Burlakova_Matematika_ryadi

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) ( 1)n 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

523.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

ж) общий

член

данного ряда

эквивалентен при

ln 1

n дроби

. Сравним данный ряд со сходящимся рядом

n 1

при p 2 1 , тогда b

Применим второй признак сравнения. Так как

ln 1

lim

ln 1

n bn

lim

ln e 1 0,

то исследуемый ряд также сходится;

n3 2

и) так как для любого n

sinn

1, то

sin

1/2

для n 1.

Сравним исходный ряд с

– обобщенным гармоническим

1/2

n 1n

рядом, который также называют рядом Дирихле; он расходится, так как 1 1.

2
Возвращаясь к соотношению			n3 2				1	, по первому признаку
Возвращаясь к соотношению	n	2		sin	2	n	1/2	, по первому признаку
	n			sin		n	n

сравнения заключаем: данный ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряды с помощью признака Даламбера:

	2			n			2
а)	n	;	б)		;	в)	2	1	.
	2n 1						n
n 1	3		n 1	n!		n 1	3 1

Решение:

а) так в общем члене данного ряда содержится показательная функция, то применим признак Даламбера.

Имеем an	n2	, an 1	(n 1)2		(n 1)2	.
	32n 1		32(n 1) 1
					32n 1
				10

l lim

n 1

(n 1)2 32n 1

(n 1)2

~ n2

32n 1

lim

32n 1 n2

n an

n 9 32n 1 n2

Так как l 1 1, то по признаку Даламбера данный ряд сходится;

б) так в общем члене данного ряда содержится факториал, то применим признак Даламбера.

Имеем an

an 1

(n 1)n 1

(n 1)!

l lim

n 1

(n 1)n 1 n!

(n 1)n (n 1) n!

n 1

lim

n!(n 1) nn

n an

n (n 1)!nn

lim 1

Так как l e 1, то по признаку Даламбера исследуемый ряд расходится;

в) так в общем члене данного ряда содержится показательная функция, то применим признак Даламбера.

Имеем an

2n 1

an 1

2n 1

. Тогда

3n 1

l lim

an 1

lim

2n 1 1

3n 1

lim

3n 1

2n 2 1

n an

n 3n 1 1 2n 1

n 3n 3 1

2n 1

lim

. Так как l

1, то по признаку Даламбера ис-

следуемый ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью радикального признака Коши:

n 1

3n2 5 n

n 1 n2

а) arctg

;

б)

;

в)

n 1

n 1 2n 7

n 1

Решение:

а) an

arctgn

l limn

limn arctgn

limarctg

n n

Так как l 0 1,

то по радикальному признаку Коши ряд расхо-

дится;

5 n

б) запишем общий член ряда an

3n2

3n2 5~ 3n2

3n2

3n2 5

3n2

l lim

lim

7 ~ 2n

lim

n 2n

Так как l 3 1, то по радикальному признаку Коши данный ряд

расходится;

n 1 n2

в) запишем общий член ряда an .

n 1

1 n

l lim n an

lim n

lim

lim 1

Так как ряд l e 1, то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью интегрального признака сходимости:

	1					1
а)			;		б)			;
	1 n	2
n 1					n 1	3n 1
	1					1
в)				;	г)					.

							2
n 1	n(n 3)				n 2	n ln			n

Решение:

а) применим интегральный признак Коши.

Чтобы составить функцию f (x), достаточно в формуле общего

члена ряда заменить n на х. Таким образом, f (x)	1	. Как видно,

1 x2

функция на промежутке 1; ) является непрерывной, положительной и убывающей. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл:

	dx	2	b	dx	2	lim arctg x	1	lim arctgb arctg1	.
			lim
							b
1 1 x			n 1 1 x			n		n	4

Так как несобственный интеграл сходится, то по интегральному признаку Коши сходится и исследуемый ряд;

б) для данного ряда f (x) 1 . Очевидно, что функция f (x) на

3x 1

промежутке 1; ) является непрерывной, положительной и убывающей. Рассмотрим несобственный интеграл:

1limln(3x 1)

1lim ln 3b 1 ln 4 .

1lim d(3õ 1)

3õ 1

3b 1

3õ 1

Так как несобственный интеграл расходится, то по интегральному признаку Коши исследуемый ряд расходится;

в) для данного ряда f (x)	1	. Функция на промежутке 1; )

	x(x 3)

непрерывна, положительна и убывает.

Разложим правильную рациональную дробь

на сумму

x(x 3)

простейших дробей:	1	A	B	. Получим	A	1	, B	1	.
	x(x 3)	x x 3			3		3
Тогда

ln4 ln3 4.

lim

x(x 3)

x 3

b 3

Так как несобственный интеграл сходится, то по интегральному признаку Коши сходится и исследуемый ряд;

г) для данного ряда f (x) 1 .

x ln2 x

Функция на промежутке 2; ) непрерывная, положительная, убывающая.

