Задачи раздела I.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mZ).

1. 3)

2. 4)

3. Приведя функцию к к виду kx^(Q) найти ее производную.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

6. Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Задачи раздела II.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mZ).

1. 

2. 

3. 

4. 

3. Приведя функцию к к виду kx^(Q) найти ее производную.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

6. Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Решение задач раздела I.

1.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

2.

10. 

11. 

12. 

13. 

3.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

4.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

5.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

6.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Ответы к задачам раздела II.

1.

1);

2. 

3. 

4. 

5. 

6. ;

7. 

8. 

9. .

2.

1) 2) 3) 4) .

3.

1) 2) 3) 4) 5) .

4.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. .

5.

1. 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

6.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. .

§ 2. Исследование функции на монотонность.

2.1 Справочной материал.

1. Те точки из области определения функции (О.О.Ф.), в которых обращается в нуль или не существует, называютсякритическими точками этой функции.

Исследование функции на монотонность основано на следующих двух утверждениях.

2. Необходимое условие монотонности. Если функция дифференцируема на промежутке(a;b) и возрастает (убывает) на нем, то ее производная во всех точках этого промежутка.

3. Достаточное условие монотонности. Если функция дифференцируема на промежутке(a;b) и во всех точках этого промежутка ее производная , то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

2.2. Схема исследования функции на монотонность.

1. Найти О.О.Ф.

2. Найти в О.О.Ф.

3. Найти критические точки в О.О.Ф.:

4. а).в которых выполняется равенство ;

5. б) в которых не существует.

6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.

7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.

8. На основании достаточных условий монотонности сделать заключение о характере монотонности в каждом из указанных в п.5 промежутков.

Пример 13. Исследовать на монотонность функцию .

Решение.

1). Данная функция определена на всей числовой прямой (х  R).

2). Найдем производную:

.

3). а) из уравнения 2х - 4 = 0 находим х = 2;

б) существует при всехх. Значит, х = 2 – единственная критическая точка.

4). Критическая точка х = 2 разбивает числовую ось на два промежутка (-; 2) и

(2; +).

5). Определим интервалы знакопостоянства производной :

на промежутке (-; 2), так как ;

на промежутке (2; +), так как .