Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Burlakova_Matematika_ryadi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

523.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Контрольные вопросы для самопроверки

1.Какой ряд называется функциональным?

2.Что называется областью сходимости функционального ряда?

3.Какой функциональный ряд называется мажорируемым рядом? Какой ряд называется мажорантным?

4.Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

5.Какой ряд называется степенным?

6.Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенного ряда.

7.Что является областью сходимости степенного ряда?

8.Сформулируйте свойства степенного ряда.

9.Какой ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?

10.Какой ряд называется рядом Маклорена? Как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена данной функции?

11.Приведите формулы разложения функций ex , sin x, cos x, ln(1 x), arcsinx, arctgx, (1 x)m в ряд Маклорена и укажите области

их сходимости.

12. Как степенные ряды используются для приближенных вычислений функций, определенных интегралов?

2.1. Область сходимости функционального ряда

Примеры решения задач

Пример 1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:


	1	1 x n				lnn x
а)			;	б)				;
						n	2

n 0	2n 3	1 x		n 1

в) 2n cosn x;				г)	cosnx				.
					nx
n 0				n 0		e

Решение:

а) найдем область сходимости с помощью признака Даламбера:

x n 1

un 1(x)

1 x

2n 5

lim

un (x)

1 x n

1 x

2n 3 1 x

По признаку Даламбера ряд сходится (причем абсолютно), если

1, т.е.

1 x

(1)

Если x 1, то неравенство (1) равносильно следующему:

1 x 1 x,

2 0.

Получили неверное неравенство, значит, на данном промежутке

решений нет.

Если 1 x 1, то неравенство (1) равносильно следующему:

1 x 1 x, 2x 0, x 0, значит, на данном промежутке решением будет промежуток 0 x 1.

Если x 1, то неравенство (1) равносильно следующему:

1 x 1 x, 0 2.

Верно при любом x из данного промежутка, тогда на данном промежутке решением будет промежуток x 1.

Объединяя последние два промежутка, получаем решение неравенства (1): x (0; ).

Признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда в случае x 0, поэтому подставим x 0 в данный ряд. Получим числовой ряд

n 0 2n 3

Сравним этот ряд с помощью второго признака сравнения с рас-

ходящимся гармоническим рядом

n 1 n

Если lim

2n 3

lim

0, то делаем вывод, что числовой

2n 3

ряд n 0 2n 3

расходится. Итак, область сходимости данного ряда:

x (0; );

б) по признаку Даламбера:

un 1(x)

lnn 1 x n2

lnx

lim

un (x)

(n 1)2 lnn x

Ряд сходится, если

lnx

т.е. 1 lnx 1, тогда

x e.

Исследуем ряд на сходимость в точках x	1	и x		e, в которых
	e
1			2

признак Даламбера не отвечает на вопрос, сходится ряд или расходится (эти точки соответствуют случаю, когда lnx 1).

				1
При x2 e		имеем числовой ряд			. Этот ряд сходится, так как
				2
		n 1 n					1
является обобщенным гармоническим рядом								при p 2 1.

							n 1 np
					n
	1
При x1		имеем числовой ряд	( 1)			. Ряд сходится абсолютно,
	e		2
		n 1		n

так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, имеет

вид	1	и сходится по той же причине, что и предыдущий числовой

	n 1 n2
ряд.	n 1 n2
ряд.			1
	Так как оба ряда сходятся, то точки x		1	и x		e включаются
	Так как оба ряда сходятся, то точки x		e	и x		e включаются
		1	e		2

вобласть сходимости. Итак, область сходимости: x 1;e ;

в) применим радикальный признак Коши:

lim n

(x)

lim n 2n

cosx

Ряд сходится, если 2

cosx

или

cosx

, т.е.

2 n;

2 n ,n Z .

При x 2 n не выполняется необходимый признак сходимо-

сти.

Итак, область сходимости: x

2 n;

2 n ,

n Z ;

г) необходимый признак сходимости выполняется только при

x 0.

cosnx

Так как

un (x)

, а при

x 0

ряд

сходится по

n 1 e

радикальному признаку Коши limn

1, то данный ряд

cosnx

n 0 e

сходится по первому признаку сравнения при x 0. Итак, область сходимости ряда: x 0; .

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость на указанных промежутках данные функциональные ряды:

( 1)n 1

, ; ;

, 1; 1 ;

а)

б) x

n 1 x

n 1

cosnx

; .

в)

n 1

Решение:

а) применим определение равномерно сходящегося ряда, соглас-

но которому

ряд является

равномерно

сходящимся, если

N N, такое, что для всех n N

и x a,b выполняется не-

равенство

rn (x)

Для любого x данный ряд сходится по признаку Лейбница, по-

этому его n-й остаток оценивается с помощью неравенства

r (x)

n 1

(x)

x2(n 1) n 1

n 1

для ( ; ).

