб4Chistovik.docx
#
28.03.20151.83 Mб12chistyakov.doc