Рассмотрим несобственный интеграл

b dlnx

lim

xln

b 1

b lnx

b lnb

ln2

Данный интеграл сходится. Следовательно, и данный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

1.3.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать следующие ряды на сходимость:

n n

n 1

2n 1

в)

( 1)

;

г) ( 1)n 1

;

3n 2

n 7

n 1

n 2 ( 1)n

д) ( 1)

n 1

Решение:

n 1 1

а) исследуем ряд из абсолютных величин

( 1)

n 1

n 1n

Получившийся ряд является гармоническим и он расходится. Проверим условие признака Лейбница. Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как

1) 1	1		1		1	...	1	... ;
							n
2		3		4

2) 2) lim an lim 1 0.

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин расходится, то исследуемый ряд

n 1

сходится условно;

( 1)

n 1

( 1)

б) исследуем ряд из абсолютных величин

lnn

n 2

n 2lnn

Этот ряд был исследован в примере 1, в) пункта 1.2 и он там расходился, следовательно, проверим теорему Лейбница.

Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:


1)	1		1	1		...		1	...;
	ln2	ln2		ln4
								lnn
2)	lim an		lim		1		0.

	n		n lnn

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Так как ряд из абсолютных величин расходится, то исследуемый

ряд ( 1)n сходится условно;

n 2 lnn

в) так как lim an	lim	2n 1		2	0, то не выполняется необходи-

n	n 3n 2		3

мый признак сходимости ряда, следовательно, данный ряд расходится;

г) исследуем ряд из абсолютных величин

		n 1 1			1	.
	( 1)

n 1			n 7n	n 1n 7n

Так как в общем члене данного ряда содержится показательная функция, то применим признак Даламбера.

Имеем a

, a

n 1

n 7

n 1

1) 7

(n 1) 7

l lim

n 1

lim

n 7n

lim

n an

n (n 1) 7n 7

7n n 1 7

Так как l 1 1, то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно;

n 2 ( 1)n

n 1

n ( 1)n

( 1)n

д) ( 1)

( 1)

n 1

( 1)n

n 1

Ряд 2

является условно сходящимся (см. пункт (а)), а ряд

n 1

1 является гармоническим рядом, и он расходится.

n 1 n

Сумма сходящегося и расходящегося рядов представляет собой расходящийся ряд. Значит, исследуемый ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость данные знакопеременные ряды и установить характер сходимости (абсолютная, условная):

а)

cosn

;

б) ( 1)n 1

;

n 1 n

n 1

2n 1

в) ( 1)n

;

г) ( 1)n 1

n 1

Решение:

а) данный ряд является знакопеременным. Составим ряд из абсо-

cosn

лютных величин членов данного ряда:

. Сравним этот ряд

n 1

	1
с рядом	1	, который сходится, так как является обобщенным гар-
с рядом	3	, который сходится, так как является обобщенным гар-
n 1 n						cosn
			1					1
			1					1
моническим рядом					при p 3 1. Учитываем, что					.

				p		n	3	n	3
		n 1 n				n		n

Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится по первому признаку сравнения. Отсюда

следует, что данный ряд	cosn	абсолютно сходится;

	n 1 n3

б) данный ряд является знакочередующимся.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

n . Так как в общем члене данного ряда содержится показательная

n 1 5n

функция, то применим признак Даламбера.


an		n		;		an 1		n 1		.
		5n
								5n 1
l lim			a		n 1		lim		(n 1)5n
									5n 1n
	n an						n

lim	(n 1) 5n		1	.
	5 5n n
n		5

l 1 1, следовательно, ряд, составленный из абсолютных вели-

чин членов данного ряда, сходится. Значит, ряд абсолютно сходится; в) ряд является знакочередующимся. Составим ряд из абсолют-

					1
ных величин членов данного ряда:					1		.
							.

				n 1		n
Этот ряд расходится, так как является обобщенным гармониче-
			1
ским рядом	1	при p	1	1. Следовательно, ряд не сходится абсо-
ским рядом	p	при p		1. Следовательно, ряд не сходится абсо-
n 1 n		2

лютно.

Данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов:

1) 1	1		1		1			...		1			...;

2		3		4								n
2) lim an		lim		1			0.


n			n			n
Следовательно, ряд условно сходящийся;
г) данный ряд является знакочередующимся.
Так как		lim an lim							2n 1		2 0, то не выполняется необходимый

		n				n n

признак сходимости ряда, следовательно, данный ряд расходится.