Поскольку

, как только n

1, возьмем N( )

n 1

Итак, для всех n N( )

1 получаем

r (x)

. Это означает,

что ряд равномерно сходится на промежутке ( ; ); б) в интервале 1; 1 ряд сходится, так как является геометриче-

ским рядом, для которого q x 1. Остаток ряда:

n 1

rn (x) xn 1 xn 2

... xk

Для остатка rn (x) имеем:

k n 1

1 x

lim

r (x)

, lim

r (x)

n 1 0


Итак, приняв		1	, невозможно достичь выполнения неравенства

	2
rn (x)	для ( 1; 1). Согласно определению равномерно сходя-

щегося ряда, ряд не является равномерно сходящимся на промежутке

( 1; 1);

в) применим признак Вейерштрасса.

un	(x)	cosnx	1	x ( ; ).

		n!	n!
				23

Ряд 1 − сходящийся (по признаку Даламбера), следовательно,

n 1 n!

он является мажорантным для данного ряда. Отсюда следует, что данный ряд является равномерно сходящимся на промежутке

( ; ).

2.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Пример решения задачи

Найти область сходимости степенных рядов:

		n				n
а)	x		;	б)		x	;
а)		2	;	б)		n	;
n 1 n					n 1	2		n 1
						( 1)		n 1
г) n!xn ;				д)		( 1)			(x 2)n .
г) n!xn ;				д)	n 1 n 2n				(x 2)n .
n 1					n 1 n 2n

в) xn ;

n 1 n!

Решение:

а) найдем радиус сходимости R.

Так как an	1	,	an 1	1	, то
Так как an	n2	,	an 1	(n 1)2	, то
	n2			(n 1)2
				1


R lim	an	lim	n2
R lim	an 1	lim	1
n	an 1	n	1

(n 1)2

	(n 1)2		n 1~ n		n2		1.
lim				lim
		2				2
n n			n	n n

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству x 1, то есть интервал сходимости ряда ( 1;1).

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При x 1 получаем числовой ряд n 1 n2 . Этот ряд сходится, так


как является обобщенным гармоническим рядом			1	при p 2 1.

			n 1 np
	n		n 1 np
	n
При x 1 получаем числовой ряд	( 1)	. Этот ряд – абсолютно
При x 1 получаем числовой ряд	2	. Этот ряд – абсолютно
n 1	n

сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его

членов 1 , является сходящимся.

n 1 n2

Итак, область сходимости данного ряда 1;1 ; б) найдем радиус сходимости R.

Так как an

, то R lim

lim

2. Итак, интервал схо-

n n

димости ряда ( 2;2).

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала схо-

димости.

При x 2 имеем числовой ряд

1. Этот ряд расходящийся,

так как lim an 1 0.

n 1

При x 2

имеем числовой ряд

( 1) 2

( 1)n . Этот ряд рас-

n 1

ходящийся, так как liman

lim( 1)n

не существует.

Итак, область сходимости данного ряда ( 2;2);

в) найдем радиус сходимости R.

Так как an

an 1

(n 1)!

то R lim

lim

lim(n 1) .

an 1

n n!

(n 1)!

Итак, интервал сходимости ( ; ). Область сходимости данного ряда совпадает с интервалом сходимости, то есть ряд сходится при любом значении переменной x;

г) найдем радиус сходимости R. Так как an n!, an 1 (n 1)!,

то R lim		an	lim	n!	lim	1	0.
	an 1
n			n (n 1)!		n n 1

Так как R 0, то ряд сходится только в точке x 0. Значит, область сходимости данного ряда представляет собой одну точку x 0;

д) найдем радиус сходимости R.

Так как an

( 1)n 1

an 1

( 1)n

, то

(n 1) 2n 1

n 2n

( 1)n 1

(n 1) 2n 1

R lim

n 2

lim

lim 2 1

an 1

( 1)n

n 2n

(n 1) 2n 1

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих не-

равенству	x 2	2, то есть		2 x 2 2.
Отсюда 4 x 0			− интервал сходимости, R 2 − радиус сходи-
мости.
Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала схо-
димости.
При x 4 получаем числовой ряд
			n 1		( 1)	2n 1
			( 1)	( 2)n	( 1)			1	,
			n	( 2)n	n				,
		n 1	n 2	n 1	n		n 1 n

который расходится (гармонический ряд).

		( 1)	n 1			( 1)	n 1
При x 0	получаем числовой ряд				2n			, который
		n 2		n		n
	n 1				n 1

сходится условно (ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный их абсолютных величин его членов, расходится, так как является гармоническим).

Итак, область сходимости ряда 4;0 .

2.3. Вычисление суммы функциональных рядов

Пример решения задачи

Найти суммы функциональных рядов

	sin	n	x
а)				;	б) (n 6)x7n
	n
n 1					n 0

и указать области сходимости рядов к этой сумме.

Решение:

а) находим область сходимости ряда. По радикальному признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством sinx 1.

