Глава I. Производная и ее приложения. § 1. Формулы дифференцирования.

1.1. Справочный материал.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Если аргумент изменяется от фиксированного значения х до нового значения , то значение функции изменяется отдо.

Определение 1.1. Дифференциальным отношением называется отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение 1.2. Дифференциальное отношение измеряет среднюю скорость изменения функции y=f(x).

Определение 1.3. Производной функции y=f(x) в некоторой точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует)

Определение 1.4. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Производную обозначают символами

1.2. Таблица производных элементарных функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

Пример 1.1. Вычислить производные:

1. 

по формулам где

2. (по формуле , гдеa=2)

3. (по формуле , гдеa=10)

1.3. Производная суммы.

Определение 1.5.Производная суммы двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) существует в этой точке и вычисляется по формуле:

или короче

(1)

Пример 1.2. Вычислить производные:

1. =2-0=2 (по формулам ,,)

2. 

(по формулам ,,)

3. 

4. 

5. 

6. 

1.4. Производная произведения.

Определение 1.6.Производная произведения двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) существует в этой точке и вычисляется по формуле:

или короче

(2)

Утверждение 1.1 Если функция u=u(x) дифференцируема в точке х, а С – постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и

(3)

или короче: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Доказательство самостоятельно

Пример 3. Найти :.

Решение.

.

Была использована формула 4:

1.5. Производная частного.

Определение 1.6 Производная частного двух дифференцируемых в точке x функций u(x) и v(x) при условии, что функция v(x) не равна нулю в этой точке, существует в этой точке и вычисляется по формуле:

или короче

(4)

Пример 4. Найти значение производной функции в точкех = 1:

Решение.

Ответ:

1.6. Понятие сложной функции.

Пример 5. Пусть требуется вычислить значение функции в некоторой фиксированной точкеx. Для этого нужно:

1) вычислить ;

2. найти значение синуса при полученном значении .

Иными словами, сначала надо найти значение функции , а затем, аргументu ( u =g(x)) в этом случае называют промежуточным, а x – независимой переменной.

Пусть функция u=g(x) определена на некотором множестве X, а функция y=f(u) – на множестве значений функции u=g(x), тогда на множестве X определена функция y=f(g(x)), называемая сложной функцией.

Пример 6. Рассмотрим функцию . Чтобы найти значение этой функции в фиксированной точкех, нужно сначала найти значение функции g(x) = 1 - x², а потом найти значение . В этом примере, гдеu = 1 - x².

Пример 7. Составить сложную функцию , если.

Решение. .

1.7. Производная сложной функции.

Если функция u=g(x) дифференцируема в точке x, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u=g(x), то сложная функция y=f(g(x)), дифференцируема в точке x, причем:

Короче эту формулу записывают в виде:

Пример 8. Найти производные функций

а)

б)

в)

г)

д)

Решение. а) Здесь

Значит

Решение. б) Так как то.

Решение. в) .

Решение. г)

Решение. д) .

Пример 9. Найти производные функций

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Решение. а)

Решение. б)

Решение. в) Прежде, чем дифференцировать функцию, целесообразно упростить ее варажение, применяя формулы логарифмирования:

. Теперь

Решение. г) .

После преобразований. получим:

Решение. д)

Решение. е) По правилу дифференцирования сложной функции

Решение. ж) При дифференцировании неявно заданной функции учитываем, что y есть функция от x:

откуда