Задания для самостоятельной работы

1.Написать формулу общего члена для каждого из данных рядов:

1) 1 8 27				64 125 ...;				2)	2		4	8	19
									1						...;
									1		5	7		9	...;
3)									3		5	7		9
3)	0,1 0,02			0,003 0,0004 ...;				4)	1	4	9		16
														...;
									4	7			13	...;
		1	1		1	1			4	7	10		13
5)		1	1		1	1	....
5)			9	7			....
		4 5	9	7	14 11	19 19

2. Найти частичную сумму Sn рядов, доказать их сходимость (по определению), найти сумму S ряда:

n 1

1 ; n(n 1)

;

(3n 2)(3n 1)

4n2 8n 3

;

2 n ; n(n 1)(n 2)

		1
2)		1			;
2)					;
	n 1	n(n 3)
			1
4)			1				;
4)							;
	n 1	(2n 1)(2n 5)
		3n 5
6)		3n 5				;
6)		2				;
	n 1	n(n	1)
					n
8)					n				.
8)		(2n 1)		2		(2n 1)		2	.
	n 1	(2n 1)				(2n 1)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью достаточного признака расходимости:

3n 1

;

3) cos

;

n 1 2n2

n 1

4n 2

n 1

n 1 n

2 ln

;

2n 1

n 1

4. Исследовать ряды на сходимость с помощью признаков сравнения:

4 2sinn

;

n 1

3n 2

n 1

n lnn

n 1

4n 5

2cosn

;

n 1

5 3

n 1

7) sin

;

8) tg

;

(2n 1)2

2n 1

n 1

lnn

;

10)

;

11)

;

12)

n 1

22 n

n 2 3

n 1

			arctgn3				n3		6				n		2 1
			arctgn3				n3		6			3 narcsin	n		2 1
13)					;	14) ln				;	15)						;
13)					;	14) ln		3		;	15)			4			;
	n 1 n(n 2)(n 3)					n 1		3	5		n 1		n	4		2
	n 1 n(n 2)(n 3)					n 1	n		5		n 1		n			2
		n	n
16)		3	n	.
16)				.
	n 1 7n		2n

5. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака Даламбера:

;

n 1

(2n 1)!

n 1

2 5 ... (3n 1)

(3n 1)!

;

1 5 ... (4n 3)

8n n2

n 1

;

(n 3)!

n 1

6. Исследовать ряды на сходимость с помощью радикального признака Коши:

n n

1 n2

;

3) 1

;

n 1

(n 1)

n 1

2n 1

n 1

1 n 1

n 1

3n 1 n

;

5) arcsin

;

n 1

n 1 2n 1

n2 32

3n2 2 2n2

;

n 1

n 1 5

n 1

7. Исследовать ряды на сходимость с помощью интегрального признака Коши:


				1								1							1
1)				1			;		2)			1		;			3)		1	;
1)		(n 1)					;		2)					;			3)			;
	n 1	(n 1)				n 1			n 2		nlnn						n 2	n lnn
				n									1					1
4)				n	;				5)				1		;		6)	1			;
		n		2						n		2	2n 5
				2								2
	n 1			1					n 1								n 1 4 (4n 5)3
						1							1
7)	n 3							;	8) n 3							.
7)	n 3		(n 1)ln(2n 1)					;	8) n 3		nlnn(lnlnn)2					.

8. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

n 1

1) ( 1)n 1

;

2) ( 1)n 1

;

3) ( 1)n 1

;

(2n 1)

n 1

3n 1

n 1

5n 2

sinn

4) ( 1)n 1

;

sinn

;

n 1

n 1 (ln3)

lnn

cosn

;

8) ( 1)n 1

;

9) ( 1)n 1

;

ln(n 1)

n 1

n 1 n

10) ( 1)

;

11) ( 1)

;

12)

( 1)

;

2n 1

n 1

13)

( 1)n

sinn2

;

n 1

14)

(

sin

;

15) ( 1)

n 1

2n 1

n 1

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151.89 Mб26Bobylev_kulturarechi_2001.pdf
#
28.03.20151.13 Mб153bobylev_kyltura_rechi_1.pdf
#
28.03.20151.41 Mб19Bobylev_prakt_po_ritor.pdf
#
12.03.20162.41 Mб46Bodrov.rtf
#
15.12.2018195.5 Кб6BO_vse_temy.docx
#
28.03.2015523.82 Кб10Burlakova_Matematika_ryadi.pdf
#
24.09.2019158.72 Кб3BZhD_1.doc
#
28.03.2015506.88 Кб60Chernova_statistika_1.doc
#
11.11.2019639.49 Кб8Chernova_statistika_2.doc
#
09.11.201965.39 Кб4Chistovik.docx
#
28.03.20151.83 Mб12chistyakov.doc