В граничных точках x	2 k ряд расходится, при	x	3		2 k	ряд

2		2
сходится условно (убедиться в этом самостоятельно).
Следовательно, данный ряд сходится при всех		x		2 k ,		где

k Z .

Сделаем замену sinx t. Получим геометрический ряд

n 1 n (2)

с областью сходимости 1;1 .

				tn
				tn			n 1
Имеем очевидное равенство					t			, тогда

		n	n 1	n		n 1
		n	t
	t		un 1du,			t 1;1 .
			un 1du,			t 1;1 .
n 1 n			n 10

Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке 0;t , целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

tn 1

где

1, получаем

n 1

1 t

un 1du

du ln(1 t),

t 1;1 .

(3)

n 1 n

n 10

1 u

Заметим, что так как ряд (2) сходится в граничной точке t 1, то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула

(3) справедлива при всех t 1;1 .

Заменяя t на sinx, получаем при x 2 k

S(x) ln(1 sin x);

б) находим область сходимости ряда. По радикальному признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством x7 1. Отсю-

да 1 x 1. В граничных точках x 1 ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости (убедиться в этом самостоятельно).

Следовательно, данный ряд сходится в интервале (-1;1).

Делаем в исходном ряде замену x7 t и записываем его в виде суммы двух рядов

S(t) 6 tn ntn 6S1(t) S2 (t).

n 0 n 0

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

S1(t) tn и S2(t)

ntn.

n 0 n 0

Применяя формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

(4)

1 t

n 0

где

1, получим

S (t)

при всех t ( 1;1).

1 t

Кроме того, имеем

ntn t ntn 1 t

n 1

n 1 dt

Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (4), получаем:

S2(t) ntn t

tn t

t ( 1;1).

(1 t)2

n 1

dt n 1

dt1 t

Таким образом,

6 5t

S(t) 6S (t) S

(t)

t ( 1;1).

1 t

(1 t)2

Заменяя t

на x7 , получим

6 5x

x ( 1;1).

(n 6)x7n

(1 x7)2

n 0

2.4.Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд. Приложения степенных рядов для приближенных вычислений

Примеры решения задач Пример 1. Разложить в степенной ряд следующие функции:

а)

f (x) e 2x ;

б)

f (x) sin2x;

в)

f (x)

;

г)

f (x)

ln(1 x)

Решение:

1 x

а) заменив в формуле ex 1

...

x на 2x, по-

лучим искомое разложение:

1! 2!

( 2x)n

e 2x 1

( 2x)

( 2x)2

( 2x)3

...

...,

где 2x

или

e 2x 1

22 x2

23 x3

... ( 1)n 1

2n 1xn 1

..., при x ;

(n 1)!

б) заменяя в равенстве

x2n 1

sinx x

... ( 1)n 1

..., где

x , x на 3x,

(2n 1)!

получим искомое разложение:

32n 1 x2n 1

sin3x 3x

33 x3

35 x5

37 x7

... ( 1)n 1

... , при x ;

(2n 1)!

в) данную функцию можно записать так:

(1 x) 2 . Чтобы найти

искомый ряд, достаточно в разложение

(1 x)m 1

m(m 1)

x2 ...

m(m 1)...(m n 1)

xn ...,

где

1 x 1,

подставить m

. Тогда получим:

x3 ...

1 x

или

1 3

1 3 5

... , при 1 x 1;

1 x

22 2!

233!

г) данную функцию можно переписать так: f (x) (1 x) 1 ln(1 x).

Функцию

(1 x) 1

можно разложить в степенной ряд, положив

в биномиальном ряде m 1. Получим

(1 x) 1 1 x x2

... .

ln(1 x)

... ( 1)n 1

..., где 1 x 1.

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).

Следовательно,

ln(1 x)							2		3				x				x2	x3	x4			1		2
		(1 x x						x		...)											x 1		x

1 x														1			2	3	4	...		2
1 x														1			2	3	4			2
	1		1		3			1		1	1				4	..., где 1 x 1.
1				x		1						x
1	2		3	x		1		2		3	4	x
	2		3					2		3	4

Пример 2. Найти приближенные значения данных функций: а) cos10 с точностью до 0,0001;

б) 4630 с точностью до 0,0001.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151.89 Mб26Bobylev_kulturarechi_2001.pdf
#
28.03.20151.13 Mб153bobylev_kyltura_rechi_1.pdf
#
28.03.20151.41 Mб19Bobylev_prakt_po_ritor.pdf
#
12.03.20162.41 Mб46Bodrov.rtf
#
15.12.2018195.5 Кб6BO_vse_temy.docx
#
28.03.2015523.82 Кб10Burlakova_Matematika_ryadi.pdf
#
24.09.2019158.72 Кб3BZhD_1.doc
#
28.03.2015506.88 Кб60Chernova_statistika_1.doc
#
11.11.2019639.49 Кб8Chernova_statistika_2.doc
#
09.11.201965.39 Кб4Chistovik.docx
#
28.03.20151.83 Mб12chistyakov.doc